高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册7.4 二项分布与超几何分布优秀ppt课件

第1课时  二项分布

（一）教学内容

二项分布的概念及其应用

（二）教学目标

1.理解n重伯努利试验的概念．

2.掌握二项分布．

3.能利用n重伯努利试验及二项分布解决一些简单的实际问题．

（三）教学重点与难点

重点：n重伯努利试验，二项分布及其数字特征，简单应用．

难点：在实际问题中抽象出模型的特征，识别二项分布．

（四）教学过程设计

问题1： 观察下面试验有什么共同的特点？

（1）投掷一枚相同的硬币5次，每次正面向上的概率为0.5；

（2）某同学玩射击气球游戏，每次射击击破气球的概率为0.7，现有气球10个；

（3）某篮球队员罚球命中率为0.8，罚球6次．

答案：①相同条件下的试验：5次、10次、6次；

②每次试验相互独立；

③每次试验只有两种可能的结果：发生或不发生；

④每次试验发生的概率相同为p，不发生的概率也相同，为1-p．

探究新知：

1.概念：

我们把像上述这些，只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验（Bernoulli trials）．

我们将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验．

2. (1)同一个伯努利试验重复做n次．

(2)各次试验的结果相互独立．

注意：在相同条件下，n重伯努利试验是有放回地抽样试验．

练习：判断下列试验是否是n重伯努利试验：

(1)抛掷一枚质地均匀的硬币10次．

(2)某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.8，连续射击3次．

(3)一批产品的次品率为5%，有放回地随机抽取20件．

(4)口袋中装有5个白球，3个红球，2个黑球，依次从中抽取5个球，恰好抽出4个白球．

答案：(1)抛掷相同的硬币，每次试验的条件相同，且结果相互独立，是n重伯努利试验．

(2)运动员射击中靶的概率是稳定的，是n重伯努利试验．

(3)有放回地抽取，每次抽取的次品率相同，且结果相互独立，是是n重伯努利试验．

(4)每次抽取，试验的结果有三种不同的颜色，且每种颜色出现的可能性不相等，因此不是n重伯努利试验．

总结： n重伯努利试验的判断依据：

(1)要看该试验是不是在相同的条件下可以重复进行．

(2)每次试验相互独立，互不影响．

(3)每次试验都只有两种结果，即事件发生、不发生．

问题2：下列问题中的伯努利试验是什么？定义“成功”的事件为A，那么A的概率是多大？重复试验的次数是多少？各次试验的结果是否独立？关注的随机变量是什么？

(1)掷一枚质地均匀的硬币10次，其中恰好有4次正面朝上的概率是多少？

(2)某妇产医院一天共出生了8个婴儿，其中恰有4个男婴的概率是多少？

(3)假设每名学生一年内发生意外伤害事故的概率为0.001，那么1000名学生一年内恰好2人发生意外伤害事故的概率是多少？

(4)甲、乙两人进行兵兵球比赛，每局比赛甲获胜的概率为0.6，采用5局3胜制，甲最终获胜的概率是多少？

(5)袋子中有4个红球、6个白球，从中不放回地抽取4个球，其中有2个红球的概率是多少？

问题3：某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.8，连续射击3次，则仅出现一次中靶的概率是多少？

答案：连续射击3次，就是做3次伯努利试验，用(i1，2，3)表示第i次中靶的事件，用表示中靶次数，则事件 ( )，

由此可得P() P( )．

追问1：类似地，连续射击3次，中靶( 0，1，2，3)次的概率是多少？有什么规律？

答案：用(i1，2，3)表示事件“第i次中靶”，表示中靶次数，

P() P( ．

P() P( )．

P() P()．

P() P(．

规律总结：为了简化表示，每次射击用1表示中靶，用0表示脱靶，那么3次射击恰好中靶两次的所有可能结果可以表示为：011，110，101，这三个结果发生的概率都相等，均为，并且与哪两次中靶无关，因此3次射击恰好2次中靶的概率为．同理可求中靶0次、1次、2次的概率，故中靶次数的分布列为P() ．

追问2：如果连续射击4次，类比前面的分析，写出中靶次数X的分布列．

答案：P() ．

P() ．

P() ．

P() ．

P() ．

追问３：你能将上述结论推广到一般情形吗？

在n重伯努利试验中，设每次试验中设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，如果用“1”表示成功，用“0”表示失败，那么n重伯努利试验的样本空间为

Ω{n}．

Ω包含个基本事件，每个基本事件用0和1组成的长度为n的数字串表示，而事件

(Xk){．

事件{Xk}是由个基本事件构成的集合，由独立性条件，每个基本事件的概率都为

，因此，根据概率的加法公式，得：

，n．

二项分布：一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<l)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为

，n．

如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X~B(n，p) ．

问题4：(1)二项分布中的各个量的意义是什么？对比二项分布和二项式定理，你能看出他们之间的联系吗？

(2)二项分布与两点分布有怎样的关系?

答案：(1) 如果把p看成b，1-p看成a，则就是二项式的展开式的通项，由此才称为二项分布．

(2) 两点分布是只有两种试验结果的随机试验的概率分布，也就是伯努利试验的概率分布，与二项分布相比，两点分布是n=1的二项分布，二项分布可以看做两点分布的一般形式．

三、典例解析

例1. 将一枚质地均匀的硬币重复抛掷10次，求：

(1)恰好出现5次正面朝上的概率；

(2)正面朝上的频率在[0.4，0.6]内的概率．

分析：抛掷一枚质地均匀的硬币，出现“正面朝上”和“反面朝上”两种结果且可能性相等，这是一个10重伯努利试验，因此，正面朝上的次数服从二项分布．

解：(1)恰好出现5次正面朝上等价于X=5，于是

．

(2) 正面朝上的频率在[0.4，0.6]内等价于≤Ｘ≤6，于是

≤Ｘ≤6×．

设计意图：根据分布列的性质，通过计算重复试验中事件A发生的次数落在某个区域内的概率，帮助学生进一步认识频率稳定到概率的意义．

例2：右图是一块高尔顿板的示意图．在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃．将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中．格子从左到右分别编号为0，1，2，…，10，用X表示小球最后落入格子的号码，求X的分布列．

分析：小球落入哪个格子取决于在下落过程中与各小木钉碰撞的结果．设试验为观察小球碰到小木钉后下落的方向，有“向左下落”和“向右下落”两种可能结果，且概率都是0.5．在下落的过程中，小球共碰撞小木钉10次，且每次碰撞后下落方向不受上一次下落方向的影响，因此这是一个10重伯努利试验．小球最后落入格子的号码等于向右落下的次数，因此X服从二项分布．

解：设A=“向右下落”，则=“向左下落”，且P（A）=P（）=0.5．因为小球最后落入格子的号码X等于事件A发生的次数，而小球在下落的过程中共碰撞小木钉10次，所以X~B（10，0.5）．于是，X的分布列为P（X=k）=，k=0，1，2，…，10．

X的概率分布图如下图所示．

例3 甲、乙两选手进行象棋比赛，如果每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，那么采用3局2胜制还是采用5局3胜制对甲更有利？

分析：判断哪个赛制对甲有利，就是看在哪个赛制中甲最终获胜的概率大，可以把“甲最终获胜”这个事件，按可能的比分情况表示为若干事件的和，再利用各局比赛结果的独立性逐个求概率；也可以假定赛完所有n局，把n局比赛看成n重伯努利试验，利用二项分布求“甲最终获胜”的概率．

解法1：采用3局2胜制，甲最终获胜有两种可能的比分2：0或2：1，前者是前两局甲连胜，后者是前两局甲、乙各胜一局且第3局甲胜．因为每局比赛的结果是独立的，甲最终获胜的概率为

=+0.4=0.648．

类似地，采用5局3胜制，甲最终获胜有3种比分3：0，3：1或3：2.因为每局比赛的结果是独立的，所以甲最终获胜的概率为

=+0.4+ =0.682 56．

解法2：采用3局2胜制，不妨设赛满3局，用X表示3局比赛中甲胜的局数，则X~B（3，0.6）.甲最终获胜的概率为

=P（X=2）+P（X=3）=0.4+=0.648．

采用5局3胜制，不妨设赛满5局，用X表示5局比赛中甲胜的局数，则X~B（5，0.6）．甲最终获胜的概率为= P（X=3）+ P（X=4）+ P（X=5）

0.682 56．

因为>，所以5局3胜制对甲有利．实际上，比赛局数越多，对实力较强者越有利．

问题5：为什么假定赛满3局或5局，不影响甲最终获胜的概率？

答案：以3局2胜制为例进行分析：

由上表可知，当甲或乙先胜2局时，第3局就不用比赛了，如果设想进行第3局比赛，由于

，因此假设赛满3局不影响甲最终获胜的概率．

归纳总结：

一般地，确定一个二项分布模型的步骤如下：

（1）明确伯努利试验及事件A的意义，确定事件A发生的概率p；

（2）确定重复试验的次数n，并判断各次试验的独立性；

（3）设X为n次独立重复试验中事件A发生的次数，则X~B（n，p）．

问题6：假设随机变量X服从二项分布B(n，p),那么X的均值和方差各是什么？

追问1：我们知道两点分布是n=1的二项分布，两点分布的期望和方差是什么？

答案：当n=1时，X服从两点分布，分布列为

P(X=0)=1-p，P(X=1)=p．

均值和方差分别为

  E(X)=p，D(X)=p(1-p)．

追问2：当n=2时，二项分布的期望和方差是什么？试着计算并观察，说说你的发现．

答案：当n=2时，X的分布列为

，，．

均值和方差分别为

．

．

猜想 如果X~B（n，p），那么，．

下面我们对均值进行证明．

令，由，可得

．

令，则．

【设计意图】一个服从二项分布的随机变量，其均值和方差也是我们关心的．从特殊的情况进行分析，发现规律，大胆猜想，小心论证，得出结论．

四．归纳总结

回顾本节课，我们学习了哪些知识？

1.二项分布的定义：

一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<l)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为

，n．

如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X~B(n，p) ．

2.确定一个二项分布模型的步骤:

（1）明确伯努利试验及事件A的意义，确定事件A发生的概率p；

（2）确定重复试验的次数n，并判断各次试验的独立性；

（3）设X为n次独立重复试验中事件A发生的次数，则X~B（n，p）.

3.一般地，如果X~B（n，p），那么，．.