选择性必修 第三册7.4 二项分布与超几何分布教案设计

这是一份选择性必修 第三册7.4 二项分布与超几何分布教案设计，共13页。教案主要包含了本节内容分析，学情整体分析，教学活动准备，教学活动设计等内容，欢迎下载使用。

《二项分布与超几何分布》教学设计
课时2超几何分布
必备知识
学科能力
学科素养
高考考向
二项分布
学习理解能力
观察记忆
概括理解
说明论证
应用实践能力
分析计算
推测解释
简单问题解决
创造迁移能力
综合问题解决
猜想探究
发现创新
数学抽象数据分析
数学运算数学建模
逻辑推理
【考查内容】
1.通过具体实例,了解伯努利试验,掌握二项分布及其数字特征,并能解决简单的实际问题.
2.超几何分布模型的识别,超几何分布的分布列的计算.
【考查题型】
选择题、填空题、解答题
超几何分布
数学抽象数据分析
数学运算数学建模
逻辑推理
一、本节内容分析
本节内容第1课时是对二项分布的研究与学习,主要介绍重伯努利试验、二项分布及二项分布的均值和方差.本节课具有着承前启后的作用,既是前面的条件概率、全概率的求法以及随机变量的分布列和数字特征等有关内容的延续和扩展,又为后续内容提供理论基础.在自然现象和现实生活中,大量的随机变量都服从或近似服从二项分布,而且重伯努利试验与二项分布是高考中的重要考点.
本节内容第2课时通过比较放回和不放回随机抽样中次品数的分布,从特殊到一般,从具体到抽象通过归纳得到超几何分布的特征,推导出超几何分布的均值,讨论二项分布与超几何分布的联系与区别,并且通过构建超几何分布概率模型,提高用概率的方法解决问题的能力.
本节内容包含的核心知识和体现的核心素养如下:

核心知识
1.二项分布
2.超几何分布
数学抽象
数学运算
数据分析
数学建模
逻辑推理
核心素养






二、学情整体分析
从学生的思维特点看,很容易把二项分布与超几何分布混淆.对于超几何分布和二项分布,可借助于不放回抽样和放回抽样的对比,判断各次试验结果是否独立,这点是学生的弱点.求二项分布与超几何分布,多以解答题出现,所以概率模型的建立对学生来讲也是一个需要克服的难关.
学情补充:____________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________
三、教学活动准备
【任务专题设计】
1.二项分布
2.超几何分布
【教学目标设计】
1.通过具体实例了解伯努利试验,掌握二项分布及其数字特征;能用二项分布解决简单的实际问题.
2.通过具体实例,了解超几何分布及其均值;能用超几何分布解决简单的实际问题.
【教学策略设计】
在短短的一节课要让学生经历对重伯努利试验和二项分布概念的学习、深入理解、运用知识解答相关基础题目等过程,学生不可能独立完成,这需要教师采用恰当的教学方法、创设合理的教学情境加以引导.针对本节课的内容特点,可以以“实例观察和启发为主,讨论和练习为辅”的教学方法.“多媒体辅助”的教学手段来进行教学,引导学生通过自主探究学习、讨论合作学习等方式来进行本节课的学习,使学生能够运用本节课知识解决相关问题,并对后续的学习有所启发,从而实现预设的教学目标.
在超几何分布的教学中,可精心设计教学活动,比如可以让学生思考:建立超几何分布模型的过程与建立二项分布和建立古典概率模型的过程有什么不同之处.让学生经历归纳概括随机试验的特征和推导分布列的过程,这对正确选择概率模型解决实际问题非常重要,也是落实数学抽象、数据分析等核心素养的需要.
【教学方法建议】
启发教学法、问题教学法,还有___________________________________________________
【教学重点难点】
重点
1.重伯努试验.
2.二项分布及其数字特征.
3.二项分布的简单应用.
4.超几何分布模型的特征.
5.超几何分布及其推导过程,并能进行简单的运用.
难点
1.在实际问题中抽象出模型的特征.
2.识别二项分布.
3.在具体的问题情境中,抽象出超几何分布的概率模型,并用相关知识解决相应问题.
【教学材料准备】
1.常规材料:多媒体课件、________________________________________________
2.其他材料:_____________________________________________________________
四、教学活动设计
教学导入
师:同学们,上节课我们学习了二项分布,本节课我们学习超几何分布.下面我们看这样一个问题.
【以学论教】
以学生为中心,用学生已经学习过的二项分布引出超几何分布,由学生自主验证,加深学生的印象,情境教学、以学论教.
教学精讲
【情境设置】
探究超几何分布的概念
在产品质量管理中,常常通过抽样来分析合格品和不合格品的分布,进而分析产品质量.假定一批产品共100件,其中有8件不合格品,分别采用有放回和不放回的方式随机取出4件产品,求抽取的6件产品中不合格品数的分布列.
师:采用有放回抽样时,服从什么分布?
生:二项分布.
师:二项分布模型的特征是什么?
生:有放回,各次抽样的结果相互独立.
师:如果采用不放回抽样,那么抽取的4件产品中次品数是否也服从二项分布?
生:不服从二项分布,因为每次抽取的结果不独立,不符合重伯努利试验的特征.
师:很好!不服从二项分布,那分布列如何求呢?这个试验符不符合我们之前学习过的某个概率模型呢?
生:古典概型.
师:回答正确!可以根据古典概型求的分布列.
从100件产品中随机抽取4件有种等可能基本事件.可能的取值为,4.表示的随机事件是“取到件不合格品和件合格品”,有个样本点.根据古典概型,.
所以,由古典概型的知识,可得的分布列为
.
计算的具体结果(精确到)如表所示.

0
1
2
3
4






这就是超几何分布.
【情境学习】
教师先提出问题,在具体的问题情境中,在学生计算出具体问题的分布列,自主发现规律之后,教师再引导学生由特殊到一般抽象出超几何分布模型的特征.
【要点知识】
超几何分布的概念
一般地,假设一批产品共有件,其中有件次品,从件产品中随机抽取件(不放回),用表示抽取的件产品中的次品数,则的分布列为,其中.其中.如果随机变量的分布列具有上式的形式,那么称随机变量服从超几何分布.
【概括理解能力】
通过古典概型知识的引入,学生由具体例题概括超几何分布的概念,理解其分布列表达式,提升概括理解能力.
师:那么,超几何分布的分布列是什么样的?
【学生思考回答问题,教师补充展示】
【要点知识】
分布列的计算
对一般情形,一批产品共件,其中有件不合格品,随机取出的件产品中,不合格品数的分布列如下表所示.

0
1
2
…





…

其中.
【分析计算能力】
通过分析具体问题的分布列的计算的共同属性抽象得到一般问题的分布列的计算,并用数学符号数学字母表示出来.提升分析计算能力.
师:根据上面的随机抽样问题,我们可以抽象出超几何分布模型的特征如下.
【情景设置】
超几何分布模型的特征
一批产品共件,其中有件不合格品,件合格品,不放回地随机抽取件产品.设表示抽取的件产品中的不合格品数,求的分布列.
师:这就是超几何分布模型的特征,请同学们用摸球这个随机抽样问题,尝试用超几何分布模型描述一下.
生:袋子中有大小相同的个球,其中有个红球,个白球,不放回地随机摸出个球.设表示摸出的个球中的红球数,求的分布列.
师:很好,我们把符合这种特征的概率模型称为超几何分布模型.
【以学定教】
从学生的角度出发,以直观的教学手段来解释超几何分布,将同学们熟悉的一个简单概率问题抽象成超几何分布模型,并引导学生自己总结特点.
师:下面利用超几何分布模型解决简单的实际问题.
【典型例题】
求超几何分布的概率
例1 从50名学生中随机选出5名学生代表,求甲被选中的概率.
师:设表示选出的5名学生中含甲的人数,则服从什么分布?
生:超几何分布.
师:求甲被选中的概率,请同学们算一下.
【同学们积极思考,独立完成,教师指定学生回答】
生:.
【简单问题解决能力】
学生根据超几何分布模型的特征,将实际问题抽象成超几何分布概率模型,计算得到超几何分布的概率.提升简单问题解决能力.
师:容易发现,每个人被抽到的概率都是,非常地直观.下面看例2题.
【典型例题】
求超几何分布的概率
例2 一批零件共有30个,其中有3个不合格.随机抽取10个零件进行检测,求至少有1件不合格的概率.
生解:设抽取的10个零件中不合格品数为,则服从超几何分布,且的分布列为
.
师解:也可以按如下方法求解:

师:服从超几何分布的随机变量的均值是什么?同学们可以先直观猜想一下.
生:.
师:设表示件产品的次品率,则,而是抽取的件产品的次品率,猜想,即.下面我们计算验证一下.
【分析计算能力】
通过习题增强学生对超几何分布模型的理解,培养学生的分析计算能力.
【要点知识】
超几何分布的均值
实际上,由随机变量均值的定义,令,有

因为,
所以.
【说明论证能力】
教师先提问超几何分布的期望计算公式,再引导学生推导验证,师生共同合作,最终得到超几何分布的均值表达式,提升说明论证能力.
师:下面看一道例题.
【典型例题】
超几何分布的综合应用
例3 一个袋子中有100个大小相同的球,其中有40个黄球、60个白球,从中随机地摸出20个球作为样本.用表示样本中黄球的个数.
(1)分别就有放回摸球和不放回摸球,求的分布列;
(2)分别就有放回摸球和不放回摸球,用样本中黄球的比例估计总体中黄球的比例,求误差不超过的概率.
师:因为只有两种颜色的球,每次摸球都是一个伯努利试验.摸出20个球,采用有放回摸球,各次试验的结果相互独立,;而采用不放回摸球,各次试验的结果不独立,服从超几何分布.
【学生积极思考,小组内交流讨论,学生分组学习,教师指定学生代表解题】
生解:(1)对于有放回摸球,每次摸到黄球的概率为,且各次试验之间的结果是独立的.因此的分布列为
.
对于不放回摸球,各次试验的结果不独立,服从超几何分布,的分布列为

【活动学习】
教师组织学生分组发言讨论,互相查漏补缺,有效的检查了学习内容的完整性,同时也培养了自主学习的兴趣.
师:利用统计软件可以计算出两个分布列具体的概率值(精确到),如表所示.






0
0.00004
0.00001
11
0.07099
0.06376
1
0.00049
0.00015
12
0.03550
0.02667
2
0.00309
0.00135
13
0.01456
0.00867
3
0.01235
0.00714
14
0.00485
0.00217
4
0.03499
0.02551
15
0.00129
0.00041
5
0.07465
0.06530
16
0.00027
0.00006
6
0.12441
0.12422
17
0.00004
0.00001
7
0.16588
0.17972
18
0.00000
0.00000
8
0.17971
0.20078
19
0.00000
0.00000
9
0.15974
0.17483
20
0.00000
0.00000
10
0.11714
0.11924



【发现创新能力】
借助信息技术,计算模型数据,通过得到的数据,学生分析数据规律,找出其临界值和范围,提升发现创新能力.
样本中黄球的比例是一个随机变量,根据上表,计算得
有放回摸球:.
不放回摸球:.
因此,在相同的误差限制下,采用不放回摸球估计的结果更可靠些.
两种摸球方式下,随机变量分别服从二项分布和超几何分布,虽然这两种分布有相等的均值(都是8),但从两种分布的概率分布图看,超几何分布更集中在均值附近.如图所示.
【以学论教】
以学生的理解为中心,启发学生思考,培养分析数据的意识和习惯,制作概率分布图,养成良好的数据分析习惯,使课堂教学得到了强化.

师:二项分布和超几何分布都可以描述随机抽取的件产品中次品数的分布规律,并且二者的均值相同.对于不放回抽样,当远远小于时,每抽取一次后,对的影响很小,此时,超几何分布可以用二项分布近似.
师:同学们思考一下超几何分布和二项分布的联系和区别有哪些?
【同学们积极思考,小组讨论,小组展示,教师做补充】
师:(1)对应同一个摸球模型,二项分布是有放回抽样,每次试验结果相互独立,超几何分布是不放回抽样,每次试验结果不独立.
(2)对应于同一个摸球模型,两个分布的均值相同.
(3)对于不放回抽样,当充分大,且远远小于时,各次抽样结果彼此影响很小,可近似认为是独立的.因此,超几何分布可以用二项分布近似.
【深度学习】
教师带领学生对比二项分布和超几何分布,使课堂教学得到了延续和强化,有助于学生将知识整合深化.
师:好了,我们接下来练习一些题目巩固一下.
【巩固练习】
超几何分布
1.一箱24罐的饮料中4罐有奖券,毎张奖券奖励饮料一罐,从中任意抽取2罐,求这2罐中有奖券的概率.
2.学校要从12名候选人中选4名同学组成学生会,已知有4名候选人来自甲班,假设每名候选人都有相同的机会被选到,求甲班恰有2名同学被选到的概率.
3.举出两个服从超几何分布的随机变量的例子.
【学生积极思考,独立完成练习,教师指导学生回答】
【分析计算能力】
布置几道与超几何分布密切相关的练习,使课堂教学得到了延续和强化,落实了所学的相关的计算方法,提升了学生的分析计算能力.
生1:设抽出的2罐中有奖券的罐数为,则服从超几何分布,且,.
.
生2:设选到的4人中甲班同学的人数为,则服从超几何分布,且.
.
生3:(1)10个球中有4个红球,从中不放回地随机取出3个,其中红球个数服从超几何分布,且.
(2)某班级有20名男生、25名女生,随机选出5个人参加某项活动,其中包含男生的人数服从超几何分布,且.
师:同学们来总结一下本节课所学的主要内容、思想方法.
【同学们积极思考回答,教师做补充】
师:很好,“超几何分布”我们主要学习的知识点:①超几何分布定义；②分布列；③均值.
【课堂小结】
超几何分布
超几何分布
应用
超几何分布的分布列
超几何分布的概念及特征
求超几何分布的均值

【设计意图】
教师引导学生通过课堂练习自主总结当堂课重点内容,利用练习巩固所学的求概率、求分布列、求均值的方法,整体学习,加强学生对本节学习内容的整体认识和把握.
教学评价
学完本节课,我们应该了解重伯努利试验的概念,理解二项分布及其数字特征,并能在实际问题中抽象出模型特征,识别二项分布,理解超几何分布概率模型的特征,会由特殊到一般地推导超几何分布的分布列,会求超几何分布的分布列及其均值,能说出二项分布与超几何分布的区别和联系,并能综合应用所学的概率知识,建立概率模型,解决简单的实际问题.
【设计意图】
教师引导学生整理知识,使学生体会知识的生成、发展、完善的过程,通过具体知识点的演练,提升解决问题的能力,从而达到数学运算、数学抽象、数据分析等核心素养目标要求.
应用所学知识,完成下面各题:
1.一家面包房根据以往某种面包的销售记录,绘制了日销售量的频率分布直方图,如图所示.

将日销售量落入各组的频率视为概率,并假设每天的销售量相互独立.
(1)求在未来连续3天里,有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率;
(2)用表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数,求随机变量的分布列、均值及方差.
解析:(1)设表示事件“日销售量不低于100个”,表示事件“日销售量低于50个”,表示事件“在未来连续3天里有连续2天的日销售量不低于100个且另1天的日销售量低于50个”.因此
,
.
(2)由题意知,故,

则的分布列为

0
1
2
3





因为,所以均值,
方差.
【综合问题解决能力】
通过两道综合题目的练习,学生可以充分体会二项分布和超几何分布的综合应用,主要是判断属于何种分布模型.根据题意,选定概率分布模型后,根据公式计算概率、分布列、均值等问题,提升学生的综合问题解决能力.
2.甲、乙两人参加某种选拔测试,在备选的10道题中,甲答对其中每道题的概率都是,乙能答对其中的8道题.规定每次考试都从备选的10道题中随机抽出4道题进行测试,只有选中的4个题目均答对才能入选.
(1)求甲恰有2个题目答对的概率;
(2)求乙答对的题目数的分布列.
解析:(1)由于甲在备选的10道题中,答对其中每道题的概率都是,
所以选中的4个题目甲恰有2个题目答对的概率.
(2)由题意知乙答对的题目数的可能取值为,则.
则的分布列为

2
3
4




教学反思
本节课重点学习的内容是:重伯努利试验、二项分布的概率及其数字特征、二项分布的简单应用,超几何分布的概率、均值、简单应用.在本节课的总体教学设计中,突出了教师的身份不仅是讲授知识,而是更侧重于引导启发学生,调用多种方式、运用多媒体课件,利用试验等直观的教学方式帮助学生理解重伯努利试验和二项分布的含义;利用生活中的实例,突出数学概念、数学方法的实际作用.通过比较放回和不放回抽样,让学生由特殊到一般总结超几何分布的特征及分布列,利用生活中的实例,突出数学概念、数学方法的实际作用.落实了数学抽象、数学运算、数据分析、逻辑推理等核心素养,通过例题和习题的思考和练习,着重培养学生的概括理解能力、分析计算能力、推测解释能力以及综合问题解决等学科能力.
【以学论教】
根据学生实际学习情况和课堂效果总结出教学过程中的方法和策略的成功之处,以及不足之处,要注意结合实例,让学生体会选择应用合适概率模型解决问题的过程,可通过信息技术、课堂活动等让学生具备完整的求分布列、计算概率、计算方差、均值以解决问题的实际经验.