数学第七章 随机变量及其分布7.2 离散型随机变量及其分布列导学案

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知识精讲
知识点
1. 随机变量：一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量.
2．离散型随机变量：可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量，我们称之为离散型随机变量，通常用大写英文字母表示随机变量，例如X，Y，Z；用小写英文字母表示随机变量的取值，例如x，y，z.
【微点拨】离散型随机变量的特征：
(1)可以用数值表示；
(2)试验之前可以判断其可能出现的所有值，但不能确定取何值；
(3)试验结果能一一列出．
3. 若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1，2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，则表
称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列，有时为了表达简单，也用等式P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n表示X的分布列．
【性质】pi≥0(i＝1，2，…，n)；②eq \(∑,\s\up6(n),\s\d4(i＝1))pi＝1．
【微点拨】分布列的性质及其应用
(1)利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负数．
(2)求随机变量在某个范围内的概率时，根据分布列，将所求范围内各随机变量对应的概率相加即可，其依据是互斥事件的概率加法公式．
4. 对于只有两个可能结果的随机试验，用A表示“成功”，eq \x\t(A)表示“失败”，定义X＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1，A发生，,0，\x\t(A)发生.))如果P(A)＝p，则P(eq \x\t(A))＝1－p，那么X的分布列如表所示．
我们称X服从两点分布或0－1分布．
【微点拨】随机变量X只取0和1，才是两点分布，否则不是．
【即学即练1】给出下列各量：
①某机场候机室中一天的游客数量；
②某寻呼台一天内收到的寻呼次数；
③某同学离开自己学校的距离；
④将要举行的绘画比赛中某同学获得的名次；
⑤体积为8的正方体的棱长.
其中是离散型随机变量的是（ ）
A．①②④B．①②③C．③④⑤D．②③④
【答案】A
【解析】
【分析】由离散型随机变量的概念逐个判断即可得解.
【详解】由题意，①②④是离散型随机变量，③是连续型随机变量，
⑤中体积为8的正方体的棱长是一个常量，不是随机变量.
故选：A.
【即学即练2】在一次比赛中，需回答三个问题，比赛规定：每题回答正确得100分，回答不正确得分，则选手甲回答这三个问题的总得分的所有可能取值的个数为（ ）
A．2B．4C．6D．8
【答案】B
【解析】
【分析】依题意可得可能回答全对，两对一错，两错一对，全错四种结果，即可得到得分的可能取值；
【详解】可能回答全对，两对一错，两错一对，全错四种结果，相应得分为300分，100分，分，分，因此甲回答这三个问题的总得分的所有可能取值有4个．
故选：B
【即学即练3】已知4支钢笔的单价分别为10元、20元、30元、40元．从中任取2支，若以表示取到的钢笔的较高单价（单位：元），则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】任取2支钢笔的单价（单位：元）的所有可能情况为，，，，，，即可得到答案；
【详解】表示取出的2支钢笔为10元和20元，余类推，则任取2支钢笔的单价（单位：元）的所有可能情况为，，，，，，故取到的钢笔的较高单价为20元、30元、40元，即的取值范围为．故选：D
【即学即练4】若随机变量X的分布列为
则当P(X＜a)＝0.8时，实数a的取值范围是（ ）A．(－∞，2]B．[1，2]
C．(1，2]D．(1，2)
【答案】C
【解析】
【分析】根据分布列可得P(X＜0)＝0.3，P(X＜1)＝0.5，P(X＜2)＝0.8，即可确定m的取值范围.
【详解】由随机变量X的分布列知：P(X＜－1)＝0.1，P(X＜0)＝0.3，P(X＜1)＝0.5，P(X＜2)＝0.8，
则当P(X＜a)＝0.8时，实数a的取值范围是(1，2]．故选：C
【即学即练5】如果X是一个离散型随机变量，那么下列命题中是真命题的为（ ）
A．X取每一个可能值的概率是正数
B．X取所有可能值的概率和为1
C．X取某两个可能值的概率等于取其中每个值的概率之和
D．X在某一范围内取值的概率大于它取这个范围内各个值的概率之和
【答案】BC
【解析】
【分析】根据离散型随机变量的知识判断出正确选项.
【详解】对于A选项，X取每一个可能值的概率是非负数，故A选项错误.
对于B选项，X取所有可能值的概率和为1，故B选项正确.
对于C选项，X取某两个可能值的概率等于取其中每个值的概率之和，故C选项正确.
对于D选项，X在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和，故D选项错误.
故选：BC
【点睛】本小题主要考查离散型随机变量的有关知识的判断，属于基础题.
【即学即练6】判断下列变量是否是随机变量，若是，是否为离散型随机变量.
（1）某市医院明天接到120急救电话的次数ξ；
（2）公交车司机下周一收取的费用ξ；
（3）某单位下个月的用水量ξ；
（4）某家庭上个月的电话费ξ.
【答案】（1）是随机变量，是离散型随机变量；
（2）是随机变量，是离散型随机变量；
（3）是随机变量，不是离散型随机变量；
（4）不是随机变量.
【解析】
【分析】根据离散型随机变量的定义依次判断即可．
【详解】（1）ξ的取值，随各种原因的变化而变化，可能为0，1，2，…，是随机变量，也是离散型随机变量；
（2）ξ的取值随乘客的数量变化而变化，是随机变量，也是离散型随机变量.
（3）ξ的取值，随各种原因的变化而变化，可能取[0，＋∞)内某一区间上的所有值，无法一一列出，是随机变量，但不是离散型随机变量.
（4）ξ的取值是一个定值，故不是随机变量.
【即学即练7】篮球比赛中每次罚球命中得1分，不中得0分.已知某运动员罚球命中的概率为0.85，求他一次罚球得分的分布列.
【答案】答案见解析
【解析】
【分析】由两点分布的特征求解.
【详解】由题意，结合两点分布的特征可知，所求分布列为:
【即学即练8】若随机变量ξ只能取两个值0，1，又知ξ取0的概率是取1的概率的3倍，写出ξ的分布列.
【答案】答案见解析
【解析】
【分析】根据概率之和为1可求出.
【详解】
由题意及分布列满足的条件知P(ξ＝0)＋P(ξ＝1)＝3P(ξ＝1)＋P(ξ＝1)＝1，
所以，故.
所以ξ的分布列为
能力拓展
考法01
随机变量及离散型随机变量
【典例1】下列X是离散型随机变量的是（ ）
①某座大桥一天经过的车辆数X；
②在一段时间间隔内某种放射性物质放出的α粒子数η；
③一天之内的温度X；
④一射手对目标进行射击，击中目标得1分，未击中得0分，用X表示该射手在一次射击中的得分.
A．①②③④B．①②④
C．①③④D．②③④
【答案】B
【解析】
【分析】根据离散型随机变量的定义逐一判断即可.
【详解】①、②、④中的X取值均可一一列出，而③中的X是一个范围.不能一一列举出来，故选：B.
【典例2】一个袋中有4个白球和3个红球，从中任取2个，则随机变量可能为（ ）
A．所取球的个数 B．其中含红球的个数
C．所取白球与红球的总数 D．袋中球的总数
【答案】B
【解析】
【分析】
根据离散型随机变量的定义逐一判断四个选项的正误，即可得正确选项.
【详解】
对于A：所取球的个数为2个，是定值，故不是随机变量，故选项A不正确；
对于B：从中任取2个其中含红球的个数为是随机变量，故选项B正确；
对于C：所取白球与红球的总数为2个，是定值，故不是随机变量，故选项C不正确；
对于D：袋中球的总数为7个，是定值，故不是随机变量，故选项D不正确；
故选：B.
【典例3】将一颗均匀骰子掷两次，不能作为随机变量的是（ ）
A．两次掷得的点数
B．两次掷得的点数之和
C．两次掷得的最大点数
D．第一次掷得的点数减去第二次掷得的点数的差
【答案】A
【解析】
【分析】根据随机变量为一个变量判断.
【详解】因为随机变量为一个变量，
而A中两次掷得的点数的取值是一个数对，不是一个数，
所以不能作为随机变量，故选A.
【典例4】(多选)下面是离散型随机变量的是（ ）
A．某电话亭内的一部电话1小时内使用的次数记为X
B．某人射击2次，击中目标的环数之和记为X
C．测量一批电阻，在950 Ω～1 200 Ω之间的阻值记为X
D．一个在数轴上随机运动的质点，它在数轴上的位置记为X
【答案】AB
【解析】
【分析】AB中的值是整数值，是可以列举的，是离散型随机变量，CD中的值是连续的实数值，是不能一一列举的，是连续型随机变量.
【详解】根据离散型随机变量的定义知，A，B是离散型随机变量．
故选：AB.
【点睛】本题考查离散型随机变量的概念：它全部可能取到的不相同的值是有限个或可列无限多个.
【典例5】写出下列随机变量可能的取值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果．
在含有8件次品的50件产品中，任意抽取4件，可能含有的次品的件数是随机变量．
【答案】答案见解析
【解析】
【分析】由题设知的可能值为，结合题设描述写出对应值所表示的含义即可.
【详解】随机变量可能的取值为0，1，2，3，4．
表示“抽取0件次品”；
表示“抽取1件次品”；
表示“抽取2件次品”；
表示“抽取3件次品”；
表示“抽取的全是次品”．
考法02
离散型随机变量的分布列
【典例6】下列表格中，不是某个随机变量的分布列的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
【分析】利用及概率和为1，检验各个选项即可得到结果.
【详解】对于ABD，满足，且概率和为0，符合；
对于C，不符合，也不符合，所以C项不是随机变量的分布列．故选：C
【典例7】设离散型随机变量的分布列为
求：（1）的分布列；
（2）求的值.
【答案】（1）见解析；（2）0.7
【解析】
【分析】
根据概率和为列方程，求得的值.
（1）根据分布列的知识，求得对应的分布列.
（2）利用求得的值.
【详解】由分布列的性质知：，解得
（1）由题意可知
，，
，
所以的分布列为：
（2）
【点睛】本小题主要考查分布列的计算，属于基础题.
【典例8】某商店试销某种商品20天，获得如下数据：
试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变)，设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存量少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率.
（1）求当天商店不进货的概率；
（2）记X为第二天开始营业时该商品的件数，求X的分布列.
【答案】（1）；（2）答案见解析.
【解析】
【分析】
（1）由古典概型概率公式与互斥事件的概率公式求解即可；
（2）求出X的可能取值，再用古典概型概率公式与互斥事件的概率公式求出概率，即可求解
【详解】
（1）记“当天商品销售量为0件”为事件A，“当天商品销售量为1件”为事件B，“当天商店不进货”为事件C，
则；
（2）由题意知，X的可能取值为2，3.
P(X＝2) ＝P(当天商品销售量为1件)＝；
P(X＝3)＝P(当天商品销售量为0件)＋P(当天商品销售量为2件)＋P(当天商品销售量为3件)
＝，
故X的分布列为：
考法03
离散型随机变量的分布列的性质
【典例9】已知随机变量ξ只能取三个值x1，x2，x3，其概率依次成等差数列，则该等差数列公差的取值范围是（ ）
A．B．
C．[－3，3]D．[0，1]
【答案】B
【解析】
【分析】根据等差数列的性质和分布列的性质可求解.
【详解】
解：由题意得：
设随机变量ξ取x1，x2，x3的概率分别为a－d，a，a＋d，则由分布列的性质得
(a－d)＋a＋(a＋d)＝1，故，
由，解得.
所以公差的取值范围是.故选：B
【典例10】设是离散型随机变量，则下列不一定能成为的概率分布列的一组概率的是（ ）
A．0.1，0.2，0.2，0.3，0.3 B．0.1，0.2，0.3，0.4
C．，（为实数） D．，，，，（，）
【答案】C
【解析】
【分析】
利用分布列的性质判断.
【详解】对于A，概率和不为1，一定不符合；
显然B满足，故一定符合；
对于D，有，
又且，，所以它满足分布列的性质，
对于C，由于为实数，不妨取，显然，不满足概率的非负性，
而当时，满足分布列的性质，所以C不一定符合，
故选：C．
【典例11】已知随机变量X的概率分布为，则实数______．
【答案】
【分析】根据给定条件利用随机变量分布列的性质列式计算作答.
【解析】依题意，，
由分布列的性质得，解得，
所以实数.故答案为：
考法04
两点分布
【典例12】下列选项中的随机变量不服从两点分布的是（ ）
A．抛掷一枚骰子，所得点数
B．某射击手射击一次，击中目标的次数
C．从装有除颜色外其余均相同的5个红球，3个白球的袋中任取1个球，设
D．某医生做一次手术，手术成功的次数
【答案】A
【解析】
【分析】
根据两点分布的概念结合题意即可求解.
【详解】
对于选项A，抛掷一枚骰子，所得点数的取值范围为{1，2，3，4，5，6}，所以A中的随机变量不服从两点分布；
对于选项B，射击手射击一次，有击中或者不击中目标两种可能的结果，B中的随机变量服从两点分布；
对于选项C，袋中只有红球和白球，取出1个球，可能取到红球或者白球，C中的随机变量服从两点分布；
对于选项D，医生做一次手术，手术可能成功，也可能失败，D中的随机变量服从两点分布.
故选A.
【典例13】下列选项中的随机变量服从两点分布的是（ ）
A．抛掷一枚骰子，所得点数
B．某射击手射击一次，击中目标的次数
C．从装有除颜色外其余均相同的5个红球､3个白球的袋中任取1个球，设
D．某医生做一次手术，手术成功的次数
【答案】BCD
【解析】
【分析】
由两点分布的定义依次判断，即得解
【详解】
由题意可知B，C，D中的随机事件只有两种结果，随机变量均服从两点分布，
而抛掷一枚骰子，所得点数的取值为1，2，3，4，5，6，所以A中的随机变量不服从两点分布.
故选:BCD
【典例14】若随机变量X服从两点分布，且P(X＝0)＝0.8，P(X＝1)＝0.2.令Y＝3X－2，则P(Y＝－2)＝________.
【答案】0.8
【解析】
【分析】
由Y＝－2，根据Y＝3X－2，求得X＝0，即可求解.
【详解】由Y＝－2，且Y＝3X－2，得X＝0，∴P(Y＝－2)＝0.8.故答案为：0.8
【典例15】某运动员命中10环的概率为0.9，求一次射击中命中10环的次数的分布列．
【答案】答案见解析.
【解析】
【分析】
由题意可知射击一次命中10环的次数X可能取0或1，然后由题意求出对应的概率，从而可列出其分布列
【详解】
解：设射击一次命中10环的次数为X，则P(X＝1)＝0.9，P(X＝0)＝1－0.9＝0.1，
故其分布列为
分层提分
题组A 基础过关练
1．一串钥匙有6枚，只有一枚能打开锁，依次试验，打不开的扔掉，直到找到能开锁的钥匙为止，则试验次数X的最大可能取值为（ ）
A．6B．5C．4D．2
【答案】B
【解析】
【分析】根据逐次试验可得正确的选项.
【详解】由于是逐次试验，可能前5次都打不开锁，那么剩余的钥匙一定能开锁，
故选：B.
2. 随机变量ξ的所有可能的取值为1，2，3，…，10，且P(ξ＝k)＝ak(k＝1，2，…，10)，则a的值为（ ）
A．B．C．110D．55
【答案】B
【解析】
【分析】根据随机变量的概率和为1,列出方程即可求解
【详解】∵随机变量ξ的所有可能的取值为1，2，3，…，10，
且P(ξ＝k)＝ak(k＝1，2，…，10)，
∴a＋2a＋3a＋…＋10a＝1，
∴55a＝1，∴a＝ ，故选：B.
3. 抛掷两枚质地均匀的骰子一次，X为第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差，则X的所有可能取值为（ ）
A．0≤X≤5，X∈NB．－5≤X≤0，X∈Z
C．1≤X≤6，X∈ND．－5≤X≤5，X∈Z
【答案】D
【解析】
【分析】根据第一枚的最小值和第二枚的最大值的差求得的最小值，根据第一枚的最大值和第二枚的最小值的差求得的最大值，从而得出正确选项.
【详解】第一枚的最小值为，第二枚的最大值为，差为
第一枚的最大值为，第二枚的最小值为，差为，故的取值范围是，故选：D.
4. 若实数x∈R，记随机变量ξ＝，则不等式≥1的解集所对应的ξ的值为（ ）
A．1 B．0 C．－1 D．1或0
【答案】A
【分析】先解不等式≥1，再根据随机变量ξ求解.
【解析】不等式≥1，可化为不等式，即，
解得05. 设一汽车在开往目的地的道路上需经过5盏信号灯，Y表示汽车首次停下时已通过的信号灯的盏数，则表示“遇到第5盏信号灯时首次停下”的事件是（ ）
A．Y＝5 B．Y＝4 C．Y＝3 D．Y＝2
【答案】B
【分析】由题意可知遇到第5盏信号灯，说明已通过4盏信号灯，从而可得答案
【解析】由题意可知遇到第5盏信号灯时首次停下，说明已通过4盏信号灯，所以Y＝4，故选：B
6. 若某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量表示1次试验的成功次数，则（ ）
A．0B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】由题意列出分布列，结合分布列的性质即可得解.
【详解】由题意可设失败率为，则成功率为，则的分布列为
，解得，.故选：D.
7. 小明通过某次考试的概率是未通过的5倍，令随机变量，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】根据通过某次考试的概率是未通过的5倍，由求解.
【详解】因为通过某次考试的概率是未通过的5倍，所以，
解得.故选：C
【点睛】本题主要考查离散型随机变量的概率，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.
8.已知随机变量的概率分布如下：
则（ ）A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】先计算出其它的概率之和，再由离散型随机变量分布列的性质即可求解，表格中9个变量对应的概率组成一个首项是，公比是 的等比数列，利用等比数列前项和公式求解.
【详解】由离散型随机变量分布列的性质，可知，所以.故选：C.
9. 袋子中装有大小相同的8个小球，其中白球5个，分别编号1，2，3，4，5；红球3个，分别编号1，2，3.现从袋子中任取3个小球，它们的最大编号为随机变量X，则P(X＝3)等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】按照取出3号球的个数可分成两类：第一类，1个3号球；第二类，2个3号球.
【详解】按球编号将球分三组，8球中有4球编号小于3，2球编号等于3，2球编号大于3.
现从袋中任取3球共有种方法，
X＝3表示： 3球中最大编号为3，分两类情况：
第一类1个3号球，另两球编号小于3，由古典概型概率公式得；
第二类2个3号球，另一球编号小于3，由古典概型概率公式得，
由互斥事件和事件概率加法公式得.故选：D.
【点睛】随机变量分布列的求解首先要明确随机变量每一个取值表示的意义，即确定所求事件；其次是分析转化所求事件为简单事件表示，如互斥事件的和事件、相互独立事件的积事件、“正难则反”对立事件等等；最后根据事件性质正确应用公式求出对应的概率.
10. 随机变量X所有可能取值是－2，0，3，5，且P(X＝－2)＝，P(X＝3)＝，P(X＝5)＝，
则P(X＝0)的值为（ ）
A．0B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】根据随机变量各个变量概率和为1，即可求得答案.
【详解】由各个变量概率和为1可得：P(X＝－2)＋P(X＝0)＋P(X＝3)＋P(X＝5)＝1，
所以，解得，故选：C.
11. 某一随机变量的概率分布如下表，且，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】根据离散型随机变量分布列的性质和已知条件得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，由此可求得的值.
【详解】由离散型随机变量分布列的性质以及已知条件得，解得，
因此，.故选：B.
12. 设随机变量等可能地取，又设随机变量，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】根据题中条件，确定的所有可能取值，以及其对应的概率，即可求出结果.
【详解】因为随机变量等可能地取，所以，
所以等可能的取，则，
所以.故选：A.
13. 设随机变量服从两点分布，若，则成功概率（ ）
A．0.2B．0.4C．0.6D．0.8
【答案】C
【解析】
【分析】根据两点分布概率性质可得解.
【详解】随机变量服从两点分布，，
根据两点分布概率性质可知：，
解得，故选：C.
【点睛】本题考查了两点分布概率性质的简单应用，属于基础题.
14.若随机变量的分布列如下表：
则（ ）A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】根据分布列中概率之和为求出的值，进而可求得的值.
【详解】由题意可得，解得，
因此，.故选：D.
【点睛】本题考查利用随机变量分布列求概率，考查计算能力，属于基础题.
15.已知随机变量的分布列如下：
其中成等差数列，则函数有且只有一个零点的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
根据题意求得，得到函数有且只有一个零点，结合，求得，即可求解.
【详解】
由题意知，且，解得，
又由函数有且只有一个零点，
即对于方程只有一个根，可得，解答，
所以.故选：B
16. 已知随机变量的分布列为
若，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】首先根据的分布列求出的可能取值为0，1，4，9，再求出相应的概率，再根据，即可求出实数的取值范围.
【详解】由随机变量的分布列知，的可能取值为0，1，4，9，
，
，
，
，
因为，所以实数的取值范围是.故选：B
【点睛】关键点点睛：本题的关键点是先求出的可能取值为0，1，4，9，以及对应的概率，由于
可知需要取0，1，4，但取不到9，即可得.
17. 若离散型随机变量X的分布列为
则常数a的值为（ ）A．B．C．或D．1或
【答案】A
【解析】
【分析】根据可解出符合题意的的值.
【详解】由随机变量的分布列的性质知，
，故选：A.
【点睛】本考查分布列的应用，属于简单题，运算量也不大，分布列的随机变量的概率要满足两个条件，一是每个概率都在区间，二是所有概率和为1.
18.已知集合，，从集合中任取3个不同的元素，其中最小的元素用表示，从集合中任取3个不同的元素，其中最大的元素用表示，记，则为（ ）
A．B．C．D．4
【答案】C
【解析】
【分析】
列举法确定分别从集合A、B中取3个元素后对应的最小、最大元素及所有组合，再由题设知的取值为，利用古典概型的概率求法求即可.
【详解】
根据题意，从集合中任取3个不同的元素有4种：，其中最小的元素取值分别为，
从集合中任取3个不同的元素有10种：，其中最大的元素的取值分别为，
由，随机变量的取值为，故对应，
∴，
故选：C.
题组B 能力提升练
1. （多选题）设X是一个离散型随机变量，则下列不能成为X的概率分布列的一组数据是（ ）
A．0，，0，0，B．－0.2，0.2，－0.4，0.4
C．p，1－p(0≤p≤1)D．，，…，
【答案】BD
【解析】
【分析】根据分布列的性质可知，所有的概率和等于1，且0≤P≤1.逐一判断选项即可.
【详解】根据分布列的性质可知，所有的概率和等于1，且0≤P≤1.
对于A：因为0++0+0+=1，且满足0≤P≤1，所以A选项能成为X的概率分布列的一组数据；
对于B：因为－0.2+0.2－0.4+0.4=0，且不满足0≤P≤1，所以B选项不能成为X的概率分布列的一组数据；
对于C：因为p+1－p=1，且满足0≤p≤1，故C选项能成为X的概率分布列的一组数据；
对于D：因为＋＋…＋＝1－＝，所以D选项不能作为随机变量的分布列的一组概率取值，故选：BD.
2. （多选题）已知为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，；当两条棱平行时，的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，．则下列结论正确的是（ ）
A．共有24对相交棱B．
C．D．
【答案】AC
【解析】
【分析】根据题设，结合正方体的性质求两条棱相交、平行、异面的可能情况数，再写出对应ξ＝0、ξ＝1、ξ＝的情况数，应用古典概型的概率求法求它们的概率值即可.
【详解】若两条棱相交，则交点必为正方体8个顶点中的1个，过任意1个顶点恰有3条棱，所以共有对相交棱，因此，故A正确，B错误；
若两条棱平行，则它们的距离为1或，其中距离为的共有6对，故，于是 ，故C正确，D错误．
故选：AC．
3. （多选题）已知随机变量X的分布列如下表所示，其中a，b，c成等差数列，则（ ）
A．a＝B．b＝
C．c＝D．P(|X|＝1)＝
【答案】BD
【解析】
【分析】本题根据等差数列性质得出a，b，c之间的关系，再利用分布列的性质即可求解.
【详解】由题意得：
∵a，b，c成等差数列，∴2b＝a＋c.
由分布列的性质得a＋b＋c＝3b＝1，∴.
∴.故B、D正确；
因为题目中未给出a与c的关系，本题我们只知道，故无法求出a与c的值，故A、C错误；
故选：BD
4. （多选题）口袋中有大小形状都相同的4个红球，n个白球，每次从中摸一个球，摸后再放回口袋中，摸到红球记2分，摸到白球记1分，共摸球3次．设所得分数为随机变量，若则随机变量的取值可能为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】BCD
【解析】
【分析】由题设可知摸到红球、白球的概率分别是、，结合题设对应为3次摸的都是白球，利用独立事件乘法公式列方程求n，进而判断的取值可能值.
【详解】口袋中有大小形状都相同的4个红球，n个白球，每次从中摸一个球，摸后再放回口袋中，
∴摸到红球的概率是，白球的概率是，而即得3分：表示这3次摸的都是白球且，∴，解得，∴的可能取值为3，4，5，6.故选：BCD.
5. （多选题）设随机变量的分布列为，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AB
【解析】
【分析】根据离散型随机变量分布列的概念和性质，逐项分析即可求解.
【详解】对于选项A，∵随机变量的分布列为，，解得，故A正确；
对于选项B，易知，故B正确；
对于选项C，易知，故C错误；
对于选项D，易知，故D错误.故选：AB.
6. （多选题）设随机变量的分布列为，则 （ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABC
【解析】
【分析】由题意结合离散型随机变量分布列的性质可得，即可判断A、D；由即可判断B；由即可判断C；即可得解.
【详解】随机变量的分布列为,
， 解得，
故A正确；，故B正确；
，故C正确；
，故D错误.故答案为：A、B、C.
【点睛】本题考查了离散型随机变量分布列的性质与应用，考查了运算求解能力.
7. 设随机变量的分布列为，则___________.
【答案】或
【解析】
【分析】由分布列的性质列式求解，再根据的含义代入概率公式求解.
【详解】由题意，，所以，得，所以.
故答案为：
8. 若随机变量X的分布列如下表所示：
则a2＋b2的最小值为________．
【答案】
【解析】
【分析】首先根据分布列的性质得到，再利用基本不等式的性质求解即可.
【详解】
由分布列的性质，知，即.
因为，当且仅当时取等号.
所以的最小值为.
故答案为：
9. 将3个小球任意地放入4个大玻璃杯中，一个杯子中球的最多个数记为X，则X的分布列是________.
【答案】
【解析】
【分析】将3个小球任意地放入4个玻璃杯中，杯子中球的个数最多为3个，那么对于各种情况下的概率值进行计算得到分布列．
【详解】由题意知X的可能取值为1，2，3
； ；.
故答案为：
10. 一袋中装有4只同样大小的球，编号分别为1，2，3，4，现从中随机取出2个球，以X表示取出球的最大号码，则X的分布列为_____________
【答案】
【解析】
【分析】由题意随机变量X所有可能取值为2，3，4，然后求出各自对应的概率，即可求出X的分布列
【详解】由题意随机变量X所有可能取值为2，3，4.
且P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝.
因此X的分布列为：
故答案为：
11. 已知分布列
则（1）x＝________；（2）P(Y＞3)＝________；（3）P(1＜Y≤4)＝________.
【答案】 0.1； 0.45； 0.55.
【解析】
【分析】
（1）由离散型随机变量的各个取值的概率之和为1即可求得x的值；
（2）将Y的值大于3的各种情况的概率值相加即得；
（3）将满足，即的各个概率相加即得.
【详解】
解：(1)由概率和为1，∴,解得.
(2).
(3).
故答案为：0.1；0.45；0.55.
【点睛】
本题考查离散型随机变量的性质，根据离散型随机变量的各个概率之和为1和离散型随机变量的概率分布有两条基本性质：
(1).；(2).另外离散型随机变量的各个值时互斥的，概率是可加的.
12.甲、乙两队在一次对抗赛的某一轮中有3道题，比赛规则：对于每道题，没有抢到题的队伍得0分，抢到题，并回答正确的得1分，抢到题目但回答错误的扣1分(即－1分)，若X是甲队在该轮比赛获胜时的得分(分数高者胜)，则X的所有可能值为________.
【答案】－1，0，1，2，3.
【解析】
【分析】甲胜乙，包含下面几种情况：一是甲抢到一题但答错了，而乙抢到了两个题目都答错了；甲没有抢到题目；甲抢到一个题；甲抢到两个题；甲抢到三个题；写出可能的取值．
【详解】
X＝－1表示甲抢到1题，且答错了，而乙抢到两题均答错，则甲获胜；
甲获胜还有以下可能：
X＝0，有两种可能：甲没抢到题，而乙抢到3题，且答错2题或3题；甲抢到2题，且1对1错，乙抢到1题，且答错；
X＝1时，有两种可能：甲抢到1题，且答对，而乙抢到2题，且1对1错或都错；甲抢到3题，且1错2对.
X＝2时，甲抢到2题均答对；
X＝3时，甲抢到3题均答对；
故答案为：－1，0，1，2，3.
13. 袋中装有只红球和只黑球，从袋中任取只球，取到只红球得分，取到只黑球得分，设得分为随机变量，则的概率为__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据给定条件可得取出的4只球中至少有两个红球，有三种情况，分别求出各个情况的概率，再用互斥事件的加法公式计算作答.
【详解】依题意，的事件是，，的三个互斥事件的和，
的事件是取出2只红球、2只黑球的事件，，
的事件是取出3只红球、1只黑球的事件，，
的事件是取出4只红球的事件，，
因此，，
所以的概率为.
故答案为：
14. 一批产品分为四级，其中一级产品是二级产品的两倍，三级产品是二级产品的一半，四级产品与三级产品相等，从这批产品中随机抽取一个检验质量，设其级别为随机变量ξ，则_____.
【答案】
【解析】
由题可得，，，根据概率和为1即可求出.
【详解】
依题意，，，，
由分布列性质得，
则，即，.
所以.
故答案为：.
15. 随机变量的分布列如表格所示，，则的最小值为______．
【答案】9
【解析】
【分析】先根据概率分布得，再根据基本不等式求最值.
【详解】根据概率分布得，且，
当且仅当时取等号
即的最小值为9
故答案为：9
【点睛】本题考查概率分布、利用基本不等式求最值，考查基本分析求解能力.
16. 一个袋子里装有个红球和个黑球，从袋中取个球，取到个红球得分，取到个黑球得分．设总得分为随机变量，则_______．
【答案】
【解析】
【分析】列出取出的4个球中红球的个数及对应的黑球个数，即可得可能出现的分值，利用排列组合知识列出概率计算公式从而求出概率.
【详解】取出的4个球中红球的个数可能为4，3，2，1个，黑球相应个数为0，1，2，3个，
其分值为，.
故答案为：
【点睛】本题考查离散型随机变量分布列，古典概型概率计算公式，排列组合计数原理.
C 培优拔尖练
1. 篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，不中得0分．已知某运动员罚球命中的概率为0.7，求他罚球1次的得分的分布列．
【答案】见解析
【解析】
【详解】
试题分析：先确定随机变量可能取法，再分别求对应概率，最后列表可得分布列，也可根据二点分布直接得分布列
试题解析：解 设此运动员罚球1次的得分为ξ，则ξ的分布列为
(注：ξ服从二点分布)
点睛：(1)先根据随机变量的特点判断出随机变量服从什么特殊分布；
(2)可以根据特殊分布的概率公式列出分布列，根据计算公式计算出均值和方差；也可以直接应用离散型随机变量服从特殊分布时的均值与方差公式来计算；若X＝aξ＋b不服从特殊分布，但ξ服从特殊分布，可利用有关性质公式及E(ξ)，D(ξ)求均值和方差．
2. 从含有2名女生的10名大学毕业生中任选3人进行某项调研活动，记女生入选的人数为ξ，求ξ的分布列．
【答案】ξ的分布列为：
【解析】
【分析】
根据ξ的所有可能取值为0，1，2，分别求出其概率，写出分布列即可.
【详解】
解：由题意得：ξ的所有可能取值为0，1，2
“ξ＝0”表示入选3人全是男生，则
“ξ＝1”表示入选3人中恰有1名女生，则
“ξ＝2”表示入选3人中有2名女生，则
因此ξ的分布列为：
3. 一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数为ξ.
（1）列表说明可能出现的结果与对应的ξ的值；
（2）若规定抽取3个球中，每抽到一个白球加5分，抽到黑球不加分，且最后不管结果都加上6分．求最终得分η的可能取值，并判定η的随机变量类型．
【答案】（1）答案见解析；（2）η的可能取值为6，11，16，21，η为离散型随机变量．
【解析】
【分析】
（1）5个白球和5个黑球中任取3个取到白球的个数分别为0，1，2，3便可求得答案.
（2）由题意分析η＝5ξ＋6，根据对应的ξ.的值，代入求解.
【详解】
（1）
（2）由题意可得η＝5ξ＋6，而ξ可能的取值为0，1，2，3
所以η对应的各值是5×0＋6，5×1＋6，5×2＋6，5×3＋6.
故η的可能取值为6，11，16，21，显然η为离散型随机变量．
4. 随着国家对体育、美育的高度重视，不少省份已经宣布将体育、美育纳入中考范畴．某学校为了提升学生的体育水平，决定本学期开设足球课，某次体育课上，体育器材室的袋子里有大小、形状相同的2个黄色足球和3个白色足球，现从袋子里依次随机取球．
（1）若连续抽取3次，每次取1个球，求取出1个黄色足球、2个白色足球的概率；
（2）若无放回地取3次，每次取1个球，取出黄色足球得1分，取出白色足球不得分，求总得分X的分布列．
【答案】（1）；（2）分布列见解析.
【解析】
【分析】（1）利用古典概型概率公式即求；（2）由题知X的取值范围为，分别求概率，即得.
【详解】（1）从袋子里连续抽取3次，每次取1个球，设事件A为“取出1个黄色足球、2个白色足球”，则．
（连续抽取3次，每次取1个球，求取出1个黄色足球、2个白色足球的概率问题可转化为从5个足球中选出3个足球，其中有1个黄色足球、2个白色足球的概率问题）
（2）X的取值范围为，
则，，．
所以总得分X的分布列为：
5. 某师范大学地理学院决定从n位优秀毕业生(包括x位女学生，3位男学生)中选派2位学生到某贫困山区的一所中学担任第三批顶岗实习教师.每一位学生被派的机会是相同的.
（1）若选派的2位学生中恰有1位女学生的概率为，试求出n与x的值；
（2）在（1）的条件下，记X为选派的2位学生中女学生的人数，写出X的分布列.
【答案】（1）n＝5，x＝2或n＝6，x＝3；（2）答案见解析.
【解析】
【分析】（1）分别求出总方法数和2位学生中恰有1位女学生的方法数，运用概率公式列方程求解n即可；
（2）X为选派的2位学生中女学生的人数，得出X可能的取值为0，1，2，分别求解概率，列出分布列即可．
【详解】（1）从n位优秀毕业学生中选派2位学生担任第三批顶岗实习教师的总结果数为，
2位学生中恰有1位女生的结果数为，
依题意可得＝＝，化简得n2－11n＋30＝0，解得n1＝5，n2＝6.
当n＝5时，x＝5－3＝2；当n＝6时，x＝6－3＝3，
故所求的值为n＝5，x＝2或n＝6，x＝3；
(2)①当n＝5，x＝2时，X可能的取值为0，1，2，
P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝.
故X的分布列为
②当n＝6，x＝3时，X可能的取值为0，1，2.
P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝.
故X的分布列为
6. 一个袋中有形状大小完全相同的3个白球和4个红球.
（1）从中任意摸出一球，用0表示摸出白球，用1表示摸出红球，求X的分布列；
（2）从中任意摸出两个球，用0表示两个球全是白球，用1表示两个球不全是白球，求X的分布列.
【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据题意，利用古典概型的概率公式分别求出和 时的概率，再画出 的分布列即可；
（2）根据题意，利用古典概型的概率公式求出时的概率 , 再根据对立事件的概率公式求出时的概率，最后画出 的分布列即可.
【详解】（1）X的分布列为
（2）∵P(X＝0)＝ ＝ ，
∴X的分布列为
7. 设离散型随机变量的分布列为
（1）求的分布列；
（2）求的分布列．
【答案】（1）答案见解析 ；（2） 答案见解析．
【解析】
【分析】
（1）由题设的取值写出的可能取值，根据的分布列写出的分布列；
（2）由题设的取值写出的可能取值，根据的分布列写出的分布列；
【详解】
【解】（1）由题意，知的可能取值为2，5，8，11，14，
∴的分布列为
（2）由题意，知的可能取值为0，1，2，3，
∴的分布列为
8. 写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果.
（1）一个袋中装有8个红球，3个白球，从中任取5个球，其中所含白球的个数为X.
（2）一个袋中有5个同样大小的黑球，编号为1，2，3，4，5，从中任取3个球，取出的球的最大号码记为X.
【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析.
【解析】
【分析】
（1）表示白球的个数，先分析的可取值，然后分析每个取值对应的结果；
（2）表示取出球的最大号码，先分析的可取值，然后分析每个取值对应的结果.
【详解】
（1）X可取0，1，2，3.
表示取5个球全是红球；
表示取1个白球，4个红球；
表示取2个白球，3个红球；
表示取3个白球，2个红球.
（2）X可取3，4，5.
表示取出的球编号为，
表示取出的球编号为；；，
表示取出的球编号为；；；；；.
9. 下列随机试验的结果能否用离散型随机变量表示？若能，请写出各随机变量可能的取值，并说明这些值所表示的随机试验的结果．
（1）抛掷2枚骰子，所得点数之和；
（2）某足球队在5次点球中射进的球数；
（3）任意抽取一瓶标有1500mL的饮料，其实际含量与规定含量之差．
【答案】(1)答案见解析；(2)答案见解析；(3)答案见解析.
【解析】
【分析】
(1)抛掷两枚骰子，所得点数之和，能用离散型随机变量表示，利用列举法能求出个随机变量可能的取值和这些值所表示的随机试验的结果.
(2)某足球队在5次点球中射进的球数能用离散型随机变量表示，利用列举法能求出个随机变量可能的取值和这些值所表示的随机试验的结果.
(3)任意抽取一瓶某种标有1500mL的饮料，其实际量与规定量之差，不能用离散型随机变量表示.
【详解】
(1)抛掷两枚骰子所得点数之和，能用离散型随机变量表示，各随机变量可能的取值分别为2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12.
2表示抛掷两枚骰子得到的结果为11；
3表示抛掷两枚骰子得到的结果为12；21；
4表示抛掷两枚骰子得到的结果为13；22；31；
5表示抛掷两枚骰子得到的结果为14；23；32；41；
6表示抛掷两枚骰子得到的结果为15；51；24；42；33；
7表示抛掷两枚骰子得到的结果为16；61；25；52；34；43；
8表示抛掷两枚骰子得到的结果为26；62；35；53；44；
9表示抛掷两枚骰子得到的结果为36；63；45；54；
10表示抛掷两枚骰子得到的结果为46；64；55；
11表示抛掷两枚骰子得到的结果为56；65；
12表示抛掷两枚骰子得到的结果为66.
(2)某足球队在5次点球中射进的球数能用离散型随机变量表示，各随机变量可能的取值分别为0，1，2，3，4，5
0表示5次点球中射进0球；
1表示5次点球中射进1球；
2表示5次点球中射进2球；
3表示5次点球中射进3球；
4表示5次点球中射进4球；
5表示5次点球中射进5球.
(3)任意抽取一瓶某种标有1500mL的饮料，其实际量与规定量之差，不能用离散型随机变量表示.
10. 某汽车美容公司为吸引顾客，推出优惠活动：对首次消费的顾客，按200元/次收费，并注册成为会员，对会员逐次消费给予相应优惠，标准如下：
若该公司注册的会员中没有消费超过5次的，从注册的会员中，随机抽取了100位进行统计，得到统计数据如下：
假设汽车美容一次，公司成本为150元，根据所给数据，解答下列问题：
（1）某会员仅消费两次，求这两次消费中，公司获得的平均利润；
（2）以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，设该公司为一位会员服务的平均利润为元，求的分布列.
【答案】（1）公司获得的平均利润为元；（2）分布列答案见解析.
【解析】
（1）分别求出该会员第一次消费与第二次消费公司所获得的的利润，求平均值得答案；
（2）求出的所有可能的取值，并求出相应的概率，列出分布列即可.
【详解】（1）因为第一次消费时，公司获得利润为元，
第二次消费时，公司获得利润为元，
所以两次消费中，公司获得的平均利润为元，
（2）因为公司成本为元，所以消费一次公司获得的平均利润为元，消费两次公司获得的平均利润为元，消费三次公司获得的平均利润为元，消费四次公司获得的平均利润为元，
消费五次公司获得的平均利润为元，
的所有可能的取值为，
，
，
，
，
，
.故的分布列为
【点睛】求离散型随机变量分布列的步骤
（1）求出随机变量所有可能的取值，（2）求出每一个取值对应的概率，（3）列出分布列即可.
11. 设为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，；当两条棱平行时，的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，.
（1）求概率；
（2）求的分布列.
【答案】（1）；（2）分布列答案见解析.
【解析】
（1）求出两条棱相交时相交棱的对数，即可由概率公式求得概率；（2）求出两条棱平行且距离为的共有对，即可求出相应的概率，从而求出随机变量的分布列.
【详解】
（1）若两条棱相交，
则交点必为正方体8个顶点中的1个，
过任意1个顶点恰有3条棱，
所以共有对相交棱.
所以.
（2）若两条棱平行，
则它们的距离为1或，
其中距离为的共有6对.
的所有可能取值为0，1，，
则，
.
所以随机变量的分布列是
12.设S是不等式x2－x－6≤0的解集，整数m，n∈S.
（1）设“使得m＋n＝0成立的有序数组(m，n)”为事件A，试列举事件A包含的基本事件；
（2）设ξ＝m2，求ξ的分布列.
【答案】（1）(－2，2)，(2，－2)，(－1，1)，(1，－1)，(0，0)；（2）答案见解析.
【解析】
【分析】
（1）由不等式可得S＝{x|－2≤x≤3}，再由m，n∈Z，m，n∈S且m＋n＝0，可求出事件A包含的基本事件；
（2）由题意可得ξ＝m2的所有不同取值为0，1，4，9，然后求出各自对应的概率，从而可得ξ的分布列
【详解】
（1）由x2－x－6≤0，得－2≤x≤3，即S＝{x|－2≤x≤3}.
由于m，n∈Z，m，n∈S且m＋n＝0，
所以事件A包含的基本事件为：(－2，2)，(2，－2)，(－1，1)，(1，－1)，(0，0).
（2）由于m的所有不同取值为－2，－1，0，1，2，3，
所以ξ＝m2的所有不同取值为0，1，4，9，且有
P(ξ＝0)＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝4)＝＝，
P(ξ＝9)＝.
故ξ的分布列为：
13. 为庆祝元旦，班委会决定组织游戏，主持人准备好甲､乙两个袋子.甲袋中有3个白球，2个黑球；乙袋中有4个白球，4个黑球.参加游戏的同学每抽出1个白球须做3个俯卧撑，每抽出1个黑球，须做6个俯卧撑
方案①：参加游戏的同学从甲､乙两个袋子中各随机抽出1个球；
方案②：主持人随机将甲袋中的2个球放入乙袋，然后参加游戏的同学从乙袋中随机抽出1个球；
方案③：主持人随机将乙袋中的2个球放入甲袋，然后参加游戏的同学从甲袋中随机抽出1个球.
(1)若同学小北选择方案①，求小北做6个俯卧撑的概率；
(2)若同学小北选择方案，设小北做俯卧撑的个数为，求的分布列；
(3)如果你可以选择按方案②或方案③参加游戏，且希望少做俯卧撑，那么你应该选择方案②还是方案③，还是两个方案都一样？（直接写出结论）
【答案】(1)；(2)分布列见解析；(3)方案③.
【分析】(1)根据条件结合独立事件的乘法公式求出小北每个袋各抽一个白球的概率即可.
(2)先求出从甲袋分别取2白球、1白1黑、2黑球的事件的概率，再求出的可能值，并求出对应的概率即可作答.
(3)同(2)的方法，求出做3个俯卧撑的概率，再比对即可作答.
【解析】(1)按方案①，小北做6个俯卧撑的事件是从甲、乙两袋中各抽出1个白球的事件，而每个袋中抽球是相互独立的，
所以小北做6个俯卧撑的概率.
(2)从甲袋中任取2个球有三种情况，当选的2个球为白球时的概率为：，
当选的2个球为1白1黑的两球时的概率为：，当选的2个球为黑球时的概率为：，
而的可能值为3，6，
，，
所以的分布列为：
(3)从乙袋中任取2个球有三种情况，当选的2个球为白球时的概率为：，
当选的2个球为1白1黑的两球时的概率为：，当选的2个球为黑球时的概率为：，
小北抽出白球的概率为：，显然，
所以应该方案③.
14. 为发展业务，某调研组对A，B两个公司的扫码支付情况进行调查，准备从国内（）个人口超过1000万的超大城市和8个人口低于100万的小城市随机抽取若干个进行统计．若一次抽取2个城市，全是小城市的概率为．
(1)求的值；
(2)若一次抽取4个城市，
（i）假设抽取出的小城市的个数为，求的概率分布列；
（ii）若抽取的4个城市是同一类城市，求全为超大城市的概率．
【答案】(1)7
(2)（i）
（ii）
【分析】
（1）一次抽取2个城市，全是小城市的个数和从个城市中一次抽取2个城市的情况用组合数表达出来，列出方程，求出的值；（2）（i）用超几何分布求出分布列，（ii）把抽取的4个城市是同一类城市，全为超大城市和全为小城市的情况均求出来，进而求出全为超大城市的概率.
【解析】
（1）从个城市中一次抽取2个城市，有种情况，其中全是小城市的有种情况，则全是小城市的概率为，解得
(2)（i）由题意可知，的可能取值为0，1，2，3，4，
，，，
，，
则的概率分布列为
（ii）若抽取的4个城市全是超大城市，共有种情况；若抽取的4个城市全是小城市，共有种情况，所以若抽取的4个城市是同一类城市，则全为超大城市的概率为．
15. 某大学开设甲､乙､丙三门选修课，学生选修哪门课互不影响.已知学生小张只选甲的概率为0.08，只选甲和乙的概率为0.12，至少选一门课的概率为0.88，用表示小张选修的课程数量和没有选修的课程数量的乘积.
(1)求学生小张选修甲的概率.
(2)记“函数为R上的偶函数”为事件A，求事件A的概率.
(3)求的分布列.
【答案】(1)0.4
(2)0.24
(3)答案见解析
【解析】
【分析】
（1）利用相互独立事件的概率公式及相互对立事件的概率公式列出方程求出学生小张选修甲的概率．
（2）先判断出事件A表示的实际事件，再利用互斥事件的概率公式及相互独立事件的概率公式求出事件A的概率；
（3）求出ξ可取的值，求出取每个值的概率值，列出分布列即可.
(1)
设学生小张选修甲､乙､丙的概率分别为x，y，z，
则解得
所以学生小张选修甲的概率为0.4.
(2)
若函数为R上的偶函数，则.
当时，表示小张选修三门课或三门课都不选，
所以，
即事件A的概率为0.24.
(3)
根据题意，知可能的取值为0，2，.
根据分布列的性质，知，
所以的分布列为
16. 某市卫生防疫部门为了控制某种病毒的传染，提供了批号分别为1，2，3，4，5的五批疫苗，供全市所辖的，，三个区市民接种，每个区均能从中任选一个批号的疫苗接种．
（1）求三个区市民接种的疫苗批号中恰好有两个区相同的概率；
（2）记，，三个区选择的疫苗批号的中位数为，求的分布列．
【答案】（1） ；
（2）随机变量的分布列为：
【解析】
【分析】
（1）恰好有两个区批号相同,即就是有两个区是同一个批号，另一个区批号是剩下四个编号中的1个，共占了5个批号中的2个即种方法，三个区中哪两个区批号相同是随机的即，
所以恰好有两个区批号相同的排法总数为；而每个区任选一个批号都是随机的，都有5种可能即种可能性, 即可计算三个区市民接种的疫苗批号中恰好有两个区相同的概率；
（2）根据题意，三个区选择的疫苗批号的中位数的所有可能取值为1，2，3，4，5分别计算概率，然后列出分布列.
【详解】
【解】（1）设三个区市民接种的疫苗批号中恰好有两个区相同为事件，则．
（2）的所有可能取值为1，2，3，4，5，则
，，，，．
所以随机变量的分布列为：
课程标准
课标解读
通过具体案例，了解离散型随机变量的
概念，理解随机变量的分布列及其性质；
通过具体案例，了解两点分布的概念及
特点.
会求离散型随机变量的分布列及两点
分布列的相关量.
通过本节课的学习，要求会求简单应用问题中的离散型随机变量的分布列，能应用分布列的相关性质求问题中的相关量，会应用两点分布的特点解决与两点分布有关的问题.
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
X
0
1
P
1－p
p
X
－2
－1
0
1
2
3
P
0.1
0.2
0.2
0.3
0.1
0.1
X
0
1
P
0.15
0.85
ξ
0
1
P
X
0
1
2
P
0.7
0.15
0.15
X
－2
0
2
4
P
0.5
0.2
0.3
0
X
1
2
3
P
－
X
1
2
3
P
lg 1
lg 2
lg 5
0
1
2
3
4
0.2
0.1
0.1
0.3
1
3
5
7
9
0.2
0.1
0.1
0.3
0.3
日销售量(件)
0
1
2
3
频数
1
5
9
5
X
2
3
P
X
0
1
P
0.1
0.9
0
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
ξ
0
1
2
P
a
b
c
0
1
2
3
X
0
1
P
X
－1
0
1
P
a
b
c
X
0
1
2
3
P
a
b
X
1
2
3
P
X
1
2
3
P
X
2
3
4
P
X
2
3
4
P
X
2
3
4
P
Y
1
2
3
4
5
6
P
0.1
x
0.35
0.1
0.15
0.2
1
0
ξ
0
1
P
0.3
0.7
ξ
0
1
2
P
ξ
0
1
2
P
ξ
0
1
2
3
结果
取得3个黑球
取得1个白球，2个黑球
取得2个白球，1个黑球
取得3个白球
X
0
1
2
P
X
0
1
2
P
X
0
1
2
P
X
0
1
P


X
0
1
P


0
1
2
3
4
0.2
0.1
0.1
0.3
0.3
2
5
8
11
14
0.2
0.1
0.1
0.3
0.3
0
1
2
3
0.1
0.3
0.3
0.3
消费次第
第1次
第2次
第3次
第4次
次
收费比率
1
0.95
0.90
0.85
0.80
消费次数
1
2
3
4
5
人数
60
20
10
5
5
50
45
40
35
30
0.6
0.2
0.1
0.05
0.05
0
1
ξ
0
1
4
9
P
3
6
0
1
2
3
4
0
1
2
3
4
0
2
P
0.24
0.76
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5