数学第六章 计数原理6.2 排列与组合导学案
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知识精讲
知识点
排列定义:一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素,按照一定的顺序排成一列,叫
做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.
2.排列数定义:从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数,叫做从n个不同元素中取m个元素的排列数,用Aeq \\al(m,n)表示,即Aeq \\al(m,n)=n(n-1)(n-2)…(n-m+1),其中m,n∈N*,且m≤n.
3.全排列:n个不同元素全部取出的一个排列,叫做n个元素的一个全排列.
Aeq \\al(n,n)=n×(n-1)×…×3×2×1=n!,
4.排列数公式:Aeq \\al(m,n)=n(n-1)(n-2)…(n-m+1);Aeq \\al(m,n)=eq \f(n!,n-m!).其中m,n∈N*,且m≤n.
Aeq \\al(n,n)=n×(n-1)×…×3×2×1=n!
【微点拨】1. 若两个排列相同,当且仅当两个排列的元素完全相同,且元素的排列顺序也相同.
2. 规定0!=1
【即学即练1】等于( )
A.9×3B.93
C.9×8×7D.9×8×7×6×5×4×3
【答案】C
【解析】
【分析】
根据排列数的计算公式即可求出结果.
【详解】
根据排列数的计算公式可得,
故选:C.
【即学即练2】甲、乙、丙三名同学排成一排,不同的排列方法有( )
A.3种B.4种C.6种D.12种
【答案】C
【解析】
【分析】
三个人排成一排,即3个元素的一个全排列,由公式即可得到答案.
【详解】
甲、乙、丙三名同学排成一排,不同的排列方法有 种
故选:C
【即学即练3】6月,也称毕业月,高三的同学们都要与相处了三年的同窗进行合影留念.现有4名男生、2名女生照相合影,若女生必须相邻,则有( )种排法.
A.24B.120C.240D.140
【答案】C
【解析】
运用捆绑法,将2名女生当作1个元素与4名男生作全排列,可得选项.
【详解】
将2名女生捆绑在一起,当作1个元素,与另4名男生一起作全排列,有种排法,而2个女生可以交换位置,
所以共有排法,
故选:C.
【点睛】
本题考查运用捆绑法,解决排列问题中的相邻情况,属于基础题.
【即学即练4】下列各式中与排列数相等的是( )
A. B.n(n-1)(n-2)…(n-m)
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据排列数公式的运算即可得到答案.
【详解】
,故A,B错误;
而,故C错误,D正确.
故选:D.
【即学即练5】有4名司机,4名售票员要分配到4辆汽车上,使每辆汽车上有一名司机和一名售票员,则可能的分配方法有( )
A.种B.种
C.种D.种
【答案】C
【解析】
【分析】
由排列及分步乘法计数原理求解.
【详解】
司机、售票员各有种分配方法,由分步乘法计数原理知,共有种不同的分配方法.
故选:C
【即学即练6】先计算,然后用计算工具检验:
(1);
(2).
【答案】(1)(2)
【解析】
【分析】
根据排列数公式计算可得;
【详解】
解:(1)
(2)
【即学即练7】求证:(1);
(2).
【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析.
【解析】
【分析】
(1)根据排列数的计算公式先化简右式,然后即可证明等式成立;
(2)将左式每一项都变形为阶乘的形式,然后进行化简计算并与右式比较,由此证明等式成立.
【详解】
(1)右式左式,
故等式成立;
(2)左式右式,
故等式成立.
【即学即练8】(1)解不等式;
(2)解方程.
【答案】(1)8(2)3
【解析】
【详解】
(1)由,得,
化简得x2-19x+84<0,解之得7
(2)因为所以x≥3,,
由得(2x+1)2x(2x-1)(2x-2)=140x(x-1)(x-2).
化简得,4x2-35x+69=0,解得x1=3,(舍去).
所以方程的解为x=3.
【名师点睛】注意中隐含了3个条件:①,;②;③的运算结果为正整数.在解与排列数有关的方程或不等式时,应先求出未知数的取值范围,再利用排列数公式化简方程或不等式,最后得出问题的解.注意常用变形,(即),的应用.
能力拓展
求解排列应用问题的六种常用方法
考法01
排列数公式的应用
【典例1】下列各式中,不等于的是( )
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】
【分析】
利用排列数的计算公式即可得出结果.
【详解】
A,,
B,,
C,,
D,,
故选:C
【典例2】用排列数符号表示下列各式:
(1)______;
(2)______;
(3)______(且).
【答案】
【解析】
【分析】
根据排列数公式逆用即可.
【详解】
(1);
(2),
(3)
【典例3】计算:______.
【答案】30
【解析】
【分析】
利用排列数公式先将分子分母写成连乘形式,然后可计算出原式结果.
【详解】
方法一:.
方法二:.
故答案为:.
【典例4】证明:.
【答案】见解析
【解析】
【详解】
,.
【典例5】(1)解不等式:;
(2)解方程:
【答案】(1);(2).
【解析】
(1)利用排列数公式可得出关于的不等式,结合且可得出的取值集合;
(2)由已知得出且,根据排列数公式可得出关于的方程,进而可解得的值.
【详解】
(1)由题意可知,且,
因为,,,
所以原不等式可化为,整理得,
所以,,所以原不等式的解集为;
(2)易得,所以,,
由得,
整理得,即,解得或(舍去).
所以,原方程的解为.
【点睛】
易错点点睛:本题考查排列数方程与不等式的求解,在解题时容易忽略参数的取值范围,从而导致求出不合乎要求的答案,所以在解题时,首先就可以根据组合数的定义得出参数的取值范围,进而列等式或不等式求解.
考法02
数字问题的排列
【典例6】由1,2,3,4,5组成没有重复数字的四位数,按从小到大的顺序排成一个数列{an},则a72等于( )
A.1 543B.2 543
C.3 542D.4 532
【答案】C
【解析】
【分析】
将1,2,3,4分别放在首位,算出四位数个数,发现四类一共72个,进而得到答案.
【详解】
首位是1的四位数有个,
首位是2的四位数有个,
首位是3的四位数有个,
由分类加法计数原理得,
首位小于4的所有四位数共3×24=72(个).
由此得:a72=3 542.
故选:C.
【典例7】由组成没有重复数字且都不与相邻的六位偶数的个数是________
【答案】108
【解析】
【分析】
根据分步计数原理与分类计数原理分类讨论列式求解.
【详解】
先确定个位数为偶数,有3种方法,再讨论:若5在首位或十位,则1,3有三个位置可选,其排列数为;若5在百位、千位或万位,则1,3有两个位置可选,其排列数为;从而所求排列数为
【点睛】
本题考查排列组合应用,考查基本分析求解能力,属基本题.
【典例8】用0,1,2,3,4,5这六个数字可以组成多少个符合下列条件的无重复的数字?
(1)六位奇数;
(2)个位数字不是5的六位数;
(3)不大于4 310的四位偶数.
【答案】(1)288;(2)504;(3)110.
【解析】
【分析】
(1)先排个位,再排首位,其余的位任意排,根据分步计数原理;
(2)2因为0是特殊元素,分两类,个位数字是0,和不是0;
(3)需要分类,不大于4310的四位偶数,即是小于等于4310的偶数,当千位小于4,当百位小于3,当十位小于1时,然后根据分类计数原理可得.
【详解】
(1)先排个位数,有种,因为0不能在首位,再排首位有种,最后排其它有,根据分步计数原理得,六位奇数有;
(2)因为0是特殊元素,分两类,个位数字是0,和不是0, 当个位数是0,有, 当个位不数是0,有,根据分类计数原理得,个位数字不是5的六位数有;
(3)当千位小于4时,有种, 当千位是4,百位小于3时,有 种, 当千位是4,百位是3,十位小于1时,有1种, 当千位是4,百位是3,十位是1,个位小于等于0时,有1种, 所以不大于4310的四位偶数4有.
【点睛】
本题主要考查排列与组合及两个基本原理,排列数公式、组合数公式的应用,注意特殊元素和特殊位置,要优先考虑,体现了分类讨论的数学思想,属于中档题
考法03
排队问题:
【典例9】5名大人带2个小孩排队上山,小孩不排在一起也不排在头尾,则不同的排法有( )
A.种B.种
C.种D.种
【答案】A
【解析】
【分析】
由分步乘法计数原理及插空法即求.
【详解】
先排大人,有种排法,去掉头尾后,有4个空位,再分析小孩,用插空法,将2个小孩插在4个空位中,有种排法,由分步乘法计数原理可知,有种不同的排法.
故选:A.
【典例10】6个人站一排,甲不在排头,乙不在排尾,共有________种不同排法.
【答案】504.
【解析】
【分析】
运用特殊法求解排列数即可.
【详解】
6个人站成一排,总的排列数为:,
其中,甲在排头且乙在排尾的排列数为:,
甲在排头的排列数为:,乙在排尾的排列数为:,
所以甲不在排头且乙不在排尾的排列数为:,
故答案为:504.
【典例11】5个人排成一排,要求甲、乙两人之间至少有一人,则不同的排法有________种.
【答案】72
【解析】
【分析】
先求出所有的排法,再排除甲乙二人相邻的排法,即得甲、乙两人中间至少有一人的排法.
【详解】
解:5个人排成一排所有的排法共有种,
其中甲乙二人相邻的排法有种,
所以甲、乙两人中间至少有一人的排法有种.
故答案为:72.
【典例12】有3名男生、4名女生,在下列不同条件下,求不同的排列方法总数.
(1)选5人排成一排;
(2)排成前后两排,前排3人,后排4人;
(3)全体排成一排,甲不站排头也不站排尾;
(4)全体排成一排,女生必须站在一起;
(5)全体排成一排,男生互不相邻.
(6)全体站成一排,甲不站排头,乙不站排尾.
【解析】 (1)从7人中选5人排列,有Aeq \\al(5,7)=7×6×5×4×3=2 520(种).
(2)分两步完成,先选3人站前排,有Aeq \\al(3,7)种方法,余下4人站后排,有Aeq \\al(4,4)种方法,共有Aeq \\al(3,7)·Aeq \\al(4,4)=5 040(种).
(3)法一:(特殊元素优先法)先排甲,有5种方法,其余6人有Aeq \\al(6,6)种排列方法,共有5×Aeq \\al(6,6)=3 600(种).
法二:(特殊位置优先法)首尾位置可安排另6人中的两人,有Aeq \\al(2,6)种排法,其他有Aeq \\al(5,5)种排法,共有
Aeq \\al(2,6)Aeq \\al(5,5)=3 600(种).
(4)(捆绑法)将女生看作一个整体与3名男生一起全排列,有Aeq \\al(4,4)种方法,再将女生全排列,有Aeq \\al(4,4)种方法,共有Aeq \\al(4,4)·Aeq \\al(4,4)=576(种).
(5)(插空法)先排女生,有Aeq \\al(4,4)种方法,再在女生之间及首尾5个空位中任选3个空位安排男生,有Aeq \\al(3,5)种方法,共有Aeq \\al(4,4)·Aeq \\al(3,5)=1 440(种).
(6)甲不站排头,乙不站排尾,用间接法,有Aeq \\al(7,7)-2Aeq \\al(6,6)+Aeq \\al(5,5)=3 720(种).
考法04
定序问题:解决排列问题常用的方法
(1)对于定序问题,可采用“除阶乘法”解决,即用不限制的排列数除以顺序一定元素的全排列数.
(2)分排问题直接处理.
(3)正难则反,等价转化的方法.
(4)对于复杂问题分类讨论,转化为若干个简单问题.
【典例13】7人排成一排,限定甲要排在乙的左边,乙要排在丙的左边,甲、乙相邻,乙、丙不相邻,则不同排法的种数是( )
A.60 B.120
C.240 D.360
【答案】C
【解析】先排甲、乙、丙以外的4人,再把甲、乙按甲在乙左边捆好,与丙插两个空位,并去掉顺序,所以不同的排法种数有eq \f(A\\al(4,4)A\\al(2,5),A\\al(2,2))=240(种),故选C.
【典例14】在某班举行的“庆五一”联欢晚会开幕前已排好有8个不同节目的节目单,如果保持原来的节目相对顺序不变,临时再插进去A,B,C三个不同的新节目,且插进的三个新节目按A,B,C顺序出场,那么共有________种不同的插入方法(用数字作答).
【答案】165
【解析】依题意,将A,B,C插入中间即可,先插A节目有9种空位,再插B节目有10种空位,最后插入C节目有11种空位,由于按A,B,C顺序出场,需去掉A,B,C的顺序,所以不同的插入方法有eq \f(9×10×11,A\\al(3,3))=165种.
【典例15】用1,2,3,4,5,6六个数字组成没有重复数字的六位数,其中百、十、个位的数字按从小到大的顺序排列,这样的六位数共有________个.
【答案】120
【解析】eq \f(A\\al(6,6),A\\al(3,3))=120.∴这样的六位数共有120个.
考法05
排列的综合应用
【典例16】五声音阶是中国古乐的基本音阶,五个音分别称为宫、商、角、徵、羽,如果将这五个音排成一排,宫、羽两个音不相邻,且位于角音的同侧,则不同的排列顺序有( )
A.20种B.24种C.32种D.48种
【答案】C
【解析】
【分析】
根据角音所在的位置分两类,根据分步乘法和分类加法计数原理即可求解.
【详解】
根据角音所在的位置按从左到右依次为位置一、二、三、四、五分两类:
第一类,角音排在位置一或五,则不同的排列顺序有(种);
第二类,角音排在位置二或四,则不同的排列顺序有(种);
根据分类加法计数原理,可得不同的排列顺序共有(种).
故选:C.
【典例17】一场小型晚会有个唱歌节目和个相声节目,要求排出一个节目单.
(1)个相声节目要排在一起,有多少种排法?
(2)第一个节目和最后一个节目都是唱歌节目,有多少种排法?
(3)前个节目中要有相声节目,有多少种排法?
【答案】(1);(2);(3).
【解析】
【分析】
(1)利用捆绑法可求解;
(2)利用特殊元素优先选择,即可求解;
(3)利用正难则反,先算前3个节目中没有相声,即相声在后两个节目的排法,即可求解.
【详解】
(1)把两个相声节目捆绑在一起作为一个节目与其他节目排列共有排法;
(2)选两个唱歌节目排在首尾,剩下的3个节目在中间排列,排法为;
(3)5个节目全排列减去后两个都是相声的排法,共有.
【点睛】
方法点睛:本题主要考查排列的应用,属于中档题.常见排列数的求法为:
(1)相邻问题采取“捆绑法”;
(2)不相邻问题采取“插空法”;
(3)有限制元素采取“优先法”;
(4)特殊元素顺序确定问题,先让所有元素全排列,然后除以有限制元素的全排列数.
【典例18】已知10件不同的产品中有4件次品,现对它们一一测度,直至找到所有4件次品为止.
(1)若恰在第2次测试时,才测试到第一件次品,第8次才找到最后一件次品,则共有多少种不同的测试方法?
(2)若至多测试6次就能找到所有4件次品,则共有多少种不同的测试方法?
【答案】(1)86400;(2)8520.
【解析】
【分析】
(1)首先考虑第2次和第8次的可能情况,再分析第3到7次的可能情况,结合分步计数原理即可求出结果;
(2)分别三类:检测4次可测出4件次品,检测5次可测出4件次品,以及检测6次测出4件次品或6件正品,然后结合分类计数原理即可求出结果.
【详解】
(1)若恰在第2次测试时,才测到第一件次品,第8次才找到最后一件次品,若是不放回地逐个抽取测试,
第2次测到第一件次品有4种方法;
第8次测到最后一件次品有3种方法;
第3至第7次抽取测到最后两件次品共有种方法;剩余4次抽到的是正品,共有=86400种抽法.
(2)检测4次可测出4件次品,不同的测试方法有种,
检测5次可测出4件次品,不同的测试方法有种;
检测6次测出4件次品或6件正品,则不同的测试方法共有种.
由分类计数原理,知满足条件的不同测试方法的种数为=8520种.
分层提分
题组A 基础过关练
1.等于( )
A.B.
C.D.
【答案】D
【解析】
【分析】
结合已知条件,根据排列数公式求解即可.
【详解】
因为从4,5,,,共个数,
所以根据排列数公式知,.
故选:D.
2.在新冠肺炎疫情防控期间,某记者要去武汉4个方舱医院采访,则不同的采访顺序有( )
A.4种B.12种C.18种D.24种
【答案】D
【解析】
【分析】
由全排列的知识进行计算可得答案.
【详解】
解:由题意可得不同的采访顺序有种,
故选:D.
【点睛】
本题主要考查排列组合中的全排列的知识,考查对基础知识的了解,属于基础题.
3. 从2,3,5,7四个数中任选两个分别相除,则得到的结果有( )
A.6个B.10个C.12个D.16个
【答案】C
【解析】
【分析】
利用排列定义即可得到结果.
【详解】
从2,3,5,7四个数中任选两个数分别相除,所得结果有=4×3=12个.
故选C
【点睛】
本题考查了排列数公式的应用问题,是基础题.
4. 2018年清华大学冬令营开营仪式文艺晚会中,要将这五个不同节目编排成节目单,如果节目不能排在开始和结尾,两个节目要相邻,则节目单上不同的排序方式有种( )
A.12B.18C.24D.48
【答案】C
【解析】
分或排在第一个,或排在最后一个,以及、不排在开始和结尾,三种情况,分别求出排法,即可求出结果.
【详解】
由题意,
若或排在第一个,则有种排法;
若或排在最后一个,则有种排法;
若、不排在开始和结尾,则有种排法;
综上,节目单上不同的排序方式共有种.
故选C
【点睛】
本题主要考查排列问题,根据特殊元素优先考虑的策略,即可处理,属于常考题型.
5. ( )
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】
【分析】
把原代数式化成的形式,根据排列数的计算公式可得前者对应的排列数,故可得正确的选项.
【详解】
由排列数的定义,得
.
故选:D.
6. 现需编制一个八位的序号,规定如下:序号由4个数字和2个x、1个y、1个z组成;2个x不能连续出现,且y在z的前面;数字在1,2,4,8之间选取,可重复选取,且四个数字之积为8,则符合条件的不同的序号种数为( )
A.12 600B.6 300C.5 040D.2 520
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意,数字只能选1,1,1,8或1,1,2,4或1,2,2,2,先排数字和y,z,再插入x,用排列组合数表示,即得解
【详解】
由题意,数字只能选1,1,1,8或1,1,2,4或1,2,2,2,
先排数字和y,z,再插入x,
即为×2+=6 300.
故选:B
7. 某单位有8个连在一起的车位,现有4辆不同型号的车需要停放,如果要求剩余的4个车位中恰好有3个连在一起,则不同的停放方法的种数为( )
A.240B.360C.480D.720
【答案】C
【解析】
【分析】
给8个车位编号:1,2,3,4,5,6,7,8,按照连在一起的3个车位分6类计数可得结果.
【详解】
给8个车位编号:1,2,3,4,5,6,7,8,
当1,2,3号为空时,有种停放方法;
当2,3,4号为空时,有种停放方法;
当3,4,5号为空时,有种停放方法;
当4,5,6号为空时,有种停放方法;
当5,6,7号为空时,有种停放方法;
当6,7,8号为空时,有种停放方法;
所以不同的停放方法的种数为种.
故选:C.
【点睛】
本题考查了相邻问题和不相邻问题的排列应用题,考查了分类计数原理,属于基础题.
8. 7个人排成一队参观某项目,其中ABC三人进入展厅的次序必须是先B再A后C,则不同的列队方式有多少种( )
A.120B.240C.420D.840
【答案】D
【解析】
先求出7人排成一列总共多少种排法,再对ABC三人进行定序缩倍即可得解.
【详解】
根据题意,先将7人排成一列,有A77种排法,
其中ABC三人进入展厅的次序必须是先B再A后C,即ABC三人顺序一定,
则不同的列队方式有840种;
故选:D.
【点睛】本题考查了排列中的定序问题,即在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序,可用缩小倍数的方法来解决,本题就用了该方法,属于中档题.
9. 某次演出共有6位演员参加,规定甲只能排在第一个或最后一个出场, 乙和丙必须排在相邻的顺序出场,请问不同的演出顺序共有( )
A.24种B.144种C.48种D.96种
【答案】D
【解析】
【分析】
先安排甲有2种方案,再安排乙和丙有种方案,最后安排剩余的三个演员有种方案,根据分步计数原理可得.
【详解】
第一步,先安排甲有种方案;第二步,安排乙和丙有种方案;第三步,安排剩余的三个演员有种方案,根据分步计数原理可得共有种方案.故选D.
【点睛】
本题主要考查计数原理,先明确是利用分步计数原理还是分类计数原理,再求解每一步不同的方案,特殊元素,特殊位置优先考虑安排,侧重考查逻辑推理和数学运算的核心素养.
10. 一条铁路有n个车站,为适应客运需要,新增了m个车站,且知,客运车票增加了62种,则现在车站的个数为( )
A.15B.16C.17D.18
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意得,化简计算可得,由于,,可得,从而可求出,经验证可得答案
【详解】
原来个车站有种车票,新增了个车站,有种车票,
由题意得,即,
整理得,∴,
∵,,∴,∴,解得,即.
当时,均不为整数,只有当时,符合题意,
∴,故现在有17个车站.
故选:C.
11.甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动,要求每人参加一天且每天至多安排一人,并要求甲安排在另外两位前面,不同的安排方法共有( )
A.20种B.30种C.40种D.60种
【答案】A
【解析】
【详解】
根据题意,分析可得,甲可以被分配在星期一、二、三;据此分3种情况讨论,计算可得其情况数目,进而由加法原理,计算可得答案.
解:根据题意,要求甲安排在另外两位前面,则甲有3种分配方法,即甲在星期一、二、三;
分3种情况讨论可得,
甲在星期一有A42=12种安排方法,
甲在星期二有A32=6种安排方法,
甲在星期三有A22=2种安排方法,
总共有12+6+2=20种;
故选A.
12. 某教师一天上3个班级的课,每班上1节,如果一天共9节课,上午5节,下午4节,并且教师不能连上3节课(第5节和第6节不算连上),那么这位教师一天的课表的所有不同排法有( )
A.474种B.77种C.462种D.79种
【答案】A
【解析】
【详解】
试题分析:根据题意,由于某教师一天上3个班级的课,每班一节,如果一天共9节课,上午5节、下
午4节,并且教师不能连上3节课(第5和第6节不算连上),所有的上课方法有,那么连着上3节课的情况有5种,则利用间接法可知所求的方法有-5=474,故答案为A.
考点:排列组合
点评:主要是考查了排列组合的运用
13. 由数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的六位数,其中个位数字小于十位数字的共有( )
A.210个B.300个
C.464个D.600个
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意可得个位数字只能是0,1,2,3,4共5种类型,分别求出每种类型的数量再加起来即可.
【详解】
由题意得,个位数字小于十位数字,
所以个位数字只能是0,1,2,3,4共5种类型,
每种类型分别有个,
共有
故选:B
14. 从,,,,五人中选人分别参加数学和物理竞赛,但不能参加物理竞赛,则不同的选法有( )
A.12种B.16种C.20种D.10种
【答案】B
【解析】
【分析】
先从除外的人中选人参加物理竞赛,再从余下的人中选人参加数学竞赛,由分步乘法计数原理即可求解.
【详解】
先选人参加物理竞赛有种方法,
再从剩下的人中选人参加数学竞赛,有种方法,
由分步乘法计数原理可知:共有种方法,
故选:B.
15. 现有8个人排成一排照相,其中甲、乙、丙三人不全相邻的排法种数为( )
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由8个人全排列的方法数减去甲,乙,丙全相邻的方法数即可得到.
【详解】
在8个人全排列的方法数减去甲,乙,丙全相邻的方法数,就得到甲,乙,丙三人不全相邻的方法数,即.
故选:B.
16. 如果,那么,分别为( )
A.15,10B.15,9C.15,6D.16,10
【答案】C
【解析】
【分析】
由排列数的计算公式,可得解
【详解】
∵,∴,.
故答案为:C
17. 某校组织甲、乙两个班的学生到“农耕村”参加社会实践活动,某天安排有酿酒、油坊、陶艺、打铁、纺织、竹编制作共六项活动可供选择,每个班上午、下午各安排一项活动(不重复),且同一时间内每项活动都只允许一个班参加,则活动安排方案的种数为( )
A.126B.360C.600D.630
【答案】D
【解析】
【分析】
按两个班共选择活动项数进行分类,至少选两项,至多选四项,故分三类求解即可.本题等同染色问题,即四区域六色涂,相邻不能涂同色问题.
【详解】
按两个班共选择活动项数分三类:
第一类:两个班共选择2项活动,有种方法;
第二类:两个班共选择3项活动,有种方法;
第三类:两个班共选择4项活动,有种方法.
则活动安排方案的种数为.
故选:D.
【点睛】
直接分类法是求解有限制条件排列问题的常用方法:先选定一个适当的分类标准,将要完成的事件分成几个类型,分别计算每个类型中的排列数,再由分类加法计数原理得出总数.而对于分类过多的问题,正难则反,一般采用间接法处理.
18. 若M=,则M的个位数字是( )
A.3B.8
C.0D.5
【答案】A
【解析】
【分析】
根据排列数的定义得出在时,的个位数为0,因此只要计算前4个排列数的和即可得结论.
【详解】
∵当n≥5时,
A=1×2×3×4×5××n=120×6××n,
∴当n≥5时A的个位数字为0.
又∵A+A+A+A=1+2+6+24=33,
∴M的个位数字为3.
故选:A.
19. 已知3,则x等于( )
A.6B.13
C.6或13D.12
【答案】A
【解析】
【分析】
由排列数公式(用阶乘表示)变形后求解.
【详解】
因为3,所以,,
解得(舍去).
故选:A.
20. 5人随机排成一排,其中甲、乙不相邻的概率为( )
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先计算出5人随机排列的方法总数,再利用插空法求解出甲、乙两人不相邻的排列方法数,然后利用古典概型的概率计算公式求解.
【详解】
将5人随机排成一列,共有种排列方法;
当甲、乙不相邻时,先将5人中除甲、乙之外的3人排成一列,然后将甲、乙插入,
故共有种排列方法,
则5人随机排成一排,其中甲、乙不相邻的概率为.
故选:C.
【点睛】
本题考查简单的排列问题,考查古典概型概率的计算,较简单. 解答时,不相邻排列问题用插空法求解.
21. 某单位有8个连在一起的车位,现有4辆不同型号的车需要停放,如果要求剩余的4个车位中恰好有3个连在一起,则不同的停放方法的种数为( )
A.240B.360C.480D.720
【答案】C
【解析】
【分析】
给8个车位编号:1,2,3,4,5,6,7,8,按照连在一起的3个车位分6类计数可得结果.
【详解】
给8个车位编号:1,2,3,4,5,6,7,8,
当1,2,3号为空时,有种停放方法;
当2,3,4号为空时,有种停放方法;
当3,4,5号为空时,有种停放方法;
当4,5,6号为空时,有种停放方法;
当5,6,7号为空时,有种停放方法;
当6,7,8号为空时,有种停放方法;
所以不同的停放方法的种数为种.
故选:C.
【点睛】
本题考查了相邻问题和不相邻问题的排列应用题,考查了分类计数原理,属于基础题.
22. 受新冠肺炎疫情影响,某学校按上级文件指示,要求错峰放学,错峰有序吃饭.高三年级一层楼六个班排队,甲班必须排在前三位,且丙班、丁班必须排在一起,则这六个班排队吃饭的不同安排方案共有( )
A.240种B.120种C.188种D.156种
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意,按甲班位置分3 种情况讨论,求出每种情况下的安排方法数目,由加法原理计算即可.
【详解】
解:根据题意,按甲班位置分3 种情况讨论:
(1)甲班排在第一位,丙班和丁班排在一起的情况有种,将剩余的三个班全排列,安排到剩下的3个位置,有种情况,此时有种安排方案;
(2)甲班排在第二位,丙班和丁班在一起的情况有种,将剩下的三个班全排列,安排到剩下的三个位置,有种情况,此时有种安排方案;
(3)甲班排在第三位,丙班和丁班排在一起的情况有种,将剩下的三个班全排列,安排到剩下的三个位置,有种情况,此时有种安排方案;
由加法计数原理可知共有种方案,
故选:B
【点睛】
此题考查排列组合的应用,涉及分类、分步计数原理的应用,属于基础题.
题组B 能力提升练
1. (多选题)对任意正整数n,定义n的双阶乘:当n为偶数时,;当n为奇数时,,则下列四个命题中正确的是( )
A.B.
C.的个位数字为0D.的个位数字为5
【答案】ACD
【解析】
【分析】
根据题设中双阶乘的定义,逐项推理计算,即可求解.
【详解】
由题意,根据双阶乘的定义,可得
,所以A正确;
由,所以B错误;
由能被10整除,则个位数字为0,所以C正确;
由能被5整除,则个位数字为5或0,又是奇数,
所以个位数字为5,故D正确.
故选:ACD.
2.(多选题)下列各式的运算结果中,等于的有( )
A.B.
C.D.
【答案】AC
【解析】
【分析】
应用排列数公式将各选项展开化简,即可判断是否等于.
【详解】
A,,故正确;
B,,故错误;
C,,故正确;
D,,故错误.
故选:AC.
3.(多选题)列各式中正确的是( )
A.B.C.D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】
根据排列数的公式及阶乘的性质求解.
【详解】
,故A项正确;
,故B项正确;
,故C项正确;
,故D项错误.
故选:ABC
4.(多选题)下列说法正确的是( )
A.可表示为
B.若把英文“her”的字母顺序写错了,则可能出现的错误共有23种
C.10个朋友聚会,见面后每两个人握手一次,一共握手45次
D.老师手里有3张参观游园的门票分给7人中的3人,则分法有种
【答案】ABC
【解析】
【分析】
由排列数公式可判断A;由排列定义可判断B;由组合定义可判断C D.
【详解】
A项,,正确;
B项,h,e,r,的全排列为(种),正确的有1种,故可能出现的错误共有(种),正确;
C项,10个朋友,两个人握手一次,共握手(次),正确;
D项,3张门票属于相同元素,故应有种分法,D不正确.
故选:ABC.
5. (多选题)用数字0,1,2,3,4,5组成无重复数字的四位数和五位数,则( )
A.可组成360个四位数
B.可组成216个是5的倍数的五位数
C.可组成270个比1325大的四位数
D.若将组成的四位数按从小到大的顺序排列,则第85个数为2310
【答案】BC
【解析】
【分析】
根据题设,逐一分析各个选项的限制条件,再列式计算即可判断作答.
【详解】
对于A,可组成四位数的个数为,A错误;
对于B,有两类:个位上的数字是0,有个,个位上的数字是5,有个,则为5的倍数的五位数的个数是,B正确;
对于C,比1325大的四位数可分为三类:第一类,千位上数字比1大的四位数,共个,
第二类,千位上数字是1,百位上的数字是4,5之一的四位数,共个,
第三类,千位上数字是1,百位上的数字是3,十位上的数字是4,5之一的四位数,共个,
则比1325大的四位数的个数是,C正确;
对于D,千位上数字是1的四位数的个数是,千位上数字是2,百位上的数字是0,1之一的四位数的个数是,
于是得第85个数是2301,D错误.
故选:BC
6. (多选题)5人并排站成一行,如果甲、乙两个人不相邻,那么不同的排法种数可以是( )
A.B.60
C.72D.
【答案】AC
【解析】
先除去甲、乙两人,将剩下的3人全排,共种不同的排法,再将甲、乙两人从产生的4个空中选2个插入共种不同的排法,由此可得选项.
【详解】
先除去甲、乙两人,将剩下的3人全排,共=3×2×1=6种不同的排法,
再将甲、乙两人从产生的4个空中选2个插入共=12种不同的排法,
所以5人并排站成一行,如果甲、乙两个人不相邻,那么不同的排法种数是=6×12=72,故选:AC.
【点睛】方法点睛:本题主要考查排列的应用,属于中档题.常见排列数的求法为:
(1)相邻问题采取“捆绑法”;
(2)不相邻问题采取“插空法”;
(3)有限制元素采取“优先法”;
(4)特殊元素顺序确定问题,先让所有元素全排列,然后除以有限制元素的全排列数.
7.(多选题)由0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这10个数字组成无重复数字的五位数,其中偶数的个数是( )
A.B.
C.D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】
由题意按照个位是0、个位不是0分类,结合分步乘法、排列的知识可得无重复数字偶数的个数,即可判断A;再由排列数的运算逐项判断其它选项即可得解.
【详解】
对于A,如果个位是0,则有个无重复数字的偶数;如果个位不是0,则有个无重复数字的偶数,所以共有个无重复数字的偶数,故A正确;
对于B,由于,所以,故B正确;
对于C,由于,所以,故C错误;
对于D,由于,故D正确.
故选:ABD.
【点睛】
本题考查了分类加法、分步乘法及排列的应用,考查了排列数的运算.
8.我市大会展厅前广场改造,在人行道(斑马线)两侧划分块区域(如图),现有四种不同颜色的花卉,要求每块区域随机种植一种颜色的花卉,且相邻区域(有公共边的区域)所选花卉颜色不能相同,则不同的摆放方式共有__种.
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意,分两步讨论区域①②和区域③④⑤的摆放方式数目,由分步计数原理计算可得答案
【详解】
根据题意,对于区域①②,可以在种颜色中任选种,有种选法;
对于区域③④⑤,可以在种颜色中任选种,有种选法,
则不同的摆放方式有种.
故答案为:.
【点评】
本题考查排列组合的应用,涉及分步计数原理的应用.
9. 计算____.
【答案】;
【解析】
【分析】
根据阶乘的定义:,计算得到答案.
【详解】
.
【点睛】
本题考查阶乘的计算,考查基本的运算求解能力,要求计算过程耐心、细心,才不会出错.
10. 若不等式成立,则_____________.
【答案】6
【解析】
【分析】
根据排列数公式化简不等式可求得,根据的范围可确定最终结果.
【详解】
,
,解得:
又,即
故答案为:
【点睛】
本题考查排列数公式的应用,关键是能够根据排列数公式将不等式化为分式不等式的形式.
11. 将A,B,C,D四个小球放入编号为1,2,3的三个盒子中,若每个盒子中至少放一个球且A,B不能放入同一个盒子中,则不同的放法有______种.
【答案】30
【解析】
【分析】
先假设可放入一个盒里,那么方法有种,减去在一个盒子的情况,就有5种,把2个球的组合考虑成一个元素,就变成了把三个不同的球放入三个不同的盒子,从而可得到结果.
【详解】
解:由题意知有一个盒子至少要放入2球,先假设可放入一个盒里,那么方法有.
再减去在一起的情况,就是种.把2个球的组合考虑成一个元素,
就变成了把三个不同的球放入三个不同的盒子,那么共有种.
∴根据分步计数原理知共有种.
故选:C.
【点睛】
本题考查分步计数原理,考查带有限制条件的元素的排列问题.两个元素不能同时放在一起,或两个元素不能相邻,这都是常见的问题,需要掌握方法.
12. 生活中人们常用“通五经贯六艺”形容一个人才识技艺过人,这里的“六艺”其实源于中国周朝的贵族教育体系,具体包括“礼、乐、射、御、书、数”.为弘扬中国传统文化,某校在周末学生业余兴趣活动中开展了“六艺”知识讲座,每艺安排一节,连排六节,则满足“数”必须排在前两节,“礼”和“乐”必须相邻的不同排法的种数为___________
【答案】
【解析】
【分析】
“数”必须排在前两节,分“数”排在第一位和“数”排第二位进行讨论,再求和即可得解.
【详解】
“数”必须排在前两节,“礼”和“乐”必须相邻可以分两类安排:
① “数”排在第一位,“礼”和“乐”两门课程相邻排课,
则礼,乐相邻的位置有4个,考虑两者的顺序,有2种情况,
剩下的3个全排列,安排在其他三个位置,
有种情况,故有种,
②“数”排第二位,“礼”和“乐”两门课程相邻排课,
则礼,乐相邻的位置有3个,考虑两者的顺序,有2种情况,
剩下的3个全排列,安排在其他三个位置,
有种情况,则有种情况,
由分类加法原理知满足“数”必须排在前两节,
“礼”和“乐”必须相邻安排共有种情况,
故答案为:
【点睛】
解决排列组合的问题主要有一下几种方法:
(1)相邻问题捆绑法;
(2)不相邻问题插空法;
(3)特殊位置法;
(4)平均分组法等方法.
13. 某城市在中心广场建造一个花圃,花圃分为6个部分.现要栽种4种不同颜色的花,每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花,则不同的栽种方法有______种.(用数字作答)
【答案】120
【解析】
【分析】
由题意,6个部分.栽种4种不同颜色的花,必有2组颜色相同的花,从同颜色的花入手分类来求,最后利用分类加法计数原理得到结果.
【详解】
由题意,6个部分.栽种4种不同颜色的花,必有2组颜色相同的花,
若2、5同色,则3、6同色或4、6同色,
所以共有种栽种方法;
若2、4同色,则3、6同色,
所以共有种栽种方法;
若3、5同色,则2、4同色或4、6同色,
所以共有种栽种方法;
所以共有种栽种方法.
故答案为:120
【点睛】
本题主要考查分类加法计数原理和排列组合的应用,考查学生的分析能力和分类讨论的思想,属于中档题.
14. 某校高二年级共有10个班级,5位教学教师,每位教师教两个班级,其中姜老师一定教1班,张老师一定教3班,王老师一定教8班,秋老师至少教9班和10班中的一个班,曲老师不教2班和6班,王老师不教5班,则不同的排课方法种数______.
【答案】236
【解析】
【分析】
按照特殊元素优先处理原则,分类讨论秋老师教9班,秋老师教10班的排课方法种数,但这两种重复了秋老师同时教9班和10班的排课方法种数,减去即可得到答案.
【详解】
(1)秋老师教9班,曲老师可在4,5,7,10班中选两班,再分两小类:
①曲老师不教5班,则曲老师可选(种);王老师可选(种);剩余的3个班3个老师全排列安排有(种);按分步相乘计数原理有:(种);
②曲老师教5班,则曲老师可选(种);剩余的4个班4个老师全排列安排有(种);按分步相乘计数原理有:(种).
按分类相加计数原理,秋老师教9班有:(种);
(2)秋老师教10班,同理也有126(种);
(3)秋老师同时教9班和10班,曲老师可在4,5,7班中选两班,再分两小类:
①曲老师不教5班,则曲老师教4班和7班,王老师再从2,6班选一个,可选(种);剩余的2个班2个老师全排列安排有(种);按分步相乘计数原理有:(种);
②曲老师教5班,则曲老师可选(种);剩余的3个班3个老师全排列安排有(种);按分步相乘计数原理有:(种).
按分类相加计数原理,秋老师同时教9班和10班有:(种);
但秋老师同时教9班和10班在(1)和(2)两种分类里都涉及到,所以重复需减去,
故不同的排课方法种数有:(种).
故答案为:236
【点睛】
方法点睛:本题主要考查排列的应用,属于中档题.常见排列数的求法为:
(1)相邻问题采取“捆绑法”;
(2)不相邻问题采取“插空法”;
(3)有限制元素采取“优先法”;
(4)特殊元素顺序确定问题,先让所有元素全排列,然后除以有限制元素的全排列数.
C 培优拔尖练
1. 求下列各式中的正整数n:
(1);
(2).
【答案】(1);(2)6.
【分析】
(1)根据排列数公式列出方程即可求解;(2)根据排列数公式列出方程即可求解;
【解析】
(1)因为,所以,解得;
(2)因为,又,
所以,解得.
2. 求证:.
【答案】证明见详解
【解析】
【分析】
利用排列数的计算公式即可证明.
【详解】
左边,
右边,
所以,即证.
3. 某单位安排7位员工在10月1日至7日值班,每天安排1个,每人值班1天.若7位员工中的甲、乙排在相邻两天,丙不排在10月1日,丁不排在10月7日,则不同的安排方案共有多少种?
【答案】1008.
【解析】
【分析】
根据题意,利用间接法,即可求解.
【详解】
依题意,满足甲、乙两人值班安排在相邻两天的方法共有(种),
其中满足甲、乙两人值班安排在相邻两天且丙在10月1日值班的方法共有(种);
满足甲、乙两人值班安排在相邻两天且丁在10月7日值班的方法共有(种);
满足甲、乙两人值班安排在相邻两天且丙在10月1日值班,丁在10月7日值班的方法共有(种).
因此满足题意的方法共有1 440-2×240+48=1 008(种).
4. 用0,1,2,3,4,5这六个数字可以组成多少个无重复数字的
(1)能被5整除的五位数;
(2)能被3整除的五位数;
(3)若所有的六位数按从小到大的顺序组成一个数列{an},则240 135是第几项.
【答案】(1)216;(2)216;(3)193.
【解析】
【分析】
(1)根据题意,分个位数字分别是0和5两种情况,当个位数字上是5时考虑数字里含0和不含0两种情况,进而结合分类加法计数原理得到答案;
(2)五位数能被3整除,进而考虑各位数数字之和能被3整除的情况,然后根据排列数公式结合分类计数原理得到答案;
(3)根据所给数字,考虑首位数字是1和2两种情况,当首位数字为1时都比240 135小,当首位数字为2时考虑比240 135小的数字,进而根据排
列数公式和分类加法计数原理得到答案.
【详解】
(1)个位上的数字必须是0或5,个位上是0,有个;个位上是5,若不含0,则有个;若含0,但0不作首位,则0的位置有种排法,其余各位有种排法,故共有++=216(个)能被5整除的五位数.
(2)能被3整除的条件是各位数字之和能被3整徐,则5个数可能有{1,2,3,4,5}和{0,1,2,4,5}两种情况,能够组成的五位数分别有和个.
故能被3整除的五位数有(个).
(3)由于是六位数,首位数字不能为0,首位数字为1有个数,首位数字为2,万位上为0,1,3中的一个有个数,∴240 135的项数是++1=193,即240 135是数列的第193项.
5. 7名师生站成一排照相留念,其中老师1名,男同学4名,女同学2名,在下列情况下,各有多少种不同的站法?
(1)2名女同学必须相邻而站;
(2)4名男同学互不相邻;
(3)若4名男同学身高都不相等,按从高到低或从低到高的顺序站;
(4)老师不站正中间,女同学不站两端.
【答案】(1)种;(2)种;(3)种;(4)种.
【解析】
【分析】
(1)利用捆绑法,将两名女同学捆绑看成一个整体即得解;
(2)利用插空法,先排列老师和女同学,再将4名男同学插空;
(3)将7名男生全排列,再除以顺序,即得解;
(4)分老师站两端中的一端,另一端站男同学和两端全由男同学站,老师站除两端和正中间外的4个位置之一两种情况讨论,即得解.
【详解】
(1)2名女同学站在一起有三种站法,将2名女同学视为一个整体与其余5人全排列,有种站法,所以共有种不同的站法.
(2)先排老师和女同学,有种站法,再在老师和女同学3人站位的间隔(含两端)处插入男同学,每空1名,有种站法,所以共有种不同的站法.
(3)4名男同学不考虑身高顺序的站法有种,而按从高到低或从低到高的顺序站,有2种,所以共有种不同的站法.
(4)正中间和两端是特殊位置,可按如下分类求解:①老师站两端中的一端,另一端站男同学,有种站法;②两端全由男同学站,老师站除两端和正中间外的4个位置之一,有种站法,所以共有种不同的站法.
6. 用0,1,2,3,4,5可组成多少个:
(1)没有重复数字的四位数?
(2)没有重复数字且被5整除的四位数?
(3)比2000大且没有重复数字的自然数?
【答案】(1)300;(2)108;(3)1440
【解析】
【分析】
(1)先考虑千位,再考虑剩余的百位,十位和个位;(2)考虑个位是0或5两种情况,再用分类加法原理计算;(3)从四位数,五位数和六位数考虑,再用分类加法原理计算.
【详解】
(1)千位可以从1,2,3,4,5中任选一个,有种,剩余的百位,十位和个位,可以从剩余的5个数中任意选择,所以有种,所以没有重复数字的四位数共有种
(2)没有重复数字且被5整除的四位数,分两种情况:
个位数字为0时,有种;个位数字为5时,千位可以从从1,2,3,4种任选一个,有4种,剩下的百位和十位可以从剩余的四个数种选择两个的排列,有,则有种,利用分类加法原理可得:共有种.
(3)比2000大的自然数,当是四位数时,首先从2,3,4,5中选一个有4种选法,再从剩下的元素中选3个,有种,共有种;当是五位数时,共有种选法;当是六位数时,共有种选法;故共有240+600+600=1440种,所以比2000大的自然数共有1440种.
7. 规定,其中,m为正整数,且,这是排列数(n,m是正整数,且)的一种推广.
(1)求的值.
(2)排列数的两个性质①,②(n,m是正整数,且)是否都能推广到(,m是正整数)的情形?若能推广,写出推广的形式并给予证明;若不能,请说明理由.
【答案】(1);(2)可推广,①,②,证明见解析.
【解析】
【分析】
(1)根据题意将展开求值,即可得到答案;
(2)分别讨论和两种情况,进而根据证明问题.
【详解】
(1).
(2)性质①,②均可推广,推广的形式分别是:
①,②(,m是正整数)
事实上,在①中,当时,左边,右边,等式成立;
当时,左边右边,
因此(,m是正整数)成立.
在②中,当时,左边右边,等式成立;
当时,
左边右边,
因此(,m是正整数)成立.
8. 3名男生,4名女生,这7个人站成一排在下列情况下,各有多少种不同的站法.
(1)男、女各站在一起;
(2)男生必须排在一起;
(3)男生不能排在一起;
(4)男生互不相邻,且女生也互不相邻.
【答案】(1)288;(2)720;(3)1440;(3)144.
【解析】
【分析】
(1)(2)相邻问题利用捆绑法求解即可,(3)(4)不相邻问题利用插空法求解
【详解】
(1)(相邻问题捆绑法)男生必须站在一起,即把3名男生进行全排列,有种排法,
女生必须站在一起,即把4名女生进行全排列,有种排法,
全体男生、女生各看作一个元素全排列有种排法,
由分步乘法计数原理知共有 (种)排法.
(2)(捆绑法)把所有男生看作一个元素,与4名女生组成5个元素全排列,
故有 (种)不同的排法.
(3)(不相邻问题插空法)先排女生有种排法,把3名男生安排在4名女生隔成的五个空中,有种排法,故有 (种)不同的排法.
(4)先排男生有种排法.让女生插空,有 (种)不同的排法.
课程标准
课标解读
1.理解与掌握排列数公式,熟练应用排列数公式及性质求解与排列数有关的量,并能证明恒等式,求方程的解及不等式的解.
2. 能解决一些简单的实际问题.熟练应用公式表达排列的相关关系,及求解常见的排列问题.
通过本节课的学习,要求能准确判断排列问题,准确用排列数公式表达排列的关系,并能应用排列数的公式求解与排列有关的实际问题与数学问题.
直接法
把符合条件的排列数直接列式计算
优先法
优先安排特殊元素或特殊位置
捆绑法
相隔问题把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列,同时注意捆绑元素的内部排列
插空法
对不相邻问题,先考虑不受限制的元素的排列,再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中
定序问题
除法处理
对于定序问题,可先不考虑顺序限制,排列后,再除以定序元素的全排列
间接法
正难则反、等价转化的方法
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