人教A版 (2019)选择性必修 第三册第八章 成对数据的统计分析8.1 成对数据的相关关系导学案

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知识精讲
知识点
1. 两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度，这种关系称为相关关系.
（1）正相关：如果从整体上看，当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值也呈现增加的趋势，称这两个变量正相关，在散点图中，点散布在从左下角到右上角的区域，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为正相关．
（2）负相关：如果从整体上看，当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值也呈现减少的趋势，称这两个变量负相关，在散点图中，点散布在从左上角到右下角的区域，两个变量的这种相关关系称为负相关.
2.线性相关关系与非线性相关关系：一般地，如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在一条直线附近，我们就称这两个变量线性相关. 这条直线叫做回归直线.
一般地，如果两个变量具有相关性，但不是线性相关，那么我们就称这两个变量非线性相关或曲线相关.
3.相关系数：
对于变量和变量，设经过随机抽样获得的成对样本数据为，其中和的均值分别为和，则
我们称为变量和变量的样本相关系数.
① 当时，称成对数据正相关；当时，称成对数据负相关.
② 越接近于，两个变量的线性相关性越强；
接近于时，两个变量之间几乎不存在线性相关关系.
③ 样本相关系数也可以推导得到
【微点拨】通常|r|大于0.75时，认为两个变量有很强的线性相关性．
【即学即练1】下列两个变量间的关系，是相关关系的是（ ）
A．任意实数和它的平方B．圆半径和圆的周长
C．正多边形的边数和内角度数之和D．天空中的云量和下雨
【答案】D
【解析】
【分析】
根据各选项中两个变量是确定还是非确定性关系可得结论.
【详解】
对于ABC，两个变量之间为确定性关系，即两个变量之间均为函数关系，ABC错误；
对于D，根据生活经验，天空中的云量和下雨之间不是确定性关系，虽然有云不一定下雨，但是如果没有云一定不下雨，说明它们之间是相关关系，D正确.
故选：D.
【即学即练2】下列说法错误的是（ ）
A．正方体的体积与棱长之间的关系是函数关系
B．人的身高与视力之间的关系是相关关系
C．汽车的重量与汽车每消耗1升汽油所行驶的平均路程负相关
D．体重与学习成绩之间不具有相关关系
【答案】B
【解析】
【分析】
根据相关关系和正负相关的定义判断.
【详解】
正方体的体积与棱长之间的关系是函数关系，故A正确；
人的身高与视力之间不具有相关关系，故B错误；
汽车的重量与汽车每消耗1升汽油所行驶的平均路程负相关，故C正确；
体重与学习成绩之间不具有相关关系，故D正确.
故选：B.
【即学即练3】从统计学的角度看，下列关于变量间的关系说法正确的是（ ）
A．人体的脂肪含量与年龄之间没有相关关系
B．汽车的重量和汽车每消耗汽油所行驶的平均路程负相关
C．吸烟量与健康水平正相关
D．气温与热饮销售好不好正相关
【答案】B
【解析】
【分析】根据正相关、负相关的定义依次判断即可
【详解】
从统计学的角度看：
在一定年龄段内，人体的脂肪含量与年龄之间有相关关系，A错误；
汽车的重量和汽车每消耗汽油所行驶的平均路程是负相关关系，B正确；
吸烟量与健康水平是负相关关系，C错误；
气温与热饮销售好不好是负相关关系，D错误．
故选：B
【即学即练4】在下列各图中，每个图的两个变量具有相关关系的图是（ ）
A．（1）（2）B．（1）（3）C．（2）D．（2）（3）
【答案】D
【解析】
【分析】
根据图形可得（1）具有函数关系；（2）（3）的散点分布在一条直线或曲线附近，具有相关关系；（4）的散点杂乱无章，不具有相关关系.
【详解】
对（1），所有的点都在曲线上，故具有函数关系；
对（2），所有的散点分布在一条直线附近，具有相关关系；
对（3），所有的散点分布在一条曲线附近，具有相关关系；
对（4），所有的散点杂乱无章，不具有相关关系.
故选：D.
【即学即练5】下列语句表示的事件中的因素不具有相关关系的是（ ）
A．瑞雪兆丰年B．名师出高徒C．不积跬步，无以至千里D．喜鹊叫喜，乌鸦叫丧
【答案】D
【解析】
【分析】
根据两个变量之间的相关关系，分别进行判断.
【详解】
A. 瑞雪对小麦有好处，可能使得小麦丰收，所以瑞雪兆丰年具有相关关系；
B. 名师水平高，可能使得学生学习好，所以名师出高徒具有相关关系；
C. 不积跬步，就不会有千里，所以不积跬步，无以至千里具有相关关系；
D. 喜鹊叫喜，乌鸦叫丧，两者没有必然的关系.
故选：D
【点睛】本题主要考查两个变量之间的相关关系，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.
【即学即练6】某市居民年家庭年平均收入（单位：万元）与年平均支出（单位：万元）的统计资料如下表所示：
根据统计资料，居民家庭年平均收入的中位数是______，家庭年平均收入与年平均支出有______相关关系．（填“正”或“负”）
【答案】 正
【解析】
【分析】
根据中位数定义和表格数据可直接得到结果；根据表格数据可得散点图，观察散点图即可得到结果.
【详解】
根据表中数据知：居民家庭年平均收入的中位数是万元．
以家庭年平均收入作为横轴，年平均支出作为纵轴，得到如图所示的散点图．
观察散点图，这些点大致分布在一条直线的附近，因此家庭年平均收入与年平均支出有较强的线性相关关系，且各点分布从左下角到右上角的区域，
两变量为正相关．
故答案为：；正.
【即学即练7】已知变量与相对应的一组数据为，，，，，变量与相对应的一组数据为，，，，．表示变量与之间的线性相关系数，表示变量与之间的线性相关系数，则下列结论中正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据变量对应数据可确定与之间正相关，与之间负相关，由此可得相关系数的大小关系.
【详解】
由变量与相对应的一组数据为，，，，，可得变量与之间正相关，；
由变量与相对应的一组数据为，，，，，可知变量与之间负相关，；
综上所述：与的大小关系是．
故选：C.
【即学即练8】下列现象中线性相关程度最强的是（ ）
A．商店的职工人数与商品销售额之间的线性相关系数为0.87
B．流通费用率与商业利润率之间的线性相关系数为-0.94
C．商品销售额与商业利润率之间的线性相关系数为0.51
D．商品销售额与流通费用率之间的线性相关系数为0.70
【答案】B
【解析】
【分析】
根据相关系数衡量两个变量之间线性相关性强弱的规律即可得解
【详解】
线性相关系数r，，越接近于1，两个变量间的线性相关程度越强，越接近于0，两个变量间的线性相关程度越弱，
显然有，则线性相关程度最强的是流通费用率与商业利润率之间的线性相关关系，即B符合.
故选：B
【即学即练9】有人收集了某城市居民年收入（即所有居民在一年内收入的总和）与商品销售额的年数据，如表．
表
画出散点图，判断成对样本数据是否线性相关，并通过样本相关系数判断居民年收入与商品销售额的相关程度和变化趋势的异同．
【答案】答案见解析
【解析】
【分析】
根据表格中的数据作出散点图，计算出相关系数的值，由此可得出结论.
【详解】
解：画出成对样本数据的散点图，从散点图看，商品销售额与居民年收入的样本数据呈现出线性相关关系．
设第年居民的年收入为亿元，商品销售额为万元，
则，，
所以，样本相关系数．
由此可以推断，商品销售额与居民年收入正线性相关，即商品销售额与居民年收入有相同的变化趋势，且相关程度很强．
【即学即练10】根据统计，某蔬菜基地西红柿亩产量的增加量y（百千克）与某种液体肥料每亩使用量x（千克）之间的对应数据的散点图，如图所示.
依据数据的散点图可以看出，可用线性回归模型拟合y与x的关系，请计算相关系数r并加以说明（若，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）；
附：相关系数公式.
参考数据：，.
【答案】0.95，答案见解析.
【解析】
【分析】
根据散点图中的数据求得相关系数，再与0.75比较下结论.
【详解】
由已知数据可得，，
所以，
，
，
所以相关系数.
因为，所以可用线性回归模型拟合y与x的关系.
能力拓展
考法01
相关关系的判断
【典例1】下列关系中是相关关系的是( )
①路程与时间、速度的关系；
②加速度与力的关系；
③产品成本与产量的关系；
④圆周长与面积的关系；
⑤广告费支出与销售额的关系．
A．①②④ B．①③⑤
C．③⑤ D．③④⑤
【答案】C
【解析】①②④都是确定的函数关系．
【典例2】下列变量之间的关系不是相关关系的是（ ）
A．光照时间与大棚内蔬菜的产量
B．某正方形的边长与此正方形的面积
C．举重运动员所能举起的最大重量与他的体重
D．人的身高与体重
【答案】B
【解析】
【分析】
根据相关关系和函数关系的含义可得.
【详解】
B中的两个变量之间是确定的函数关系，A，C，D中的两个变量之间的关系都是相关关系.故选：B.
【典例3】（多选）下列变量之间的关系是相关关系的是（ ）
A．光照时间与大棚内蔬菜的产量
B．某正方形的边长与此正方形的面积
C．举重运动员所能举起的最大重量与他的体重
D．人的身高与体重
【答案】ACD
【解析】
【分析】
根据相关关系的定义逐项判断可得出合适的选项.
【详解】
B中的两个变量之间是确定的函数关系，ACD中的两个变量之间的关系都是相关关系.
故选：ACD.
【典例4】下列结论：①函数关系是一种确定性关系；②相关关系是一种非确定性关系；③回归分析是对具有函数关系的两个变量进行统计分析的一种方法；④回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法.其中正确的是______.（将所有正确的序号填上）
【答案】①②④
【解析】
【分析】
根据函数关系、相关关系与回归分析的定义辨析即可.
【详解】
根据函数关系及相关关系的定义,①函数关系是一种确定性关系.②相关关系是一种非确定性关系.是正确的；由回归分析的定义及应用可知,④回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法.
故答案为：①②④.
【点睛】
本题主要考查了回归分析的辨析,属于基础题.
考法02
正负相关的判断
【典例5】有五组变量：
①汽车的重量和汽车每消耗一升汽油所行驶的距离；
②平均日学习时间和平均学习成绩；
③某人每天的吸烟量和身体健康状况；
④圆的半径与面积；
⑤汽车的重量和每千米的耗油量．
其中两个变量成正相关的是（ ）
A．②④⑤B．②④C．②⑤D．④⑤
【答案】C
【解析】
【分析】
根据相关系及正相关、负相关的定义，逐项判定，即可求解.
【详解】
①中，汽车的重量和汽车每消耗1升汽油所行驶的平均路程是负相关的关系；
②中，平均日学习时间和平均学习成绩的关系是一个正相关；
③中，某人每日吸烟量和其身体健康情况是负相关的关系；
④中，圆的半径与面积是函数关系；
⑤中，汽车的重量和百公里耗油量关系是一个正相关；，
所以②⑤中的两个变量属于线性正相关．
故选：C．
【典例6】下列几对变量，哪些有明显的正相关、明显的负相关、接近于0的相关系数？
(1)广告费与销售额；
(2)合理范围内的施肥量与粮食产量；
(3)汽车车速与司机的年龄．
【答案】(1)正相关
(2)正相关
(3)接近于0的相关系数
【分析】
（1）广告费用高了，销售额也高了；
（2）合理范围内，施肥量大，粮食产量高；
（3）汽车车速与司机的年龄之间没有明显相关关系．
【解析】
(1)广告费用高了，销售额也高了，因此是正相关．
(2)合理范围内，施肥量大，粮食产量高，它们是正相关．
(3)汽车车速与司机的年龄之间相关关系不太明显，是接近于0的相关系数．
考法03
散点图的作用：
【典例7】在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中，研究人员获得了一组样本数据，并制作成如图所示的人体脂肪含量与年龄关系的散点图．根据该图，下列结论中正确的是( )
A．人体脂肪含量与年龄正相关，且脂肪含量的中位数等于20%
B．人体脂肪含量与年龄正相关，且脂肪含量的中位数小于20%
C．人体脂肪含量与年龄负相关，且脂肪含量的中位数等于20%
D．人体脂肪含量与年龄负相关，且脂肪含量的中位数小于20%
【答案】 B
【解析】 观察图形，可知人体脂肪含量与年龄正相关，且脂肪含量的中位数小于20%，故选B.
【典例8】如下四个散点图中，正相关的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】对于A，散点图中的点从左向右是上升的，且在一条直线附近，是正相关；
对于B，散点图中的点从左向右是下降的，且在一条直线附近，是负相关；
对于C、D，散点图中的点不成带状分布，没有明显的相关关系；故选：A.
【典例9】根据下面四个散点图中点的分布状态，可以直观地判断两个变量之间具有线性相关关系的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【解析】
【分析】
根据散点图中点的分布情况即可得答案.
【详解】
A中的点无规律分布，范围很广，表明两个变量之间的相关程度很小；
B，C中的点分布在一条直线的附近，两个变量之间具有线性相关关系；
D中所有的点分布在一条曲线附近，所以不是线性相关关系.
故选：BC．
【典例10】某统计部门对四组数据进行统计分析后，获得如图所示的散点图，关于相关系数的比较，其中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】
根据相关系数的特点，可知（1）（3）为正相关，（2）（4）为负相关，再由相关性的强弱可比较出大小关系．
【详解】
根据散点图的特征，数据大致呈增长趋势的是正相关，数据呈递减趋势的是负相关；数据越集中在一条线附近，说明相关性越强，
由题中数据可知：（1）（3）为正相关，（2）（4）为负相关；
故，；，；
又（1）与（2）中散点图更接近于一条直线，故，，
因此，．
故选C．
考法04
成对数据的统计相关系数应用：
【典例11】甲、乙、丙、丁四位同学各自对两变量的线性相关性做试验，并用回归分析方法分别求得相关系数如下表：
则哪位同学的试验结果体现A，B两变量有更强的线性相关性（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
【答案】D
【解析】
【分析】
根据相关系数的绝对值越接近1，则两个变量的线性相关性越强，就可判断出答案.
【详解】
，且相关系数的绝对值越接近1，则两个变量的线性相关性越强，能体现出A，B两变量有更强的线性相关性的是丁.
故选：D
【点睛】
本题主要考查了线性回归的相关知识，解题的关键是明确两个变量的线性关系的判定方法，属于基础题.
【典例12】在一组样本数据为，，，（，，，，，不全相等）的散点图中，若所有样本点都在直线上，则这组样本数据的相关系数为（ ）
A．B．C．1D．-1
【答案】D
【解析】
【分析】
根据回归直线方程可得相关系数．
【详解】
根据回归直线方程是yx+2，
可得这两个变量是负相关，故这组样本数据的样本相关系数为负值，
且所有样本点（xi，yi）（i＝1，2，…，n）都在直线上，则有|r|＝1，
∴相关系数r＝﹣1．
故选D．
【点睛】
本题考查了由回归直线方程求相关系数，熟练掌握回归直线方程的回归系数的含义是解题的关键．
【典例13】已知变量与相对应的一组数据为；变量与相对应的一组数据为.设表示变量与之间的线性相关系数，表示变量与之间的线性相关系数，判断与的符号.
【答案】
【解析】
【分析】
根据正相关以及负相关的含义判断与的符号.
【详解】
在回归与相关分析中，因变量值随自变量值的增大（减小）而增大（减小），在这种情况下，因变量和自变量的相关系数为正值，即正相关. 变量与相对应的一组数据值随值的增大而增大，因此与之间正相关.符号为正.
在回归与相关分析中，因变量值随自变量值的增大（减小）而减小（增大），在这种情况下，因变量和自变量的相关系数为负值，即负相关. 变量与相对应的一组数据值随值的增大而减小，因此与之间负相关.的符号为负.
【点睛】
本题考查正相关以及负相关的含义，考查基本分析判断能力，属基本题.
【典例14】表给出了一些地区的鸟的种类数与该地区的海拔高度的数据，鸟的种类数与海拔高度是否存在相关关系？如果是，那么这种相关关系有什么特点？
【答案】存在正相关，相关性较强.
【解析】
【分析】
由表中数据计算相关系数即可得出结果.
【详解】
设鸟的种类数为，海拔高度为，
，
，
，
当时，且时，两变量正相关，相关性较强.
所以由数据可知，鸟类的种数随海拔高度增加而增加，两者呈正相关，相关性较强.
分层提分
题组A 基础过关练
1．对于散点图下列说法正确一个是（ ）
A．一定可以看出变量之间的变化规律B．一定不可以看出变量之间的变化规律
C．可以看出正相关与负相关有明显区别D．看不出正相关与负相关有什么区别
【答案】C
【解析】
【分析】
根据散点图与两个变量的关系求解.
【详解】
给出一组样本数据，总可以作出相应的散点图，
但不一定能分析出两个变量的关系，不一定存在回归直线来模拟数据，
但是通过散点图可以看出正相关与负相关有明显区别.
故选：C
【点睛】
本题主要考查变量间的相关关系，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.
2.某商家今年上半年各月的人均销售额(单位：千元)与利润率统计表如下：
根据表中数据，下列说法正确的是（ ）
A．利润率与人均销售额成正相关关系
B．利润率与人均销售额成负相关关系
C．利润率与人均销售额成正比例函数关系
D．利润率与人均销售额成反比例函数关系
【答案】A
【解析】
画出利润率与人均销售额的散点图即可判断.
【详解】画出利润率与人均销售额的散点图，如图．
由图可知利润率与人均销售额成正相关关系.
故选：A.
3. 有以下五组变量：
①某商品的销售价格与销售量；
②学生的学籍号与学生的数学成绩；
③坚持每天吃早餐的人数与患胃病的人数；
④气温与冷饮销售量；
⑤电瓶车的重量和行驶每千米的耗电量．
其中两个变量成正相关的是( )
A．①③B．②④C．②⑤D．④⑤
【答案】D
【解析】对于①，一般情况下，某商品的销售价格与销售量成负相关关系；
对于②，学生的学籍号与学生的数学成绩没有相关关系；
对于③，一般情况下，坚持每天吃早餐的人数与患胃病的人数成负相关关系；
对于④，一般情况下，气温与冷饮销售量成正相关关系；
对于⑤，一般情况下，电瓶车的重量和行驶每千米的耗电量成正相关关系．
综上所述，其中两个变量成正相关的序号是④⑤．
故选：D．
【点拨】如果从整体上看，当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值也呈现增加的趋势，称这两个变量正相关；如果从整体上看，当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值也呈现减少的趋势，称这两个变量负相关.
4. 下面的散点图与相关系数一定不符合的是（ ）
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
【答案】C
【分析】
根据散点图与相关系数直接的关系，逐项判断，即可得出结果.
【详解】
①中，由散点图可得，两相关变量呈负相关，故①错；
②中，由散点图可得，两相关变量呈正相关，且相关系数可能是；
③中，若相关系数，则所有的点应该分布在一条直线上，散点图显然不符合，故③错；
④中，若相关系数，则所有的点应该分布在一条直线上，散点图显然不符合，故④错；
故选：C.
5. 最新《交通安全法》实施后，某市管理部门以周为单位，记录的每周查处的酒驾人数与该周内出现的交通事故数量如下：
通过如表数据可知，酒驾人数与交通事故数之间是（ ）
A．正相关B．负相关C．不相关D．函数关系
【答案】A
【解析】
【分析】
根据表格中的数据，画出数据的散点图，结合散点图，即可求解.
【详解】
由表格中的数据，在直角坐标系中描出数据的散点图，如图所示，
直观判断散点从左向右成带状分布，在一条直线附近，所以具有线性相关关系，且是正相关．
故选：A．
6. 对于相关系数，下列说法中正确的是（ ）
A．越大，线性相关程度越强
B．越小，线性相关程度越强
C．越大，线性相关程度越弱，越小，线性相关程度越强
D．，且越接近，线性相关程度越强，越接近，线性相关程度越弱
【答案】D
【解析】
【分析】
由相关系数与线性相关程度的关系逐一判断即可.
【详解】
解：对于选项A，越大，线性相关程度越强，即A错误；
对于选项B，越小，线性相关程度越弱，即B错误；
对于选项C，越大，线性相关程度越强，越小，线性相关程度越弱, 即C错误；
对于选项D，，且越接近，线性相关程度越强，越接近，线性相关程度越弱，即D正确，
故选：D.
【点睛】本题考查了相关系数与线性相关程度的关系，属基础题.
7. 已知，是两个变量，下列四个关系中，，呈负相关的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】
根据两个变量，的散点图，即可确定.
【详解】
根据的散点图可知，，不呈负相关.选项A，排除.
根据的散点图可知，，不呈负相关.选项B，排除.
根据的散点图可知，，呈正相关.选项C，排除.
根据的散点图可知，，呈负相关.选项D，成立.
故选：D
【点睛】
本题考查变量的相关性，数形结合思想是解决本题的关键，属于较易题.
8. “吸烟有害健康，吸烟会对身体造成伤害”，哈尔滨市于2012年5月31日规定室内场所禁止吸烟．美国癌症协会研究表明，开始吸烟年龄X分别为16岁、18岁、20岁和22岁者，其得肺癌的相对危险度Y依次为15.10，12.81，9.72，3.21；每天吸烟支数U分别为10，20，30者，其得肺癌的相对危险度V分别为7.5，9.5和16.6，用表示变量X与Y之间的线性相关系数，用r2表示变量U与V之间的线性相关系数，则下列说法正确的是( )
A．r1＝r2B．r1＞r2＞0
C．0＜r1＜r2D．r1＜0＜r2
【答案】D
【解析】
【分析】
根据正相关和负相关的概念可以求解.
【详解】
由题意可知，开始吸烟年龄递增时，得肺癌的相对危险度呈递减趋势，所以吸烟年龄与得肺癌的危险度呈负相关，所以r1＜0，同理可知，得肺癌的危险度与每天吸烟支数呈正相关，所以r2＞0.因此可得r1＜0＜r2，故选D.
【点睛】
本题主要考查相关系数的理解，正相关时系数为正，负相关时系数为负，对概念的准确理解是求解关键.
9. 相关变量的散点图如图所示，现对这两个变量进行线性相关分析，方案一：根据图中所有数据，得到线性回归方程，相关系数为；方案二：剔除点，根据剩下数据得到线性回归直线方程：，相关系数为.则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据相关系数的意义：其绝对值越接近，说明两个变量越具有线性相关，以及负相关的意义作判断.
【详解】
由散点图得负相关，所以，因为剔除点后，剩下点数据更具有线性相关性，更接近，所以.选D.
【点睛】
本题考查线性回归分析，重点考查散点图、相关系数，突显了数据分析、直观想象的考查.属基础题.
10. 若变量y与x之间的相关系数r=－0.9362，查表得到相关系数临界值r0.05=0.8013，则变量y与x之间
A．不具有线性相关关系B．具有线性相关关系
C．它们的线性关系还要进一步确定D．不确定
【答案】B
【解析】
【详解】
因为相关系数的绝对值越大，越具有强大相关性，相关系数r=-0.9362，相关系数的绝对值约接近1，相关关系较强，故选B
11. 在一次试验中，测得的四组值分别为，则与的相关系数为（ ）
A．B．C．0D．
【答案】B
【解析】
【分析】
经计算可知四个点都在一条单调递减的直线上，即可得相关系数.
【详解】
因为过点的直线的斜率为，
所以过点的直线的方程为：即，
经检验点，都在直线，
所以与是函数关系，
又因为单调递减，所以与的相关系数为，
故选：B.
12. 对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，关于其相关系数的比较，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题中给出的散点图，先判断是正相关还是负相关，然后根据散点图的集中程度分析相关系数的大小
【详解】
解：由图可知，图2和图3是正相关，图1和图4是负相关，
囷1和图2的点相对更加集中，所以相关性更强，所以接近于，接近1，
所以，
故选：A
13. 变量x，y的线性相关系数为，变量m，n的线性相关系数为，下列说法错误的是（ ）
A．若，则说明变量x，y之间线性相关性强
B．若，则说明变量x，y之间的线性相关性比变量m，n之间的线性相关性强
C．若，则说明变量x，y之间的相关性为正相关
D．若，则说明变量x，y之间线性不相关
【答案】B
【解析】
【分析】
根据相关系数的意义逐项分析判断即可.
【详解】
A：因为接近于1，所以说明变量x，y之间线性相关性强，故A正确；
B：若，满足，
但是不能说明变量x，y之间的线性相关性比变量m，n之间的线性相关性强，故B错误；
C：若，则说明变量x，y之间的相关性为正相关，故C正确；
D：，则说明变量x，y之间线性不相关，故D正确.
故选：B.
14. 对两个变量、进行线性相关检验，得线性相关系数，对两个变量、进行线性相关检验，得线性相关系数，则下列判断正确的是（ ）
A．变量与正相关，变量与负相关，变量与的线性相关性较强
B．变量与负相关，变量与正相关，变量与的线性相关性较强
C．变量与正相关，变量与负相关，变量与的线性相关性较强
D．变量与负相关，变量与正相关，变量与的线性相关性较强
【答案】C
【解析】
根据相关系数的符号决定两个变量的正相关、负相关，以及相关系数绝对值越大，两个变量的线性相关性越强，进而可得出结论.
【详解】
由线性相关系数知与正相关，
由线性相关系数知与负相关，
又，所以，变量与的线性相关性比与的线性相关性强，
故选：C.
15. 下面的散点图与相关系数一定不符合的是（ ）
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
【答案】C
【解析】
【分析】
根据散点图与相关系数直接的关系，逐项判断，即可得出结果.
【详解】
①中，由散点图可得，两相关变量呈负相关，故①错；
②中，由散点图可得，两相关变量呈正相关，且相关系数可能是；
③中，若相关系数，则所有的点应该分布在一条直线上，散点图显然不符合，故③错；
④中，若相关系数，则所有的点应该分布在一条直线上，散点图显然不符合，故④错；
故选：C.
题组B 能力提升练
1. 已知变量、相对应的一组数据为(10，1.5)，(11，3.2)，(11，8.3)，(12.5，14)，(13，5)，变量、相对应的一组数据为(10，5)，(11.3，4)，(11.8，3)，(12.5，2)，(13，1)，用表示变量与之间的线性相关系数，用表示变量之间的线性相关系数，则有（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
在回归线性方程应用中易知回归系数（为回归方程的斜率，、分别为变量、的方差），从二组数据中看出数，，故， ，最终得到答案.
【详解】
∵从第一组数据中看出数，故；
从第二组数据中看出数，故；
于是有，
∴.
故选：C.
【点睛】
命题人通过给出的两组数据为依托，考查考生对数据的观察和分析能力，然而作出变量相关关系判断，这体现了考生对数学的应用，数学推理的核心素养，难度中等.
2.（多选题）以下两个变量成正相关的是（ ）
A．学生的学籍号与学生的数学成绩
B．坚持每天吃早餐的人数与患胃病的人数
C．气温与冷饮销售量
D．电瓶车的重量和行驶每千米的耗电量
【答案】CD
【解析】
【分析】
利用相关关系的意义可判断A选项；再利用成相关关系的两个变量中一个变量值变大，另一个变量值是否变大而判断B，C，D选项作答.
【详解】
对于A，学生的学籍号与学生的数学成绩没有相关关系；
对于B，一般情况下，坚持每天吃早餐的人患胃病的概率低，坚持每天吃早餐的人数与患胃病的人数成负相关关系；
对于C，一般情况下，气温低，喝冷饮的人少，气温与冷饮销售量成正相关关系；
对于D，一般情况下，电瓶车越重，每千米的耗电量越高，电瓶车的重量和行驶每千米的耗电量成正相关关系．
综上，两个变量成正相关的是选项C、D.
故选：CD
3. （多选题）下列关于相关系数的说法中，正确的是（ ）
A．相关系数越大，两个变量间线性相关性越强
B．相关系数的取值范围是
C．相关系数时两个变量正相关，时两个变量负相关
D．相关系数时，样本点在同一直线上
【答案】BCD
【解析】
【分析】
根据相关系数的相关结论逐项判断即可.
【详解】
对于相关系数，有以下结论：
①、当时，两个变量正相关；当时两个变量负相关.
②、相关系数的绝对值越接近于1，两个变量间线性相关性越强；相关系数的绝对值越接近于0，两个变量之间几乎不存在线性相关关系；
对于A选项：当时，越大，越接近于0，两个变量间的线性相关性越弱，故A选项错误；
对于B选项：由相关系数的意义可得，，故B选项正确；
对于C选项：由相关系数的意义可得C选项正确；
对于D选项：因为相关系数的绝对值越接近1，两个变量间线性相关性越强，所以相关系数时，样本点在同一直线上，故D选项正确；
故选：BCD
4. 在一组样本数据，，…，（不全相等）的散点图中，若所有样本点都在直线上，则这组样本数据的相关系数为______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据直线斜率可知两个变量负相关，结合数据点都在直线上可确定.
【详解】
直线的斜率，这两个变量成负相关，，
又所有样本点都在直线上，．
故答案为：.
5. 已知变量x和变量y的3对随机观测数据(2，2)，(3，-1)，(5，-7)，则成对样本数据的样本相关系数是________．
【答案】
【解析】
【分析】
求出相关系数公式中的相关量，再代入公式即可得解.
【详解】
数据对(2，2)，(3，-1)，(5，-7)依次记为，
，
，
，，
由相关系数公式得，
所以成对样本数据的样本相关系数是.故答案为：
C 培优拔尖练
1. 变量x与y相对应的一组数据为（10，1），（11.3，2），（11.8，3），（12.5，4），（13，5），其相关系数记为．变量u与v相对应的一组数据为（10，5），（11.3，4），（11.8，3），（12.5，2），（13，1），其相关系数记为．试判断，与0三者之间的大小关系．
【答案】
【解析】
【分析】
根据相关系数的性质，结合正、负相关的定义进行判断即可.
【详解】
由数据（10，1），（11.3，2），（11.8，3），（12.5，4），（13，5），可以看出来变量y随的增大而增大，所以变量x与y之间是正相关，所以.
由数据（10，5），（11.3，4），（11.8，3），（12.5，2），（13，1），可以看出来变量v随u的增大而减小，所以变量x与y之间是负相关，所以，
因此.
2. 5名学生的数学和物理成绩如下表，画出散点图，并判断它们是否具有相关关系．
【答案】作图见解析，正相关.
【解析】
【分析】
在坐标系中描出以每个人的数学成绩为横坐标，物理成绩为纵坐标的点，再计算相关系数即可.
【详解】
把数学成绩作为横坐标，把相应的物理成绩作为纵坐标，在直角坐标系中描点(xi，yi)(i=1，2，…，5)，作出散点图如图：
相关系数公式
， ，
， ， ，
，所以数学成绩与物理成绩是高度正相关的.
3. 现随机抽取了我校10名学生在入学考试中的数学成绩(x)与入学后的第一次考试数学成绩(y)，数据如下表：
计算这10个学生的两次数学考试成绩的样本相关系数r，并判断两者是否具有线性相关关系．
【答案】两次数学考试成绩具有线性相关关系
【解析】
【分析】
根据相关系数的公式算出答案即可.
【详解】
＝1202＋1082＋…＋992＋1082＝116 584，
＝842＋642＋…＋572＋712＝47 384，
＝120×84＋108×64＋…＋108×71＝73 796，
∴样本相关系数为
∴这10个学生的两次数学考试成绩具有线性相关关系．
4. 某生物小组为了研究温度对某种酶的活性的影响进行了一组实验，实验数据经整理得到如下的折线图：
由图可以看出，这种酶的活性指标值与温度具有较强的线性相关关系，请用相关系数加以说明．
附：，，，样本相关系数．
【答案】酶的活性指标值与温度具有较强的线性相关关系；理由见解析．
【解析】
【分析】
根据实验数据可求得相关系数，由此可得结论.
【详解】
由题意得：，
，
，
由此可得酶的活性指标值与温度具有较强的线性相关关系．
5. 互联网使我们的生活日益便捷，网络外卖也开始成为不少人日常生活中不可或缺的一部分，某市一调查机构针对该市市场占有率较高的甲，乙两家网络外卖企业（以下称外卖甲、外卖乙）的经营情况进行了调查，调查结果如下表：
(1)试根据表格中这五天的日接单量情况，从统计的角度说明这两家外卖企业的经营状况；
(2)据统计表明，与之间具有线性相关关系，请用相关系数对与之间的相关性强弱进行判断；（若，则可认为与有较强的线性相关关系，值精确到0.001）
参考数据：，．
【答案】(1)外卖甲比外卖乙经营状况更好
(2)答案见解析
【分析】
（1）由表格中的数据，直接求得，即可得结论；
（2）根据公式，求得相关系数的值，结合，即可得到结论；
【解析】
(1)由表格中的数据，可得，，
外卖甲的日接单量的方差，
外卖乙的日接单量的方差，
因为，即外卖甲平均日接单量与外卖乙平均日接单量相同，但外卖甲日接单量波动更小，所以外卖甲比外卖乙经营状况更好．
(2)因为
又，，
所以代入计算可得，相关系数，
所以可认为与之间有较强的线性相关关系．
6. 某公司为了准确地把握市场，做好产品生产计划，对过去四年的数据进行整理得到了第年与年销量（单位：万件）之间的关系如表：
在图中画出表中数据的散点图，推断两个变量是否线性相关，计算样本相关系数，并估计它们的相关程度．
附注：参考数据：，，．
参考公式：相关系数
【答案】作图见解析；与的相关系数近似为0.9997，可以推断该公司的年销量与第年呈正线性相关，且线性相关程度很强．
【解析】
【分析】
由已知数据作出散点图，由图像可以看出推断与线性相关，再由公式计算可得结论．
【详解】
解：作出散点图如图：
由散点图可知，各点大致分布在一条直线附近，由此推断与线性相关．
由题中所给表格及参考数据得：
，，，，，
，
，
．
∵与的相关系数近似为0.9997，可以推断该公司的年销量与第年呈正线性相关，且线性相关程度很强．
7. 某校从高二年级随机抽取了20名学生的数学总评成绩和物理总评成绩，记第i位学生的成绩为() (i=1，2，)，其中分别为第i位学生的数学总评成绩和物理总评成绩.抽取的数据列表如下( 按数学成绩降序整理):
（1）根据统计学知识，当相关系数|r|≥0.8时，可视为两个变量之间高度相关.根据抽取的数据，能否说明数学总评成绩与物理总评成绩高度相关?请通过计算加以说明.
参考数据：
参考公式：相关系数
（2）规定:总评成绩大于等于85分者为优秀，小于85分者为不优秀，对优秀赋分1，对不优秀赋分0，从这20名学生中随机抽取2名学生，若用X表示这2名学生两科赋分的和，求X的分布列和数学期望.
【答案】（1）“数学学期综合成绩”与“物理学期综合成绩”高度相关；答案见解析；（2）分布列见解析，.
【解析】
（1）代入公式计算，解得即可得解；
（2）由超几何分布概率公式计算出、、、、，进而可得分布列，再由数学期望的公式即可得数学期望.
【详解】
（1）由题意，
，
所以“数学学期综合成绩”与“物理学期综合成绩”高度相关；
(2) 由题意得：的可能取值为0，1，2，3，4.，
根据赋分规则可知，7人赋分为2，4人赋分为1，9个人赋分为0，
所以，，，，，
所以的分布列为：
所以.
【点睛】
关键点点睛：解决本题的关键是对的值合理放缩及超几何分布的应用.
8. 为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每隔从该生产线上随机抽取一个零件，并测量其尺寸（单位：）.下面是检验员在一天内依次抽取的16个零件的尺寸：
经计算得，，
，，.
（1）求与的样本相关系数，并回答是否可以认为这一天生产的零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小（若，则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小）.
（2）一天内抽检的零件中，如果出现了尺寸在之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程中可能出现了异常情况，需对当天生产的所有零件进行检从这一天抽检的结果看，是否需对当天生产的所有零件进行检查？
【答案】（1），可以认为；（2）需对当天生产的所有零件进行检查.
【解析】
【分析】
（1）由题可求相关系数，即得结论；
（2）通过计算即可得出结论.
【详解】
（1）易得与的样本相关系数为
.
由于，因此可以认为这一天生产的零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小.
（2）由于，，所以，.
由样本数据可以看出抽取的第13个零件的尺寸在以外，
因此需对当天生产的所有零件进行检查.
课程标准
课标解读
理解两个变量的相关关系的概念；
能利用散点图判断两个变量之间是否具有相关关系，会作简单的散点图；
会根据相关系数判断两个变量的相关程度；
通过本节课的学习，要求会画散点图，能根据散点图判断成对数据的相关情况，能利用相关系数判断两个变量的相关程度.
年份
年平均收入
年平均支出
第年
居民年收入/亿元
商品销售额/万元
甲
乙
丙
丁
-0.78
地区
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
海拔/m
1250
1158
1067
457
701
731
610
670
1493
762
549
鸟的种类/种
36
30
37
11
11
13
17
13
29
4
15
月份
1
2
3
4
5
6
人均销售额
6
5
8
3
4
7
利润率(%)
12.6
10.4
18.5
3.0
8.1
16.3
酒驾人数
80
147
121
100
96
103
87
交通事故
19
31
30
23
25
24
20

A
B
C
D
E
数学
80
75
70
65
60
物理
70
66
68
64
62
学生号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
x
120
108
117
104
103
110
104
105
99
108
y
84
64
84
68
69
68
69
46
57
71
1日
2日
3日
4日
5日
外卖甲日接单（百单）
5
2
9
8
11
外卖乙日接单（百单）
2
3
10
5
15
1
2
3
4
12
28
42
56
序号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
数学总评成绩x
95
92
91
90
89
88
88
87
86
85
物理总评成绩y
96
90
89
87
92
81
86
88
83
84
序号
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
数学总评成绩x
83
82
81
80
80
79
78
77
75
74
物理总评成绩
81
80
82
85
80
78
79
81
80
78
0
1
2
3
4
抽取次序
1
2
3
4
5
6
7
8
零件尺寸
9.95
10.12
9.96
9.96
10.01
9.92
9.98
10.04
抽取次序
9
10
11
12
13
14
15
16
零件尺寸
10.26
9.91
10.13
10.02
9.22
10.04
10.05
9.95