高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册7.5 正态分布导学案

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知识精讲
知识点
正态分布
1.密度曲线与密度函数：对于连续型随机变量ξ，位于x轴上方，ξ落在任一区间内的概率等于它与x轴.直线与直线所围成的曲边梯形的面积
（如图阴影部分）的曲线叫ξ的密度曲线，以其作为
图像的函数叫做ξ的密度函数，由于“”
是必然事件，故密度曲线与x轴所夹部分面积等于1.
2. ⑴正态分布与正态曲线：如果随机变量ξ的概率密度为：. （为常数，且），称ξ服从参数为的正态分布，用～表示.的表达式可简记为，它的密度曲线简称为正态曲线.
⑵正态分布的期望与方差：若～，则ξ的期望与方差分别为：.
⑶正态曲线的性质.
曲线在x轴上方，与x轴不相交.
曲线是单峰的，关于直线对称.
当时曲线处于最高点，即x＝μ处达到峰值eq \f(1,σ\r(2π))，当x向左、向右远离时，曲线不断地降低，呈现出“中间高、两边低”的钟形曲线.
④曲线与x轴之间的面积为1；
⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移；
⑥当＜时，曲线上升；当＞时，曲线下降，并且当曲线向左、向右两边无限延伸时，以x轴为渐近线，向x轴无限的靠近.
⑦当一定时，曲线的形状由确定，越大，曲线越“矮胖”.表示总体的分布越分散；越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中.
3. ⑴标准正态分布：如果随机变量ξ的概率函数为，则称ξ服从标准正态分布. 即～有，求出，而P（a＜≤b）的计算则是 .
注意：当标准正态分布的的X取0时，有当的X取大于0的数时，有 .比如.则必然小于0，如图.
⑵正态分布与标准正态分布间的关系：若～则ξ的分布函数通
常用表示，且有.
5.
⑴“3”原则.
假设检验是就正态总体而言的，进行假设检验可归结为如下三步：①提出统计假设，统计假设里的变量服从正态分布.②确定一次试验中的取值是否落入范围.③做出判断：如果，接受统计假设. 如果，由于这是小概率事件，就拒绝统计假设.
⑵“3”原则的应用：若随机变量ξ服从正态分布则 ξ落在内的概率为99.7％ 亦即落在之外的概率为0.3％，此为小概率事件，如果此事件发生了，就说明此种产品不合格（即ξ不服从正态分布）.
6. 正态分布的三个常用数据
①P(μ－σ＜X≤μ＋σ)≈0.682 6；
②P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)≈0.954 4；
③P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)≈0.997 4.
【微点拨】正态分布下两类常见的概率计算
(1)利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关于直线x＝μ对称，曲线与x轴之间的面积为1.
(2)利用3σ原则求概率问题时，要注意把给出的区间或范围与正态变量的μ，σ进行对比联系，确定它们属于(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)中的哪一个．
【即学即练1】设有一正态总体,它的概率密度曲线是函数f(x)的图象,且,则这个正态总体的平均数与标准差分别是( )
A．10与8B．10与2C．8与10D．2与10
【答案】B
【解析】
【详解】
由正态密度函数的定义可知,总体的均值，方差，即.故选.
【即学即练2】关于正态分布N(μ，)，下列说法正确的是（ ）
A．随机变量落在区间长度为3σ的区间之外是一个小概率事件
B．随机变量落在区间长度为6σ的区间之外是一个小概率事件
C．随机变量落在[－3σ，3σ]之外是一个小概率事件
D．随机变量落在[μ－3σ，μ＋3σ]之外是一个小概率事件
【答案】D
【解析】
【分析】
根据正态分布的原则，结合小概率事件的定义，即可求解.
【详解】
由正态分布中的原则，可得，
所以或，
所以随机变量落在之外是一个小概率事件.
故选：D.
【即学即练3】正态分布N(0，1)在区间(－2，－1)和(1，2)上取值的概率为P1，P2，则二者大小关系为（ ）
A．P1＝P2B．P1＜P2C．P1＞P2D．不确定
【答案】A
【解析】
【分析】
根据正太分布曲线的特点即可求解.
【详解】
根据正态曲线的特点，图象关于x＝0对称，可得在区间(－2，－1)和(1,2)上取值的概率P1，P2相等．
故选：A
【即学即练4】在某次联考数学测试中，学生成绩服从正态分布，，若在内的概率为0.8，则落在内的概率为（ ）
A．0.05B．0.1C．0.15D．0.2
【答案】B
【解析】
【分析】根据服从正态分布，得到曲线的对称轴是直线，利用在内取值的概率为0.8，即可求得结论．
【详解】
服从正态分布
曲线的对称轴是直线，
在内取值的概率为0.8，
在内取值的概率为0.5，
在内取值的概率为．
故选：．
【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，主要考查正态曲线的对称性，是一个基础题．
【即学即练5】设随机变量 ，则服从（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由期望和方差公式，结合正态分布的特征，即可判断选项.
【详解】
随机变量，，，.
故选：D.
【即学即练6】已知两种不同型号的电子元件(分别记为X，Y)的使用寿命均服从正态分布，，这两个正态密度曲线如图所示，则下列结论中正确的是( )
附：若，则．
A．
B．
C．
D．对于任意的正数t，有
【答案】ABD
【解析】
【分析】
根据正态分布密度曲线的性质，结合图像分析即可﹒
【详解】
对于A，，故A正确；
对于B，由正态密度曲线可知，∴，故B正确；
对于C，由正态密度曲线可知，∴，故C错误；
对于D，对于任意的正数，由图象知表示的面积始终大于表示的面积，∴，故D正确．
故选：ABD．
【即学即练7】一批电阻的阻值X（单位：Ω）服从正态分布，现从甲､乙两箱成品中各随机抽取一只电阻，测得阻值分别为1011Ω和982Ω，可以认为___________.（填写①②③④中，正确结论的序号）
①甲､乙两箱电阻均可出厂；
②甲､乙两箱电阻均不可出厂；
③甲箱电阻可出厂，乙箱电阻不可出厂；
④甲箱电阻不可出厂，乙箱电阻可出厂.
【答案】③
【解析】
【分析】
根据原则确定正确答案.
【详解】
依题意，
，
，
，
所以甲箱电阻可出厂，乙箱电阻不可出厂.
故答案为：③
【即学即练8】若随机变量ξ～N(10，σ2)，P(9≤ξ≤11)＝0.4，则P(ξ≥11)＝________.
【答案】0.3或
【解析】
【分析】
根据随机变量ξ～N(10，σ2)，得到正态曲线的对称轴，然后由P(9≤ξ≤11)＝2P(10≤ξ≤11)＝0.4求解.
【详解】
因为随机变量ξ～N(10，σ2)，
所以正态曲线μ＝10，
又因为P(9≤ξ≤11)＝2P(10≤ξ≤11)＝0.4.
所以P(10≤ξ≤11)＝0.2，
∵P(ξ≥10)＝0.5，
∴P(ξ≥11)＝0.5－0.2＝0.3.
故答案为：0.3.
【即学即练9】如果，且成立，则________.
【答案】2
【解析】
【分析】
利用正态密度函数图像的对称性即可求解.
【详解】
因为，故正态密度函数关于直线对称，
又，从而，
故答案为：2.
【即学即练10】某品牌摄像头的使用寿命（单位：年）服从正态分布，且使用寿命多于2年的概率为0.8，使用寿命不少于6年的概率为0.2.某校在大门口同时安装了两个该品牌的摄像头，则在4年内这两个摄像头都能正常工作的概率为______.
【答案】0.25
【解析】
【分析】
由题意可得，从而可得正态曲线的对称轴为直线，所以可得每个摄像头在4年内能正常工作的概率为0.5，进而可求得答案
【详解】
由题意知，，
，
∴正态曲线的对称轴为直线，
，即每个摄像头在4年内能正常工作的概率为0.5，
∴两个该品牌的摄像头在4年内都能正常工作的概率为.
故答案为：0.25
【即学即练11】为了解某地区高三男生的身体发育状况，抽查了该地区1000名年龄在17.5岁至19岁的高三男生的体重情况，抽查结果表明他们的体重X（kg）服从正态分布，且正态分布密度曲线如图所示，若体重大于58.5kg、小于或等于62.5kg属于正常情况，求这1000名男生中属于正常情况的人数.
【答案】
【解析】
【分析】
由条件可得，然后，然后可得答案.
【详解】
由图可得，，因为
所以
所以体重大于58.5kg且小于或等于62.5kg的概率为
所以这1000名男生中属于正常情况的人数为
【即学即练12】假设某市高二学生中男生的身高X（cm）服从正态分布，若该市共有高二男生3000人，试计算该市高二男生的身高在范围内的人数.
【答案】1432
【解析】
【分析】
根据题意得到，利用原则，求得身高在范围内的概率求解.
【详解】
解：由题意得，，
则，
所以，
所以身高在范围内的概率为，
则身高在范围内的概率为，
所以身高在范围内的人数为.
能力拓展
考法01
正态密度函数的概念及性质
【典例1】设随机变量的正态分布密度函数为，，则参数，的值分别是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】D
【解析】
【分析】
由正态分布密度函数的概念即得.
【详解】
由正态分布密度函数表达式知，.
故选：D.
【典例2】某工厂有甲乙两条生产线生产同一型号的机械零件，产品的尺寸分别记为X，Y，已知X，Y均服从正态分布，，，其正态分布密度曲线如图所示，则下列结论中正确的是（ ）
A．甲生产线产品的稳定性高于乙生产线产品的稳定性
B．甲生产线产品的稳定性低于乙生产线产品的稳定性
C．甲生产线的产品尺寸平均值大于乙生产线的产品尺寸平均值
D．甲生产线的产品尺寸平均值小于乙生产线的产品尺寸平均值
【答案】A
【解析】
【分析】
根据正态分布密度曲线的对称轴为，图像越瘦高数据越稳定可得.
【详解】
由图知甲乙两条生产线的平均值相等，甲的正态分布密度曲线较瘦高，所以甲生产线产品的稳定性高于乙生产线产品的稳定性.
故选：A
【典例3】某市一次高三教学质量检测中，甲、乙、丙三科考试成绩的直方图（由于人数众多，成绩分布的直方图可视为正态分布）如图所示，则由曲线可得下列说法中正确的一项是（ ）
A．甲科总体的标准差最小B．丙科总体的平均数最小
C．三科总体的平均数不相同D．乙科总体的标准差及平均数都居中
【答案】A
【解析】
【分析】
利用正态曲线的性质即得.
【详解】
由题中图像可知三科总体的平均数（均值）相等.
由正态曲线的性质，可知越大，正态曲线越扁平；越小，正态曲线越尖陡，故三科总体的标准差从小到大依次为甲、乙、丙.
故选：A.
【典例4】正态分布，，（其中，，均大于0）所对应的密度函数图象如下图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．最大，最大B．最大，最大
C．最大，最大D．最大，最大
【答案】D
【解析】
【分析】
根据正态分布的均值和方差对图形的影响判断即可.
【详解】
由正态分布，可知是均值，是正态密度曲线的对称轴，可知最大，
表示方差，越小越“瘦高”，越大越“矮胖”，所以最大.
故选：D.
【点睛】
本题主要考查了正态分布曲线比较均值和方差，属于基础题.
【典例5】某市教育局为了解双减政策的落实情况，随机在本市内抽取了A，B两所初级中学，在每一所学校中各随机抽取了200名学生，调查了他们课下做作业的时间，并根据调查结果绘制了如下频率分布直方图：
由直方图判断，以下说法正确的是（ ）
A．总体看，A校学生做作业平均时长小于B校学生做作业平均时长
B．B校所有学生做作业时长都要大于A校学生做作业时长
C．A校学生做作业时长的中位数大于B校学生做作业的中位数
D．B校学生做作业时长分布更接近正态分布
【答案】AD
【解析】
【分析】
由直方图可逐项分析可得答案.
【详解】
由直方图可知，A校学生做作业时长大部分在1—2小时，而B校学生做作业时长大部分在2.5—3.5小时，故A正确，C错误；
B校有学生做作业时长小于l小时的，而A校有学生做作业时长超过5小时的，故B错误；
B校学生做作业时长分布相对A校更对称，故D正确．
故选：AD.
【典例6】标准正态分布的密度函数为，.
(1)证明：是偶函数；
(2)求的最大值；
(3)利用指数函数的性质说明的增减性.
【答案】(1)证明见解析；(2)；(3)在单调递增，在，上单调递减．
【解析】
【分析】(1)利用定义法求得证明函数为偶函数．
(2)利用复合函数的单调性求得函数的最大值．
(3)利用复合函数同增异减的原则求得函数的单调区间．
证明：(1)∵关于原点对称，又，
为偶函数；
(2)∵，．
(3)∵，
∴t在x∈上单调递增，在x∈，上单调递减，且t∈；
y在t∈单调递增；
∴根据复合函数的单调性判断方法可知，
在上函数单调递增，在，上单调递减．
考法02
根据正态曲线的对称性解决问题：
【典例7】设随机变量，若，则a的值为（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】C
【解析】
【分析】
根据正态分布的性质列方程求a的值.
【详解】
由正态分布的特征知与关于直线对称，所以，解得.
故选：C.
【典例8】已知随机变量，，则的值为（ ）
A．0.16B．0.32C．0.68D．0.84
【答案】A
【解析】
【分析】
根据正态密度曲线的特征和曲线的性质得到曲线的对称轴为直线，.
【详解】
由，得正态密度曲线的对称轴为直线，
如上图，则.
故选：A.
【典例9】已知随机变量，若，则________.
【答案】2
【解析】
【分析】
根据题意，结合正态曲线的对称轴即可求解.
【详解】
由，可知正态曲线的对称轴为直线，
所以由题意可得，解得.
故答案为：2.
【典例10】已知随机变量X服从正态分布，若，则________.
【答案】0.954
【解析】
【分析】
根据随机变量X服从标准正态分布，得到正态曲线关于对称，根据可得结果.
【详解】
∵随机变量X服从标准正态分布，
∴正态曲线关于对称，
∵，
∴，
故答案为：0.954.
【典例11】抽样表明，某市新生儿体重X（单位：kg）近似地服从正态分布，已知该市新生儿体重不足2 kg的占3.1%．试求该市新生儿体重超过4.8kg的百分比．
【答案】3.1%
【解析】
【分析】
根据正态分布曲线的对称性，关于 对称，即可得到答案.
【详解】
由正态分布曲线的对称性可知，与关于 对称，所以

故答案为：3.1%.
【典例12】知随机变量，且，，求a.
【答案】
【解析】
【分析】
利用正态曲线的对称性，转化为，查表可得．
【详解】
，
，
．查表得．
考法03
指定区间的概率
【典例13】已知随机变量服从正态分布，则（ ）
A．0.16B．0.32
C．0.68D．0.84
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意结合正态分布的性质得到，再由，即可求解.
【详解】
因为随机变量ξ服从正态分布，可得，
因为，所以，
根据正态分布曲线的对称性，可得.
故选：A.
【典例14】已知X～N(0，1)，则X在区间(－∞，－2)内取值的概率约为（ ）
A．0.954B．0.046C．0.977D．0.023
【答案】D
【解析】
【分析】
根据正态分布曲线的性质求解即可.
【详解】
由题意知，正态曲线的对称轴为x＝0，所以P(X＜－2)＝0.5－P(－2≤X≤2)＝0.5－＝0.022 8.
故选：D.
【典例15】在某次学科知识竞赛中（总分100分），若参赛学生成绩服从(>0)，若在(70，90)内的概率为0.7，则落在[90，100]内的概率为（ ）
A．0.2B．0.15C．0.1D．0.05
【答案】B
【解析】
由参赛学生成绩服从(>0)，可知平均数，结合在概率密度曲线中的意义，即可计算得解.
【详解】
由参赛学生成绩服从(>0)，
可知平均数，
则正态分布的概率密度曲线关于对称，
因为在(70，90)内的概率为0.7，
所以在内的概率为0.35，
所以在[90，100]内的概率为0.5-0.35=0.15.
故选：B.
【点睛】
本题考查了正态分布，考查了利用正态分布概率密度曲线的特征求概率，关键是理解平均数的含义，属于中档题.
【典例16】设ξ～N(1，22)，试求：
（1）P(－1≤ξ≤3)；
（2）P(3≤ξ≤5)．
【答案】（1）06827；（2）0.1359.
【解析】
【分析】
（1）与（2）利用正态曲线的对称性及三段区间的概率值即可求解.
【详解】
∵ξ～N(1，22)，∴μ＝1，σ＝2，
（1）P(－1≤ξ≤3)＝P(1－2≤ξ≤1＋2)＝P(μ－σ≤ξ≤μ＋σ)≈0.682 7；
（2）∵P(3≤ξ≤5)＝P(－3≤ξ≤－1)，
∴P(3≤ξ≤5)＝[P(－3≤ξ≤5)－P(－1≤ξ≤3)]
＝ [P(1－4≤ξ≤1＋4)－P(1－2≤ξ≤1＋2)]
＝ [P(μ－2σ≤ξ≤μ＋2σ)－P(μ－σ≤ξ≤μ＋σ)]
≈ (0.954 5－0.682 7)＝0.1359.
考法04
原则
【典例17】为了了解某地区高三男生的身体发育状况，抽查了该地区1000名年龄在17.5岁至19岁的高三男生的体育情况，抽查结果表明他们的体重X(kg)服从正态分布N(μ，22)，且正态分布密度曲线如图所示.若体重大于58.5 kg小于等于62.5 kg属于正常情况，则这1000名男生中属于正常情况的人数是
A．997B．954
C．819D．683
【答案】D
【解析】
【分析】
由正态分布得，乘以总数即可得解.
【详解】
由题意，可知，，
故
从而体重属于正常情况的人数是.
故选D.
【点睛】
本题主要考查了正态分布的应用，解决本题的关键是利用对称性.
【典例18】红外线自动测温门能有效避免测温者与被测温者近距离接触，从而降低潜在的感染风险.某厂生产了一批红外线自动测温门，其测量体温误差服从正态分布，设X表示其测量体温误差，且，则下列结论正确的是（附：若随机变量X服从正态分布，则，（ ）
A．，B．
C．D．
【答案】BCD
【解析】
【分析】
根据正态分布的知识可以确定A，再根据正态曲线的对称性确定B,C,D.
【详解】
依题意，所以，，即，，故A错误；
由于，所以，故B正确；
由于，，所以，故C正确.
由于，，所以，故D正确.
故选：BCD.
【典例19】赵先生朝九晚五上班，上班通常乘坐公交加步行或乘坐地铁加步行．赵先生从家到公交站或地铁站都要步行5分钟．公交车多且路程近一些，但乘坐公交路上经常拥堵，所需时间（单位：分钟）服从正态分布，，下车后从公交站步行到单位要12分钟；乘坐地铁畅通，但路线长且乘客多，所需时间（单位：分钟）服从正态分布，，下地铁后从地铁站步行到单位要5分钟．给出下列说法：从统计的角度认为所有合理的说法的序号是（ ）
（1）若出门，则乘坐公交上班不会迟到；
（2）若出门，则乘坐地铁上班不迟到的可能性更大；
（3）若出门，则乘坐公交上班不迟到的可能性更大；
（4）若出门．则乘坐地铁上班几乎不可能不迟到．
参考数据：，则，，
A．（1）（2）（3）（4）B．（2）（4）
C．（3）（4）D．（4）
【答案】C
【解析】
【分析】
结合正态分布的性质对每种情况分别求解概率，即可进行判断．
【详解】
对于（1）赵先生乘坐公交车的时间不大于43分钟才不会迟到，因为且，
所以，
所以赵先生上班迟到还是有可能发生的，（1）不合理；
（2）赵先生乘坐地铁上班，则其乘坐地铁的时间不大于48分钟，才不会迟到，
因为，
所以，
所以若出门，则乘坐地铁上班不迟到的可能性为0.9773，
若乘坐公交，则乘坐时间不大于41分钟才不会迟到，因为，
所以，
故二者的可能性一样，（2）不合理；
（3）赵先生乘坐公交车的时间不大于37分钟才不会迟到，因为，
所以，
赵先生乘坐地铁的时间不大于44分钟才不会迟到，因为，（3）的说法合理；
（4）赵先生乘坐地铁的时间不大于38分钟才不会迟到，因为，
所以，即可能性非常小，（4）的说法合理．故选：．
【点睛】本题主要考查了正态分布，考查了考生的数据处理的能力，分析及解决问题的能力，考查了核心素养是数据分析，数学运算．
【典例20】在产品质量检测中，已知某产品的一项质量指标，且质量指标在内的产品数量为5436，请估计该批次检测的产品数量为________.
【答案】40000
【解析】
【分析】
根据正态分布的原则得，进而.
【详解】
由，可知，，
所以，
所以估计该批次检测的产品数量为.
故答案为：40000
考法05
正态分布的应用
【典例21】在某市2020年3月份的高三线上质量检测考试中，学生的数学成绩服从正态分布N(98，100)．已知参加本次考试的全市学生有9 455人，如果某学生在这次考试中的数学成绩是108分，那么他的数学成绩大约排在全市第（ ）
A．1 500名B．1 700名C．4 500名D．8 000名
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定条件求出数学成绩大于108分的概率，再计算分数超过108分的人数即可作答.
【详解】因为学生的数学成绩X服从正态分布N(98，100)，
则P(X>108)=[1-P(88≤X≤108)]=[1-P(μ-σ≤X≤μ+σ)]≈×(1-0.6827)=0.15865，
而0.15865×9455≈1500，
所以该学生的数学成绩大约排在全市第1500名.
故选：A
【典例22】某校一次高三年级数学检测，经抽样分析，成绩近似服从正态分布，且，若该校1800学生参加此次检测，估计该校此次检测成绩不低于99分的学生人数为___________.
【答案】360
【解析】
【分析】
由题意，成绩近似服从正态分布，则正态分布曲线的对称轴为，根据正态分布曲线的对称性，求得，进而可求解，得到答案.
【详解】
解：由题意，成绩近似服从正态分布，则正态分布曲线的对称轴为，
又由，
根据正态分布曲线的对称性，可得，
所以该市某校有1800人中，估计该校数学成绩不低于99分的人数为人，
故答案为：360.
【典例23】一投资者要在两个投资方案中选择一个，这两个方案的利润（万元）分别服从正态分布和，投资者要求“利润不低于5万元”的概率尽量大，那么他应选择哪个方案？
【答案】应选择第一套方案
【解析】
【分析】
由题意，只需求出两个方案中“利润超过5万元”的概率哪个大，大的即为最佳选择方案，根据正态分布分别计算即可.
【详解】
对于第一套方案，
因为，，
所以.
所以.
所以.
对于第二套方案，
因为，，
所以.
所以.
所以应选择第一套方案.
【典例24】某省2021年开始将全面实施新高考方案.在6门选择性考试科目中，物理､历史这两门科目采用原始分计分；思想政治､地理､化学､生物这4门科目采用等级转换赋分，将每科考生的原始分从高到低划分为，，，，共5个等级，各等级人数所占比例分别为15%，35%，35%，13%和2%，并按给定的公式进行转换赋分.该省组织了一次高一年级统一考试，并对思想政治､地理､化学､生物这4门科目的原始分进行了等级转换赋分.
（1）某校思想政治学科获得等级的共有10名学生，其原始分及转换分如表：
现从这10名学生中随机抽取3人，设这3人中思想政治转换分不低于94分的人数为，求的分布列和数学期望；
（2）假设该省此次高一学生思想政治学科原始分服从正态分布．若，令，则．请解决下列问题：若以此次高一学生思想政治学科原始分等级的最低分为实施分层教学的划线分，试估计该划线分大约为多少分？（结果保留整数）附：若，.
【答案】（1）分布列答案见解析，数学期望：；（2）71．
【解析】
【分析】
（1）写出随机变量的所有可能的取值，根据超几何分布求解分布列与数学期望；
（2）根据服从正态分布求出，即可求解参数．
【详解】
解：（1）随机变量的所有可能的取值为0，1，2，3，
根据条件得，，
，
则随机变量的分布列为
数学期望；
（2）设该划线分为，由得，，
令，则，
依题意，，即
因为当时，，所以，
所以，故，取.
综上：估计该划线分大约为71分．
分层提分
题组A 基础过关练
1．某市教学质量检测中，甲、乙、丙三科考试成绩的正态分布图如图所示(由于人数众多，成绩分布的直方图可视为正态分布)，下列说法中正确的是（ ）
A．甲科总体的标准差最小B．丙科总体的平均数最小
C．乙科总体的标准差及平均数都居中D．甲、乙、丙总体的平均数不相同
【答案】A
【解析】
【分析】
设随机变量成绩服从正态分布，利用和的含义即可求解.
【详解】
不妨设成绩服从正态分布，
由正态曲线的性质知，曲线的形状由参数确定，越大，曲线越矮胖；越小，曲线越瘦高，且是标准差，为正态曲线的对称轴，且为平均数，
由题干所给图像可知，甲科总体标准差最小，乙科总体标准差居中，丙科总体标准差最大， 甲、乙、丙总体的平均数相同，故A正确，BCD错误.
故选：A.
2.已知随机变量服从正态分布，且，则实数的值为( )
A．1B．2C．3 D．4
【答案】A
【解析】
【分析】
结合概率之和为1和正态曲线的对称性即可求解.
【详解】
因为随机变量服从正态分布，
所以曲线关于对称，且，
由，可知.
故选：A.
3. 已知随机变量 ，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【详解】
由正态分布的对称性知，，故选B.
4. 若，，其中，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
利用及对立事件可求概率.
【详解】
．
故选：A.
5. 随机变量服从正态分布N(1,4)，若，则 ( )
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
结合已知条件，利用正态曲线的对称性即可求解.
【详解】
因为随机变量服从正态分布N(1，4)，
所以正态曲线关于对称，
因为，
所以，
因为，，
，
所以，
故选：B.
6. 已知随机变量服从正态分布，若，则（ ）
A．0.2B．0.24C．0.28D．0.32
【答案】C
【解析】
【分析】
依据正态曲线的对称性即可求得
【详解】
由随机变量服从正态分布，可知正态曲线的对称轴为直线
由，可得
则，
故
故选：C
7. 已知随机变量，，且，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据随机变量可知，再根据，，可求出，利用，建立方程，即可求出结果.
【详解】
因为随机变量，所以，
因为，，所以，即，
又
所以，即.
故选：B.
8. 某中学高三（1）班有50名学生，在一次高三模拟考试中，经统计得：数学成绩，则估计该班数学得分大于120分的学生人数为（ ）（参考数据：）
A．16B．10C．8D．2
【答案】C
【解析】
【分析】
根据正态分布的性质，结合题中所给的公式进行求解即可.
【详解】
因为数学成绩，所以，因此由
所以有，
估计该班数学得分大于120分的学生人数为，
故选：C
9. 已知三个随机变量的正态密度函数的图象如图所示，则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】D
【解析】
【分析】
根据正态密度函数中和的意义判断.
【详解】
因为正态密度函数和的图象关于同一条直线对称，
所以.
又的图象的对称轴在的图象的对称轴的右边，
所以.
因为越大，曲线越“矮胖”.越小，曲线越“瘦高”，
由图象，可知正态密度函数和的图象一样“瘦高”，的图象明显“矮胖”，
所以.
故选：D
10. 2020年8月11日，国家主席习近平同志对制止餐饮浪费行为作出重要指示，他指出，餐饮浪费现象，触目惊心，令人痛心!“谁知盘中餐，粒粒皆辛苦”，某中学制订了“光盘计划”，面向该校师生开展了一次问卷调查，目的是了解师生们对这一倡议的关注度和支持度，得到参与问卷调查中的2000人的得分数据.据统计此次问卷调查的得分（满分：100分）服从正态分布，则（ ）
若随机变量，则，
A．0.34135B．0.8186C．0.6827D．0.47725
【答案】B
【解析】
【分析】
根据正态分布的对称性与原则求解即可.
【详解】
解：因为得分（满分：100分）服从正态分布，
所以，
所以
故选：B
11. 在一次共有10000名考生的某市高二的联考中，这些学生的数学成绩服从正态分布，且.若按成绩分层随机抽样的方式抽取100份试卷进行分析，应从120分以上的试卷中抽取（ ）
A．20份B．15份C．10份D．5份
【答案】C
【解析】
【分析】
由已知求得，根据分层抽样原理计算可得答案.
【详解】
解：由题意，数学成绩服从正态分布，且，
根据正态分布密度曲线的对称性，可得，所以.
所以按成绩分层随机抽样抽取100份试卷时，应从120分以上的试卷中抽取份，
故选：C.
12. 甲命题：若随机变量，，则.乙命题：随机变量，且，，则.下列说法正确的是（ ）
A．甲正确、乙错误B．甲错误、乙正确
C．甲错误、乙也错误D．甲正确、乙也正确
【答案】D
【解析】
【分析】
根据正态分布的对称性可判断甲，由二项分布的数学期望和方差公式建立方程，解之可判断乙.
【详解】
解：∵随机变量服从正态分布，
∴曲线关于直线对称，∴，∴甲命题正确；
随机变量，且，，则解得，
∴乙命题正确.
故选：D.
13. 某厂生产的零件外径（单位：cm），今从该厂上、下午生产的零件中各随机取一个，测得其外径分别为10.5cm，9.3cm，则可认为（ ）
A．上午生产情况正常，下午生产情况异常B．上午生产情况异常，下午生产情况正常
C．上、下午生产情况均正常D．上、下午生产情况均异常
【答案】A
【解析】
【分析】
根据正态分布的原则，可得出外径在（）与（）之外时为异常，由此判断可得选项．
【详解】
解：因为零件外径，，，所以根据原则，外径在（）与（）之外时为异常．
从上、下午生产的零件中各随机取一个，测得其外径分别为和，所以可认为上午生产情况正常，下午生产情况异常．
故选：A.
14. 对一个物理量做次测量，并以测量结果的平均值作为该物理量的最后结果．已知最后结果的误差．为使误差在的概率不小于0.9545，至少要测量的次数为（ ）
（参考数据：若，则）
A．8B．10C．30D．32
【答案】D
【解析】
【分析】
因为，得到，，要使误差在的概率不小于0.9545，
则，得到不等式计算即可.
【详解】
根据正态曲线的对称性知：要使误差在的概率不小于0.9545，
则且，，
所以.
故选：D.
15. 已知一次考试共有名同学参加，考生的成绩.据此估计，大约应有人的分数在区间（ ）
A．内B．[内
C．内D．内
【答案】C
【解析】
【分析】
根据正态分布得，然后判断概率，根据原则可判断人的分数在区间内，代入计算即可.
【详解】
由题意，考生的成绩服从正太分布，所以，又因为，故可得大约应有人的分数在区间内，即在区间内，得在区间内.
故选：C.
16. 某批零件的尺寸X服从正态分布，且满足，零件的尺寸与10的误差不超过1即合格，从这批产品中抽取n件，若要保证抽取的合格零件不少于2件的概率不低于，则n的最小值为（ ）
A．7B．6C．5D．4
【答案】C
【解析】
【分析】
由正态分布解得每个零件合格的概率为，由对立事件得，
即，令，由的单调性可解得结果.
【详解】
服从正态分布，且，
，即每个零件合格的概率为
合格零件不少于2件的对立事件是合格零件个数为零个或一个．
合格零件个数为零个或一个的概率为，
由，得，
令，
，单调递减，又，，
不等式的解集为的最小值为
故选：C.
【点睛】
关键点点睛：本题的关键点是：由对立事件得，即.
17. 设随机变量，函数没有零点的概率是0.5，则（ ）
附：若，则，.
A．0.1587B．0.1359C．0.2718D．0.3413
【答案】B
【解析】
【分析】
首先根据函数没有零点求出的取值范围，再根据没有零点的概率是，得到，再根据正态曲线的性质得到的值；然后再根据正态曲线的对称性求出的值即可．
【详解】
若函数没有零点，
∴二次方程无实根，
∴，∴.
又∵没有零点的概率是0.5，
∴.
由正态曲线的对称性知，
∴，∴，，
∴，，，，
∴，，
∴
.
故选：B.
题组B 能力提升练
1. （多选题）已知随机变量，则下列说法中正确的是（ ）
附：；；
A．X的均值为3B．X的标准差为4
C．D．
【答案】AC
【解析】
【分析】
根据得出X的均值为μ＝3，标准差为σ＝2，再计算和的值.
【详解】
由题意，得的均值为3，标准差为，，
.
故选：AC.
2. （多选题）甲、乙两类水果的质量（单位：kg）分别服从正态分布，，，其正态分布的密度曲线，，如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．甲类水果的平均质量
B．乙类水果的质量比甲类水果的质量更集中于均值左右
C．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小
D．乙类水果的质量服从的正态分布的参数
【答案】AC
【解析】
【分析】
根据正态分布的特征可得两者的均值、方差的大小关系，结合正态分布密度曲线可判断D的正误，从而可得正确的选项.
【详解】
由题图可知甲图像关于直线对称，乙图像关于直线对称.
所以，，，故A正确，C正确；
因为甲图像比乙图像更“高瘦”，所以甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于均值左右，故B错误；
因为乙图像的最高点为，即，
故，故D错误.
故选：AC.
3. （多选题）下列说法正确的是（ ）
A．设离散型随机变量X等可能取1，2，3，…，n，若，则
B．设随机变量X服从二项分布，则
C．设离散型随机变量服从两点分布，若，则
D．设随机变量x服从正态分布且，则
【答案】AC
【解析】
【分析】
直接利用离散型随机变量，排列组合数，正态分布的应用判断A、B、C、D的结论．
【详解】
解：由题意知，
对于A：，，故A正确；
对于B：设随机变量服从二项分布，则，B错误；
对于C，因为且，
，故C正确；
对于D，随机变量服从正态分布，
正态曲线的对称轴是．
，所以
，
，D错误；
故选：AC．
4. （多选题）设X～N(μ1，)，Y～N(μ2，)，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中错误的是（ ）
A．P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1)
B．P(X≤σ2)≤P(X≤σ1)
C．对任意正数t，P(X≤t)>P(Y≤t)
D．对任意正数t，P(X>t)>P(Y>t)
【答案】ABD
【解析】
【分析】
根据正态分布的密度曲线可知和的大小关系，由正态分布的意义即可求解.
【详解】
由题图可知μ1<0<μ2，σ12<，
∴P(Y≥μ2)P(X≤)>P(X≤σ1)，故B错；
当t为任意正数时，由题图可知P(X≤t)>P(Y≤t)，
而P(X≤t)＝1－P(X>t)，P(Y≤t)＝1－P(Y>t)，
∴P(X>t)t)，故C正确，D错．
故选：ABD
5. （多选题）已知正态分布的密度函数，，以下关于正态曲线的说法正确的是（ ）
A．曲线与x轴之间的面积为1
B．曲线在处达到峰值
C．当一定时，曲线的位置由确定，曲线随着的变化而沿x轴平移
D．当一定时，曲线的形状由确定，越小，曲线越“矮胖”
【答案】ABC
【解析】
【分析】
根据正态分布的性质结合解析式依次判断即可得出.
【详解】
由正态分布的密度函数的解析式可知曲线与x轴之间的面积即为必然事件的概率，其值为1，故A正确；
，，当且仅当时取等号，∴曲线在处达到峰值，故B正确；
其图像关于直线对称，且当一定时，曲线的位置由确定，曲线随着的变化而沿x轴平移，故C正确；
当一定时，曲线的形状由确定，越小，曲线越“高瘦”，故D错误..
故选：ABC.
6. （多选题）医用口罩由口罩面体和拉紧带组成，其中口罩面体分为内、中、外三层．内层为亲肤材质（普通卫生纱布或无纺布），中层为隔离过滤层（超细聚丙烯纤维熔喷材料层），外层为特殊材料抑菌层（无纺布或超薄聚丙烯熔喷材料层）．根据国家质量监督检验标准，医用口罩的过滤率是重要的指标，根据长期生产经验，某企业在生产线状态正常情况下生产的医用口罩的过滤率，则下列说法正确的是（附：若，则，，）（ ）
A．
B．
C．
D．假设生产状态正常，记表示一天内抽取的50只医用口罩中过滤率大于等于的数量，则
【答案】ABC
【解析】
【分析】
利用正态曲线的对称性可以判定A,B,C，然后再求出一只口罩过滤率小于等于的概率，进而根据独立事件和对立事件的概率求出.
【详解】
由题意可知，，．对于A，因为，所以，故A正确；
对于B，因为，，所以根据正态密度曲线的特点可知，故B正确；
对于C，因为，且，所以，故C正确；
对于D，一只医用口罩过滤率小于的概率约为，所以，故D错误．
故选：ABC．
7. （多选题）“杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究、应用与推广，发明了“三系法”籼型杂交水稻，成功研究出“两系法”杂交水稻，创建了超级杂交稻技术体系，为我国粮食安全、农业科学发展和世界粮食供给做出了杰出贡献；某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高，得出株高（单位：）服从正态分布，其密度曲线函数为，则下列说法正确的是（ ）
A．该地水稻的平均株高为100
B．该地水稻株高的方差为10
C．随机测量一株水稻，其株高在120以上的概率比株高在70以下的概率大
D．随机测量一株水稻，其株高在（80，90）和在（100，110）（单位：）的概率一样大
【答案】AC
【解析】
【分析】
由可知，由此判断A正确，B错误;然后根据正态分布的对称性及原则求解概率判断C和D.
【详解】
由正态分布密度曲线函数，得，该地水稻的平均株高为，所以A正确；该地水稻株高的方差为，所以B不正确；
，所以株高在120以上的概率比株高在70以下的概率大，所以C正确；
根据正态分布的对称性可知：,所以株高在（80，90）和在（100，110）（单位：）的概率不一样大，所以D错误；
故选：AC
8. （多选题）若随机变量，，其中，则下列等式成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【解析】
【分析】
由题意可得正态曲线关于对称，可判断A；分别计算和可判断B；计算可判断C；计算结合选项C可判断D，进而可得正确选项.
【详解】
因为随机变量服从标准正态分布，
所以正态曲线关于对称，如图所示.
又，，
所以，故选项A正确；
因为，，所以，故选项B不正确；
因为，故选项C正确；
，故选项D不正确；
故选：AC.
9. （多选题）某厂生产了一红外自动测温门，其测量体温误差服从正态分布，设表示其测量体温误差，且，则（ ）
A．，B．
C．D．
【答案】BCD
【解析】
【分析】
由，可得，，可判断A；
利用正态分布的对称性和特殊区间的概率，可判断B，C，D.
【详解】
因为，所以，，即，，
故A选项错误；
由于，所以，故B选项正确；
因为，所以，
故C选项正确；
因为，所以，故D选项正确．
故选：BCD．
10. （多选题）已知在数学测验中，某校学生的成绩服从正态分布，其中分为及格线，则下列结论中正确的有（附：随机变量服从正态分布，则）（ ）
A．该校学生成绩的期望为B．该校学生成绩的标准差为
C．该校学生成绩的标准差为D．该校学生成绩及格率超过
【答案】ABD
【解析】
【分析】
根据正态分布的数字特征可判断ABC选项的正误，计算出，可判断D选项的正误.
【详解】
因为该校学生的成绩服从正态分布，则，方差为，标准差为，
，.
所以，该校学生成绩的期望为，该校学生成绩的标准差为，该校学生成绩及格率超过.
所以，ABD选项正确，C选项错误.
故选：ABD.
11. 设随机变量服从正态分布，则下列结论正确的是______.（填序号）
①；
②；
③；
.
【答案】②④或④②
【解析】
【分析】
随机变量服从正态分布，根据概率和正态曲线的性质，即可得到答案.
【详解】
因为，所以①不正确；
因为
，
所以②正确，③不正确；
因为，所以，所以④正确.
故答案为：②④.
12. 在如图所示的正方形中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分(曲线C为正态分布N(0，1)的密度曲线)的点的个数的估计值为________．
附：若，则，.
【答案】3413
【解析】
【分析】
结合已知条件，利用正态曲线的对称性即可求解.
【详解】
由题意，，可知，
所以，
故正方形中阴影部分面积，
设落在阴影部分中点的个数的估计值为，
从而，解得，.
故答案为：3413.
13. 对一个物理量做次测量，并以测：量结果的平均值作为该物理量的最后结果．已知最后结果的误差，为使误差在的概率不小于，至少要测量______次．
参考数据：若，则，，.
【答案】
【解析】
【分析】
根据原则可知，可得出，解出的取值范围，即可得解.
【详解】
根据正态曲线的对称性，知要使误差在的概率不小于，
则，
又，，所以，得．所以至少要测量次．
故答案为：.
14. 下列命题中，正确的命题的序号为__________.
①已知随机变量服从二项分布，若，，则；
②将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变；
③设随机变量服从正态分布，若，则；
④某人在10次射击中，击中目标的次数为，，则当时概率最大.
【答案】②③④
【解析】
【分析】
由二项分布的均值与方差公式计算判断①，由方差的性质判断②，由正态分布的对称性判断③，由二项分布的概率公式列不等式组求解后判断④．
【详解】
①，解得，①错；
②方差反映的是数据与均值的偏移程度，因此每个数据都加上同一个常数后，每个新数据与新均值的偏移不变，方差恒不变，②正确；
③服从正态分布，，③正确；
④，则，
由，解得，所以．④正确．
故答案为：②③④．
15. 已知随机变量服从正态分布，且，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】
利用正态曲线的对称性进行求解．
【详解】
因为，所以该正态曲线关于直线对称，
则，又得
所以
故答案为：
16. 王老师驾车从家到学校上班所需的时间(单位：)服从正态分布，则王老师从家到学校所需时间在内的概率为_____.(若，则，，).
【答案】
【解析】
由题意，，根据正态分布的对称性，结合所给数据，即可求得答案.
【详解】
由已知得，，则、，
∵、，
∴、，
∴.
故答案为：
17. 随机变量服从正态分布，，，则的最小值为_____．
【答案】
【解析】
【分析】
根据正态分布的对称性，得到，再利用均值不等式计算的最小值.
【详解】
随机变量服从正态分布，∴，
由，得，
又，
∴，且，，
则．
当且仅当，即，时等号成立．
∴的最小值为．
故答案为．
【点睛】
本题考查了正态分布的计算，均值不等式的运用，综合性较强，需要同学们熟练掌握各个知识点.
18. 某校高二学生一次数学诊断考试成绩（单位：分）服从正态分布，从中抽取一个同学的数学成绩，记该同学的成绩为事件，记该同学的成绩为事件，则在事件发生的条件下事件发生的概率______．（结果用分数表示）
附参考数据：；；．
【答案】
【解析】
【分析】
计算出和，然后利用条件概率公式可得出的值.
【详解】
由题意可知，，事件为，，，
所以，，
，
由条件概率公式得，故答案为.
【点睛】
本题考查条件概率的计算，同时也考查了正态分布原则计算概率，解题时要将相应的事件转化为正态分布事件，充分利用正态密度曲线的对称性计算，考查计算能力，属于中等题.
C 培优拔尖练
1. 如图是一个正态曲线，试根据图象写出其正态分布的概率密度函数的解析式，并求出总体随机变量的期望和方差.
【答案】，均值为20，方差为；
【解析】
【分析】
由正态曲线得到正态曲线关直线对称，最大值为，由此求出，，从而求出概率密度函数的解析式，即可得到均值和方差．
【详解】
解：从给出的正态曲线可知，该正态曲线关直线对称，最大值为，
所以，
由，解得，
所以概率密度函数的解析式为，
则总体随机变量的均值为20，方差为．
2. 设，求，.
【答案】；
【解析】
【分析】
根据标准正态分布曲线的对称性求解即可.
【详解】
,
,
查表得，，
；
由标准正态分布曲线的对称性可知，
，
查表可得
3. 设，求，.
【答案】；．
【解析】
【分析】
根据随机变量，，得，由标准正态分布表，即可求得结论．
【详解】
根据随机变量，，得，
4. 求标准正态曲线下，满足下列条件的z的值：
(1)大于z的面积是0.3632；
(2)小于z的面积是0.1131；
(3)0和z之间的面积是0.4838，其中；
(4)和z之间的面积是0.9500，其中.
【答案】(1)0.35；(2)；(3)2.14；(4)1.96.
【分析】
根据正态分布中概率的几何意义，正态曲线的对称性求解即可.
【解析】
(1),,
,查表得，
(2)因为小于z的面积是0.1131，所以，
又
故，查表得，，即
(3)，，，
查表得，
(4)，，，
，查表得：
5. 若，根据，，写出下列各概率值：
(1)；(2)．
【答案】(1)；(2)
【分析】
（1）利用正态分布的性质即可求解.
（2）利用正态分布的原则即可求解.
【解析】(1)根据对称性，
.
(2)
6.某工厂制造的机械零件尺寸服从正态分布，问：在一次正常的试验中，取1000个零件时，不属于区间这个尺寸范围的零件大约有多少个？
【答案】
【解析】
【分析】
依题意可得，，根据正态分布的性质得到，从而求出不属于区间的概率，即可得解；
【详解】
解：因为机械零件尺寸服从正态分布，则，，因为，所以取1000个零件时，不属于区间，由原则知不属于的事件为小概率事件，其概率为，，所以1000个零件中大约有3个不在范围内.
7. 为了调查某苹果园中苹果的生长情况，在苹果园中随机采摘了个苹果.经整理分析后发现，苹果的重量（单位：）近似服从正态分布，如图所示，已知，.
(1)若从苹果园中随机采摘个苹果，求该苹果的重量在内的概率；
(2)从这个苹果中随机挑出个，这个苹果的重量情况如下.
为进一步了解苹果的甜度，从这个苹果中随机选出个，记随机选出的个苹果中重量在内的个数为，求随机变量的分布列和数学期望.
【答案】(1)；
(2)分布列答案见解析，数学期望为.
【分析】
（1）利用正态密度曲线的对称性结合已知条件可求得的值；
（2）分析可知，随机变量的所有可能取值为、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进一步可求得的值.
【解析】
(1)已知苹果的重量（单位：）近似服从正态分布，
由正态分布的对称性可知，
，
所以从苹果园中随机采摘个苹果，该苹果的重量在内的概率为.
(2)由题意可知，随机变量的所有可能取值为、、，
，；，
所以，随机变量的分布列为：
所以.
8. 某金属元件的抗拉强度服从正态分布，均值为，标准差是.测量记录精确到.
(1)求抗拉强度超过的元件的比例；
(2)如果要求所有元件的规格是的抗拉强度，那么被报废的元件的比例是多少？
【答案】(1)；(2)
【分析】
（1）转化为标准正态分布，结合查表求得所占比例.
（2）利用来求得正确答案.
【解析】
(1)依题意，，
查表可知，在标准正态分布中，，
则，
所以抗拉强度超过的元件的比例是.
(2)依题意，
，
所以被报废的元件的比例是.
9. 在某次大型考试中，某班同学的成绩服从正态分布，现在已知该班同学中成绩在80～85分的有17人，该班成绩在90分以上的同学有多少人？
【答案】成绩在90分以上的仅有1人．
【解析】
【分析】
由成绩服从，得到，根据正态分布概率的计算，求得内的同学占全班同学的34.135%，得到该班共有，再求得90分以上的同学占全班同学的2.275%.
即可求得成绩在90分以上人数．
【详解】
由题意，成绩服从正态分布，可得，则，
所以成绩在内的同学占全班同学的68.27%，
成绩在内的同学占全班同学的34.135%，
设该班有名同学，则，解得，
因为，
所以成绩在内的同学占全班同学的95.45%，
成绩在90分以上的同学占全班同学的2.275%.
即有 (人)，即成绩在90分以上的仅有1人．
10. 年五一节期间，我国高速公路继续执行“节假日高速公路免费政策”.某路桥公司为掌握五一节期间车辆出行的高峰情况，在某高速公路收费站点记录了日上午这一时间段内通过的车辆数，统计发现这一时间段内共有辆车通过该收费站点，它们通过该收费站点的时刻的频率分布直方图如下图所示，其中时间段记作，记作，记作，记作，例如：，记作时刻.
(1)估计这辆车在时间内通过该收费站点的时刻的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）
(2)为了对数据进行分析，现采用分层抽样的方法从这辆车中抽取辆，再从这辆车中随机抽取辆，设抽到的辆车中，在之间通过的车辆数为，求的分布列；
(3)根据大数据分析，车辆在每天通过该收费站点的时刻服从正态分布，其中可用日数据中的辆车在之间通过该收费站点的时刻的平均值近似代替，用样本的方差近似代替（经计算样本方差为）.假如日上午这一时间段内共有辆车通过该收费站点，估计在之间通过的车辆数（结果保留到整数）
附：；若随机变量服从正态分布，则，，.
【答案】(1)64；(2)答案见解析；(3)819
【分析】
（1）由频率分布直方图即能求出这600辆车在时间段内通过该收费点的时刻的平均值．
（2）由频率分布直方图和分层抽样的方法可知，抽取的10辆车中，在前通过的车辆数就是位于时间分组，这一区间内的车辆数，求出其结果为4，从而的可能的取值为0，1，2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列．
（3）求出，，估计在之间通过的车辆数也就是在，通过的车辆数，由，，即能估计在之间通过的车辆数．
【解析】
(1)这600辆车在时间段内通过该收费点的时刻的平均值为：
．
(2)由频率分布直方图和分层抽样的方法可知，抽取的10辆车中，
在前通过的车辆数就是位于时间分组，这一区间内的车辆数，
即，
所以的可能的取值为0，1，2，3，4．
所以，，，，．
所以的分布列为：
(3)由（1）得，
由已知，所以，
估计在之间通过的车辆数也就是在，通过的车辆数，
由，得：
，
所以估计在在之间通过的车辆数为．
课程标准
课标解读
通过误差模型初步了解服从正态分布
的随机变量的特点.
2.并能通过具体的实例，借助频率直方图的几何直观性，了解正态分布的特征，了解正态密度函数的性质.
3.了解正态分布的均值、方差及含义.
4.了解 原则，能通过具体的实例求会求指定区间的概率，以及解决简单的正态分布问题.
通过本节课的学习，要求在了解正态分布的含义基础上，能解决与正态分布相关的问题，根据正态密度曲线的对称性，增减性，求特定区间的概率，相应的参数及解决简单的正态分布的应用问题.
原始分
91
90
89
88
87
85
83
82
转换分
100
99
97
95
94
91
88
86
人数
1
1
2
1
1
2
1
1
0
1
2
3
重量范围（单位：）
个数
0
1
2
3
4