09-专项素养综合全练(九)平行线中的“拐点”问题——2024年沪科版数学七年级下册精品同步练习

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第10章　相交线、平行线与平移 专项素养综合全练(九) 平行线中的“拐点”问题 类型一　“M”型图 1.如图,∠E=∠B+∠D,猜想AB与CD有怎样的位置关系,并说明理由. 类型二　双“M”型图 2.(2023云南昭通昭阳月考)如图,AB∥CD,∠ABE与∠CDE的平分线相交于点F. (1)如图1,若∠E=80°,求∠BFD的度数; (2)如图2,∠ABM=13∠ABF,∠CDM=13∠CDF,写出∠M与∠E之间的数量关系,并证明. 图1 图2 类型三　“Z”型图 3.如图,已知AB∥DE,∠BCD=30°,∠CDE=138°.求∠ABC的度数. 类型四　双“Z”型图 4.(2023贵州贵阳期末)如图,已知AB⊥BD,AB⊥AC,∠1=∠2,请判断AE与BF的位置关系,并说明理由. 5.(2023江苏苏州期中)如图,∠E=∠F,∠1=∠2,那么AB与CD平行吗?为什么? 类型五　“U”型图 6.(2023江西南昌期中)如图,AE交BC于E,ED⊥EA,∠BAE+∠EDC=90°. (1)试说明:AB∥DC; (2)M、N分别在BA、CD的延长线上,∠EAM和∠EDN的平分线相交于F,求∠F的度数. 类型六　“铅笔”型图 7.(2023河南信阳平桥期末)综合与实践活动课上,孙老师让同学们以“奇妙的平行线”为主题开展数学活动.如图1,∠EFH=90°,点A、C分别在射线FE、FH上,AB∥CD. (1)若∠FAB=150°,则∠HCD=　　　°.探究中小聪同学发现,过点F作FG∥AB即可得到∠HCD的度数,请直接写出∠HCD的度数.  (2)小明同学发现,无论∠FAB如何变化,∠FAB-∠HCD的值始终为定值,并给出了一种证明该发现的辅助线作法:如图2,过点A作AM∥FH,交CD于点M,请你根据小明同学提供的辅助线,确定该定值,并说明理由. (3)如图3,把“∠EFH=90°”改为“∠EFH=α”(0°<α<180°),其他条件保持不变,猜想∠FAB与∠HCD的数量关系,并说明理由. 图1 图2 图3  第10章　相交线、平行线与平移 专项素养综合全练(九) 平行线中的“拐点”问题 全练版P96 1.　解析　AB∥CD. 理由:如图,过点E作EF∥AB,则∠B=∠BEF. 因为∠BED=∠B+∠D,所以∠D=∠DEF, 所以CD∥EF,所以AB∥CD. 2.　解析　(1)如图,过E作EG∥AB,过F作FH∥AB. 因为AB∥CD,所以EG∥AB∥FH∥CD, 所以∠ABF=∠BFH,∠CDF=∠DFH,∠ABE+∠BEG=180°,∠GED+∠CDE=180°, 所以∠ABE+∠BEG+∠GED+∠CDE=360°. 因为∠BED=∠BEG+∠DEG=80°, 所以∠ABE+∠CDE=280°. 因为∠ABE和∠CDE的平分线相交于点F, 所以∠ABF+∠CDF=140°, 所以∠BFD=∠BFH+∠DFH=140°. (2)6∠M+∠E=360°. 证明:因为∠ABM=13∠ABF,∠CDM=13∠CDF, 所以∠ABF=3∠ABM,∠CDF=3∠CDM. 因为∠ABE与∠CDE的平分线相交于点F, 所以∠ABE=6∠ABM,∠CDE=6∠CDM, 所以6∠ABM+6∠CDM+∠E=360°. 因为∠M=∠ABM+∠CDM, 所以6∠M+∠E=360°. 3.　解析　如图,过点C作CF∥AB. 因为AB∥DE,所以DE∥CF, 所以∠DCF=180°-∠CDE=180°-138°=42°, 所以∠BCF=∠BCD+∠DCF=30°+42°=72°, 因为AB∥CF, 所以∠ABC=∠BCF=72°. 4.　解析　AE∥BF.理由如下: 因为AB⊥BD,AB⊥AC, 所以∠ABD=90°,∠BAC=90°, 所以∠2+∠4=90°,∠1+∠3=90°. 因为∠1=∠2, 所以∠3=∠4, 所以AE∥BF. 5.　解析　AB与CD平行. 理由如下: 因为∠E=∠F, 所以BE∥CF, 所以∠EBC=∠FCB, 因为∠1=∠2, 所以∠EBC+∠1=∠FCB+∠2, 即∠ABC=∠DCB, 所以AB∥CD. 6.　解析　(1)如图,过E作EG∥AB,则∠1=∠3. 因为ED⊥EA, 所以∠3+∠4=90°. 因为∠1+∠2=90°, 所以∠4=∠2, 所以EG∥CD, 所以AB∥DC. (2)如图,过F作FH∥AB,则∠5=∠7, 因为AB∥DC, 所以FH∥DC, 所以∠6=∠8, 所以∠AFD=∠5+∠6. 因为AF平分∠MAE,DF平分∠NDE,∠1+∠2=90°, 所以∠5+∠6=12(360°-∠1-∠2)=135°, 所以∠AFD=∠5+∠6=135°. 7.　解析　(1)因为FG∥AB, 所以∠AFG+∠FAB=180°, 所以∠AFG=180°-∠FAB=180°-150°=30°, 因为∠EFH=90°, 所以∠CFG=∠EFH-∠AFG=90°-30°=60°. 因为AB∥CD, 所以FG∥AB,所以FG∥CD, 所以∠HCD=∠CFG=60°. (2)该定值为90°.理由如下: 因为AM∥FH, 所以∠EFH+∠FAM=180°,∠HCD=∠AMC, 所以∠FAM=180°-∠EFH=180°-90°=90°, 因为AB∥CD, 所以∠BAM=∠AMC, 所以∠FAB-∠HCD=∠FAB-∠BAM=∠FAM=90°, 所以无论∠FAB如何变化,∠FAB-∠HCD的值始终为定值,该定值为90°. (3)∠FAB-∠HCD=180°-α. 理由如下: 如图,过点A作AN∥FH,交CD于点N, 所以∠EFH+∠FAN=180°,∠HCD=∠ANC, 所以∠FAN=180°-∠EFH=180°-α, 因为AB∥CD,所以∠BAN=∠ANC, 所以∠FAB-∠HCD=∠FAB-∠BAN=∠FAN=180°-α.