08-专项素养综合全练(八)关于整式和分式的规律探究——2024年沪科版数学七年级下册精品同步练习

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第9章　分式 专项素养综合全练(八) 关于整式和分式的规律探究 类型一　整式规律探究 1.(2023安徽淮北月考)观察下列等式: 第1个等式:2×(12-1+1)-1=13; 第2个等式:3×(22-2+1)-1=23; 第3个等式:4×(32-3+1)-1=33; 第4个等式:5×(42-4+1)-1=43; 第5个等式:6×(52-5+1)-1=53; …… 按照以上规律,解决下列问题: (1)写出第6个等式:　　　　　　　　　　　　　　　　;  (2)写出你猜想的第n个等式(用含n的等式表示),并证明. 2.【新独家原创】观察下列等式: 第1个等式:(4×1)2+1=52-8×1; 第2个等式:(4×2)2+1=92-8×2; 第3个等式:(4×3)2+1=132-8×3; 第4个等式:(4×4)2+1=172-8×4; …… 根据上述规律,解决下列问题: (1)写出第5个等式:　　　　　　　　　　　　　　;  (2)写出第n个等式(用含n的等式表示),并证明. 3.(2023安徽合肥庐阳中学三模)观察下列等式的规律,并解答问题. 第1个等式:12+22-32=1×a-b; 第2个等式:22+32-42=2×0-b; 第3个等式:32+42-52=3×1-b; 第4个等式:42+52-62=4×2-b; …… (1)a=　　　,b=　　　;  (2)写出你猜想的第n个等式(用含n的式子表示),并证明. 4.(1)观察下列图形中小圆点的个数与对应等式的关系,并填空: 　　　　…… (2)按照以上规律,写出你猜想的图n对应的等式(用含n的等式表示),并证明. 类型二　分式规律探究 5.(2023安徽合肥二模)观察以下等式: 第1个等式:23=12+16; 第2个等式:25=13+115; 第3个等式:27=14+128; 第4个等式:29=15+145; …… 按照以上规律,解决下列问题: (1)写出第6个等式:　　　　　　　　　　　　　　;  (2)写出你猜想的第n个等式,并证明你的结论. 6.(2023安徽合肥三模)观察以下等式: 第1个等式:22+14=1+14; 第2个等式:43+19=1+49; 第3个等式:64+116=1+916; 第4个等式:85+125=1+1625; …… 按照以上规律,解决下列问题: (1)写出第5个等式:　　　　　　　　　　　　　　;  (2)写出你猜想的第n个等式(用含n的等式表示),并证明. 7.(2023安徽合肥包河三模)观察以下等式: 第1个等式:12+1×(4-1)=92; 第2个等式:12+12×(9-1)=8; 第3个等式:12+13×(16-1)=252; 第4个等式:12+14×(25-1)=18; …… 按照以上规律,解决下列问题: (1)写出第5个等式:　　　　　　　　;  (2)写出你猜想的第n个等式(用含n的等式表示),并证明. 8.(2023安徽合肥期末)观察以下等式: 第1个等式:1-122=12×32; 第2个等式:1-132=23×43; 第3个等式:1-142=34×54; 第4个等式:1-152=45×65; …… 按照以上规律,解决下列问题: (1)写出第6个等式:　　　　　　　　　　　　;  (2)写出你猜想的第n个等式(用含n的等式表示),并说明理由.  第9章　分式 专项素养综合全练(八) 关于整式和分式的规律探究全练版P82 1.　解析　(1)因为第1个等式:2×(12-1+1)-1=13, 第2个等式:3×(22-2+1)-1=23, 第3个等式:4×(32-3+1)-1=33, 第4个等式:5×(42-4+1)-1=43, 第5个等式:6×(52-5+1)-1=53, 所以第6个等式为7×(62-6+1)-1=63. 故答案为7×(62-6+1)-1=63. (2)猜想第n个等式为(n+1)×(n2-n+1)-1=n3. 证明:(n+1)×(n2-n+1)-1 =n3-n2+n+n2-n+1-1 =n3+(-n2+n2)+(n-n)+(1-1) =n3,故等式成立. 2.　解析　(1)(4×5)2+1=212-8×5. (2)第n个等式:(4n)2+1=(4n+1)2-8n. 证明:因为左边=16n2+1, 右边=16n2+8n+1-8n=16n2+1, 所以左边=右边,所以等式成立. 3.　解析　(1)由题意得a=-1,b=3. (2)猜想第n个等式为n2+(n+1)2-(n+2)2=n(n-2)-3. 证明:因为左边=n2+(n2+2n+1)-(n2+4n+4) =n2+n2+2n+1-n2-4n-4=n2-2n-3, 右边=n2-2n-3, 所以左边=右边,所以等式成立. 4.　解析　(1)题图1对应的等式为4×1+12=32-4, 题图2对应的等式为4×2+22=42-4, 所以题图3对应的等式为4×3+32=52-4, 题图4对应的等式为4×4+42=62-4. 故答案为52-4;4×4+42;62-4. (2)猜想题图n对应的等式为4n+n2=(n+2)2-4. 证明:右边=n2+4n+4-4=n2+4n, 左边=4n+n2, 所以左边=右边,所以等式成立. 5.　解析　(1)213=17+191. (2)猜想第n个等式为22n+1=1n+1+1(n+1)(2n+1). 证明:1n+1+1(n+1)(2n+1)=2n+1+1(n+1)(2n+1)=22n+1, 故猜想成立. 6.　解析　(1)106+136=1+2536. (2)猜想第n个等式为2nn+1+1(n+1)2=1+n2(n+1)2. 证明:2nn+1+1(n+1)2=2n(n+1)+1(n+1)2 =2n2+2n+1(n+1)2=n2+2n+1+n2(n+1)2=(n+1)2+n2(n+1)2 =1+n2(n+1)2, 所以等式成立. 7.　解析　(1)12+15×(362-1)=492. (2)猜想第n个等式为12+1n×[(n+1)2-1]=(n+2)22. 证明:12+1n×[(n+1)2-1]=n+22n·(n2+2n+1-1) =n+22n·(n2+2n)=n+22n·n(n+2) =(n+2)22, 所以等式成立. 8.　解析　(1)1-172=67×87. (2)猜想的第n个等式为1-1(n+1)2=nn+1·n+2n+1. 理由:因为左边=(n+1)2-1(n+1)2=n2+2n(n+1)2, 右边=n2+2n(n+1)2, 所以左边=右边,所以等式成立.