初中数学人教版七年级上册第四章 几何图形初步4.3 角4.3.3 余角和补角优秀ppt课件

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将一张长方形纸片，沿一个角折叠后，折痕与长方形的边形成了4个角.
1. ∠1 与∠2 有什么数量关系？
∠1+∠2 = 90°
2. ∠3与∠4有什么数量关系？
∠3+∠4 = 180°
1. 了解余角、补角的概念，掌握余角和补角的性质， 并能利用余角、补角的知识解决相关问题.(重点、 难点)
2.了解方位角的概念，并能用方位角知识解决一些简单的实际问题.(难点)
如果两个角的和等于90°( 直角 )，就说这两个角互为余角 ( 简称为两个角互余 ).
如图，可以说 ∠1 是 ∠2 的余角，或 ∠2 是∠1的余角，或 ∠1和 ∠2互余.
图中给出的各角，哪些互为余角？
如果两个角的和等于180°(平角)，就说这两个角互为补角 ( 简称为两个角互补 ).
如图，可以说 ∠3 是 ∠4 的补角，或 ∠4是 ∠3 的补角，或 ∠3 和 ∠4 互补.
图中给出的各角，哪些互为补角？
要点精析：(1)互余，互补必须是两个角之间的关系．(2)当互补的两个角有公共顶点和公共边时，又称这 两个角互为邻补角(简称邻补角)．如图 所示，∠AOC和∠BOC互为邻补角．(3)互补的角不一定互为邻补角，但互为邻补角的角 一定互为补角．(4)互余或互补的角只与数量有关，与位置无关．
例1 若一个角的补角等于它的余角的 4 倍，求这个角的度数.
解：设这个角为 x°，则它的补角是 ( 180－x )°， 余角是 ( 90－x )° . 根据题意，得180－x = 4 ( 90－x ) . 解得 x = 60.答：这个角的度数是 60 °.
已知 ∠A 与∠B 互余，且 ∠A 的度数比∠B 度数的 3 倍还多30°，求∠B的度数.
解：设∠B的度数为x°，则 ∠A 的度数为 (3x+30)°. 根据题意得： x + ( 3x+30 ) = 90. 解得 x=15. 故 ∠B 的度数为15°.
例2 如图，已知O为AD上一点，∠AOC与∠AOB互补，OM，ON分别为∠AOC，∠AOB的平分线，若∠MON=40°，试求∠AOC与∠AOB的度数．
解：设∠AOB=x，因为∠AOC与∠AOB互补，则∠AOC=180°-x．因为OM，ON分别为∠AOC，∠AOB的平分线，
解得x=50°，则180°-x=130°.
即∠AOB=50°，∠AOC=130°.
观察可得结论：锐角的补角比它的余角大_____.
∠1 与∠2，∠3都互为补角，∠2 与∠3 的大小有什么关系？
同角 (等角) 的补角相等.
同角 (等角) 的余角相等.
要点归纳：1.补角的性质：同角的补角相等，即：若∠A＋∠B ＝180°，∠A＋∠C＝180°，则∠B＝∠C.等角的 补角相等，即：若∠A＋∠B＝180°，∠D＋∠C＝ 180°，∠A＝∠D，则∠B＝∠C.2.余角的性质：同角的余角相等，即：若∠A＋∠B ＝90°，∠A＋∠C＝90°，则∠B＝∠C.等角的余 角相等，即：若∠A＋∠B＝90°，∠D＋∠C＝ 90°，∠A＝∠D，则∠B＝∠C.
例 如图，点A，O，B在同一直线上，射线 OD 和射线 OE 分别平分∠AOC 和∠BOC，图中哪些角互为余角？
解：因为点A，O，B在同一直线 上，所以 ∠AOC 和 ∠BOC 互为补角.
所以∠COD和∠COE互为余角，
同理∠AOD和∠BOE，∠AOD和∠COE，∠COD和∠BOE也互为余角.
如图，O为直线AB上一点，OD平分∠AOC，∠DOE=90°．（1）∠AOD的余角是_______________，∠COD的余角是_________________;（2 ）OE是∠BOC的平分线吗？请说明理由．
解：是，理由如下：因为∠DOE=90°，所以∠COD+∠COE=90°，∠AOD+∠BOE=90°，所以∠AOD+∠BOE=∠COD+∠COE，所以OD平分∠AOC，所以∠AOD=∠COD，所以∠COE=∠BOE，所以OE平分∠BOC．
如图,已知∠AOB=90°， ∠AOC= ∠BOD，则与∠AOC互余的角有__________________.
∠BOC 和 ∠AOD
观看下列视频，议一议其中蕴含的数学知识.
正东：正南：正西：正北：
西北方向：西南方向：东北方向：东南方向：
如图，说出下列方位(1) 射线 OA 表示的方向 为 .(2) 射线 OB 表示的方向 为 ___ _ . (3) 射线 OC 表示的方向 为 . (4) 射线 OD 表示的方向 为 .
南偏西 45°(西南)
例 如图，货轮O在航行过程中，发现灯塔A在它南偏东60°的方向上. 同时，在它北偏东40°，南偏西10°，西北(即北偏西45°)方向上又分别发现了客轮B，货轮C和海岛D. 仿照表示灯塔方位的方法画出表示客轮B，货轮C和海岛D方向的射线.
费俊龙、聂海胜乘坐“神舟”六号遨游太空时，我国当时派出远望一号~四号船队，跟踪检测. 其中远望一、二号停在太平洋洋面上，某一时刻，分别测得神舟六号在北偏东60°和北偏东30°的方向，你能在下图中画出当时神舟六号所处的位置吗？
1.一个角的余角是它的2倍，这个角的度数是（　）A．30°B．45°C．60°D．75°
2.下列说法正确的是（　　）A．一个角的补角一定大于它本身B．一个角的余角一定小于它本身C．一个钝角减去一个锐角的差一定是一个锐角D．一个角的余角一定小于其补角
3.已知∠A与∠B互余，∠B与∠C互补，若∠A=60°，则∠C的度数是_______.
4. ∠1 与 ∠2 互余，∠1 = (6x + 8)°，∠2 = (4x－8)°， 则∠1= ，∠2= .
5. 如图，已知∠ACB=∠CDB=90°.
(1) 图中有哪几对互余的角？
(2) 图中哪几对角是相等的角(直角除外)？为什么？
答案：∠A+∠B=90° ∠A+∠2=90°
∠1+∠B=90° ∠1+∠2=90°
( 同角的余角相等 )
6. 垃圾打捞船 A 和 B 都停驻在湖边观测湖面，从 A 船发现它的北偏东60°方向有白色漂浮物， 同时，从 B 船也发现该白色漂浮物在它的北偏 西30°方向. (1) 试在图中确定白色漂浮物C的位置；
A. 南偏东30° B. 南偏西30°C. 南偏东60° D. 南偏西60°
(2) 点 C 在点 A 的北偏东60°的方向上，那么点 A 在点 C 的______方向上.
余角、补角理解要点： (1)互余和互补是指两个角的数量关系，而不是多个 角之间的关系． (2)互余、互补的两个角，只与它们的数量(和)有关， 与它们的位置无关．
物体运动的方向与正北、正南方向之间的夹角称为方位角，一般以正北、正南为基准，用向东或向西旋转的角度表示方向
通常要先写北或南，再写偏东或偏西