2023版新教材高中数学第二章平面解析几何2.4曲线与方程课时作业新人教B版选择性必修第一册

这是一份2023版新教材高中数学第二章平面解析几何2.4曲线与方程课时作业新人教B版选择性必修第一册，共5页。

2．4　曲线与方程 1．曲线x2－xy－y2－3x＋4y－4＝0与x轴的交点坐标是(　　) A．(4，0)和(－1，0) B．(4，0)和(－2，0) C．(4，0)和(1，0) D．(4，0)和(2，0) 2．设曲线F1(x，y)＝0和F2(x，y)＝0的交点为P，那么曲线F1(x，y)－F2(x，y)＝0必定(　　) A．经过P点B．经过原点 C．不一定经过P点D．经过P点和原点 3．(多选)方程(2x－y＋2)·eq \r(x2＋y2－1)＝0表示的曲线是(　　) A．一个点与一条直线B．两个点C．两条射线D．一个圆 4．在平面直角坐标系xOy中，若定点A(－1，2)与动点P(x，y)满足eq \o(OP,\s\up6(→))·eq \o(AO,\s\up6(→))＝8，则点P的轨迹方程为(　　) A．x－2y－8＝0B．x－2y＋8＝0C．x＋2y－8＝0D．x＋2y＋8＝0 5．已知点A(－4，0)，B(－1，0)，动点M(x，y)满足|MA|＝2|MB|，则动点M的轨迹方程为(　　) A．x2＋y2＝4B．eq \f(x2,4)＋y2＝1C．x2－eq \f(y2,3)＝1D．y2＝4x 6．“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”是“方程f(x，y)＝0是曲线C的方程”的____________条件． 7．方程x2＋y2＝1(xy<0)表示的曲线是(　　) 8．已知点M(1，1)，N(－3，5)，则满足条件|PM|＝|PN|的点P不可能在下列哪个方程表示的曲线上(　　) A．2x－y＋1＝0B．x2＋y2＝8C．eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,3)＝1D．x2＋y2－2x－4y－1＝0 9．已知曲线C方程为x2＋y2＋|x|y＝2023，则曲线C关于(　　)对称． A．x轴B．y轴C．原点D．y＝x 10．在平面直角坐标系xOy中，点B与点A(－1，1)关于原点O对称，点P是动点，且直线AP与BP的斜率之积为－eq \f(1,3)，则点P的轨迹方程为(　　) A．3x2＋y2＝4(x≠±1) B．3x2＋y2＝1(x≠±1) C．x2＋3y2＝4(x≠±1) D．x2＋3y2＝1(x≠±1) 11．点在圆x2＋y2＝1上移动时，它与定点B(3，0)连线的中点的轨迹方程是(　　) A．(x＋3)2＋y2＝4B．(x－3)2＋y2＝1 C．(2x－3)2＋4y2＝1D．(x＋eq \f(3,2))2＋y2＝eq \f(1,2) 12．方程|x＋1|＋|y－1|＝2表示的曲线围成的图形的对称中心的坐标为________，面积为________． 13．如图，过点P(2，4)作两条互相垂直的直线l1，l2，若l1交x轴于A点，l2交y轴于B点，求线段AB的中点M的轨迹方程． 　 14．关于曲线C：x2＋y2＝8＋|x|y有如下四个结论： ①图象关于y轴对称； ②图象关于x轴对称； ③图象上任意一点到原点的距离不超过4； ④当x>0时，y是x的函数． 其中正确的序号是(　　) A．①④B．②④C．①③D．①③④ 15．△ABC的三边长分别为|AC|＝3，|BC|＝4，|AB|＝5，点P是△ABC内切圆上一点，求|PA|2＋|PB|2＋|PC|2的最小值与最大值． 2．4　曲线与方程 必备知识基础练 1．答案：A 解析：在曲线x2－xy－y2－3x＋4y－4＝0中，令y＝0，则x2－3x－4＝0，所以x＝－1或x＝4.所以交点坐标为(－1，0)和(4，0).故选A. 2．答案：A 解析：设曲线F1(x，y)＝0和F2(x，y)＝0的交点为P的坐标为(x0，y0)， 因此有F1(x0，y0)＝0且F2(x0，y0)＝0，因此F1(x0，y0)－F2(x0，y0)＝0， 所以曲线F1(x，y)－F2(x，y)＝0必定经过P点．故选A. 3．答案：CD 解析：原方程等价于x2＋y2－1＝0，即x2＋y2＝1(一个圆)，或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－y＋2＝0，,x2＋y2－1≥0))(两条射线).故选CD. 4．答案：A 解析：由已知得eq \o(OP,\s\up6(→))＝(x，y)，eq \o(AO,\s\up6(→))＝(1，－2)，由于eq \o(OP,\s\up6(→))·eq \o(AO,\s\up6(→))＝8，所以x－2y＝8，即点P的轨迹方程为x－2y－8＝0.故选A. 5．答案：A 解析：∵M(x，y)，A(－4，0)，B(－1，0)， ∴|MA|＝eq \r(（x＋4）2＋y2)，|MB|＝eq \r(（x＋1）2＋y2)， 又∵动点M(x，y)满足|MA|＝2|MB|， ∴eq \r(（x＋4）2＋y2)＝2eq \r(（x＋1）2＋y2)， 两边平方后可得x2＋8x＋16＋y2＝4x2＋8x＋4＋4y2， 整理后可得x2＋y2＝4.故选A. 6．答案：必要不充分 解析：“方程f(x，y)＝0是曲线C的方程”⇒“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”，反之不成立． 关键能力综合练 7．答案：D 解析：因为x2＋y2＝1表示圆心在原点，半径为1的圆，又xy<0，所以方程x2＋y2＝1(xy<0)表示的曲线是圆在第二、四象限的部分．故选D. 8．答案：C 解析：设点P(x，y)，点M(1，1)，N(－3，5)， 因为|PM|＝|PN|， 所以eq \r(（x－1）2＋（y－1）2)＝eq \r(（x＋3）2＋（y－5）2)， 化简整理可得x－y＋4＝0， 所以满足条件|PM|＝|PN|的点P的轨迹方程为x－y＋4＝0， 因为直线x－y＋4＝0与曲线2x－y＋1＝0，x2＋y2＝8，x2＋y2－2x－4y－1＝0都有公共点， 与曲线eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,3)＝1无公共点， 所以点P不可能在方程eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,3)＝1表示的曲线上．故选C. 9．答案：B 解析：曲线C方程为x2＋y2＋|x|y＝2023， 将x换为－x，y不变，原方程化为x2＋y2＋|x|y＝2023，所以曲线C关于y轴对称； 将y换为－y，x不变，原方程化为x2＋y2－|x|y＝2023，所以曲线C不关于x轴对称； 将x换为－x，y换为－y，原方程化为x2＋y2－|x|y＝2023，所以曲线C不关于原点对称； 将x换为y，y换为x，原方程化为x2＋y2＋|y|x＝2023，所以曲线C不关于直线y＝x对称．故选B. 10．答案：C 解析：∵点B与点A(－1，1)关于原点O对称，∴B(1，－1)，设P(x，y)，∵kAP＝eq \f(y－1,x＋1)，kBP＝eq \f(y＋1,x－1)(x≠±1)，且kAP·kBP＝－eq \f(1,3)，∴kAP·kBP＝eq \f(y－1,x＋1)×eq \f(y＋1,x－1)＝eq \f(y2－1,x2－1)＝－eq \f(1,3)(x≠±1)，∴x2＋3y2＝4(x≠±1)，∴P的轨迹方程为x2＋3y2＝4(x≠±1).故选C. 11．答案：C 解析：设圆x2＋y2＝1上点为(x0，y0)，所求点为(x，y)，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(x0＋3,2),y＝\f(y0＋0,2)))，∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x0＝2x－3,y0＝2y))，∴(2x－3)2＋4y2＝1，即所求轨迹方程为(2x－3)2＋4y2＝1.故选C. 12．答案：(－1，1)　8 解析：当x≥－1，y≥1时，方程等价为x＋y－2＝0， 当x≥－1，y≤1时，方程等价为x－y＝0， 当x≤－1，y≥1时，方程等价为x－y＋4＝0， 当x≤－1，y≤1时，方程等价为x＋y＋2＝0， 则对应的图象如图， 则围成的图形为正方形， 其中A(－1，3)，B(1，1)，C(－1，－1)，D(－3，1)， 则该图形的对称中心的坐标为(－1，1)，且|BD|＝4，|AC|＝4，则正方形的面积为S＝2×4＝8. 13．解析：方法一　设点M的坐标为(x，y)， 因为M为线段AB的中点， 所以A点的坐标为(2x，0)，B点的坐标为(0，2y). 因为l1⊥l2，且l1，l2过点P(2，4)， 所以PA⊥PB，当直线PA与PB的斜率都存在且不为0时， 即kPA·kPB＝－1， 而kPA＝eq \f(4－0,2－2x)＝eq \f(2,1－x)(x≠1)，kPB＝eq \f(4－2y,2－0)＝2－y， 所以eq \f(2,1－x)·(2－y)＝－1(x≠1)， 整理得x＋2y－5＝0(x≠1). 因为当直线PA的斜率不存在时，即x＝1时，点A，B的坐标分别为(2，0)，(0，4)， 所以线段AB的中点坐标是(1，2)， 它满足方程x＋2y－5＝0. 综上所述，点M的轨迹方程是x＋2y－5＝0. 方法二　设点M的坐标为(x，y)， 则A，B两点的坐标分别是(2x，0)，(0，2y)，连接PM(图略). 因为l1⊥l2，所以2|PM|＝|AB|. 而|PM|＝eq \r(（x－2）2＋（y－4）2)， |AB|＝eq \r(（2x）2＋（2y）2)， 所以2eq \r(（x－2）2＋（y－4）2)＝eq \r(4x2＋4y2)， 化简得x＋2y－5＝0，即为所求的点M的轨迹方程． 核心素养升级练 14．答案：C 解析：对于①②，设(x，y)为曲线C上的点，关于y轴对称的点的坐标为(－x，y)，关于x轴对称的点的坐标为(x，－y)，将(－x，y)代入方程，显然满足，故关于y轴对称，将(x，－y)代入方程，得x2＋y2＝8－|x|y，不满足方程，不关于x轴对称，故①正确，②错误； 对于③，当x≥0时，C：x2＋y2＝8＋xy≤8＋eq \f(x2＋y2,2)，解得x2＋y2≤16，即到原点的距离小于等于4，再根据图象关于y轴对称，可得图象上任意一点到原点的距离不超过4，故正确； 对于④，当x>0时，C：x2＋y2＝8＋xy，给一个自变量x＝1得y2－y－7＝0，该方程有两个实数根，不满足函数定义，故错误．故正确的序号是①③.故选C. 15．解析： 因为|AB|2＝|AC|2＋|BC|2，所以∠ACB＝90°. 以C为原点，CB，CA所在直线分别为x轴，y轴建立如图所示的平面直角坐标系，由于|AC|＝3，|BC|＝4，得C(0，0)，A(0，3)，B(4，0). 设△ABC内切圆的圆心为(r，r)， 由△ABC的面积＝eq \f(1,2)×3×4＝eq \f(3,2)r＋2r＋eq \f(5,2)r，得r＝1， 于是内切圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1⇒x2＋y2＝2x＋2y－1， 由(x－1)2≤1⇒0≤x≤2. 设P(x，y)，那么|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＝x2＋(y－3)2＋(x－4)2＋y2＋x2＋y2＝3(x2＋y2)－8x－6y＋25＝3(2x＋2y－1)－8x－6y＋25＝22－2x， 所以当x＝0时，|PA|2＋|PB|2＋|PC|2取得最大值，最大值为22， 当x＝2时，取得最小值，最小值为18.