高中数学第二章等式与不等式本章综合与测试导学案

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这是一份高中数学第二章等式与不等式本章综合与测试导学案，共6页。

1．若0A.eq \f(1,2) B．a2＋b2
C．2ab D．a
答案 B
解析 ∵a2＋b2＝(a＋b)2－2ab>(a＋b)2－2·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))2＝eq \f(1,2).
a2＋b2－2ab＝(a－b)2>0，
∴a2＋b2>2ab.
∵0∴a∴a2＋b2最大．
2．若a，b∈R，则a2＋b2与2|ab|的大小关系是( )
A．a2＋b2≥2|ab| B．a2＋b2＝2|ab|
C．a2＋b2≤2|ab| D．a2＋b2>2|ab|
答案 A
解析 ∵a2＋b2－2|ab|＝(|a|－|b|)2≥0，∴a2＋b2≥2|ab|(当且仅当|a|＝|b|时，等号成立)．
3．(多选)对于a>0，b>0，下列不等式中正确的是( )
A.eq \f(\r(ab),2)B．ab≤eq \f(a2＋b2,2)
C．ab≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))2
D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))2≤eq \f(a2＋b2,2)
答案 BCD
解析当a>0，b>0时，
因为eq \f(2,\f(1,a)＋\f(1,b))≤eq \r(ab)，
所以eq \f(2,\r(ab))≤eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)，
当且仅当a＝b时等号成立，故A不正确；
显然B，C，D均正确．
4.eq \r(3－aa＋6)(－6≤a≤3)的最大值为( )
A．9 B.eq \f(9,2) C．3 D.eq \f(3\r(2),2)
答案 B
解析因为－6≤a≤3，所以3－a≥0，
a＋6≥0，
所以eq \r(3－aa＋6)≤eq \f(3－a＋a＋6,2)＝eq \f(9,2).
当且仅当3－a＝a＋6，即a＝－eq \f(3,2)时，等号成立．
即eq \r(3－aa＋6)(－6≤a≤3)的最大值为eq \f(9,2).
5．如果正数a，b，c，d满足a＋b＝cd＝4，那么( )
A．ab≤c＋d，且等号成立时，a，b，c，d的取值唯一
B．ab≥c＋d，且等号成立时，a，b，c，d的取值唯一
C．ab≤c＋d，且等号成立时，a，b，c，d的取值不唯一
D．ab≥c＋d，且等号成立时，a，b，c，d的取值不唯一
答案 A
解析因为a＋b＝cd＝4，所以由均值不等式得a＋b≥2eq \r(ab)，故ab≤4.又因为cd≤eq \f(c＋d2,4)，所以c＋d≥4，所以ab≤c＋d，当且仅当a＝b＝c＝d＝2时，等号成立．
6．下列不等式不正确的是________．(填序号)
①eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,x)))≥2；②eq \f(x2＋y2,xy)≥2；③eq \f(x2＋y2,2)>xy；④eq \f(|x＋y|,2)≥eq \r(|xy|).
答案 ②③④
解析因为x与eq \f(1,x)同号，
所以eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,x)))＝|x|＋eq \f(1,|x|)≥2，①正确；
当x，y异号时，②不正确；
当x＝y时，eq \f(x2＋y2,2)＝xy，③不正确；
当x＝1，y＝－1时，④不正确．
7．设x>－1，则eq \f(x＋5x＋2,x＋1)的最小值是________，此时x＝________.
答案 9 1
解析 ∵x>－1，∴x＋1>0，
设x＋1＝t>0，则x＝t－1，
于是有eq \f(x＋5x＋2,x＋1)＝eq \f(t＋4t＋1,t)
＝eq \f(t2＋5t＋4,t)＝t＋eq \f(4,t)＋5≥2 eq \r(t·\f(4,t))＋5＝9，
当且仅当t＝eq \f(4,t)，
即t＝2时等号成立，此时x＝1.
∴当x＝1时，eq \f(x＋5x＋2,x＋1)取得最小值9.
8．要制作一个容积为4 m3，高为1 m的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是________元，此时该容器的底面形状为_________．
答案 160 正方形
解析设底面矩形的一边长为x m，由容器的容积为4 m3，
高为1 m，得另一边长为eq \f(4,x) m.
记容器的总造价为y元，则
y＝4×20＋2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(4,x)))×1×10＝80＋20eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(4,x)))≥80＋20×2eq \r(x·\f(4,x))＝160，
当且仅当x＝eq \f(4,x)，即x＝2时，等号成立．
因此当x＝2时，y取得最小值160，
即容器的最低总造价为160元，此时底面为正方形．
9．已知a，b，c是互不相等的正数，且a＋b＋c＝1，求证：eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＋eq \f(1,c)>9.
证明 ∵a，b，c∈(0，＋∞)，且a＋b＋c＝1，
∴eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＋eq \f(1,c)＝eq \f(a＋b＋c,a)＋eq \f(a＋b＋c,b)＋eq \f(a＋b＋c,c)
＝3＋eq \f(b,a)＋eq \f(c,a)＋eq \f(a,b)＋eq \f(c,b)＋eq \f(a,c)＋eq \f(b,c)
＝3＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)＋\f(a,b)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(c,a)＋\f(a,c)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(c,b)＋\f(b,c)))
≥3＋2eq \r(\f(b,a)·\f(a,b))＋2eq \r(\f(c,a)·\f(a,c))＋2eq \r(\f(c,b)·\f(b,c))
＝3＋2＋2＋2
＝9.
∵a，b，c是互不相等的正数，∴等号取不到．
∴eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＋eq \f(1,c)>9.
10．已知正实数a，b满足a＋b＝4，求eq \f(1,a＋1)＋eq \f(1,b＋3)的最小值．
解因为a＋b＝4，所以(a＋1)＋(b＋3)＝8，
所以8eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a＋1)＋\f(1,b＋3)))＝[(a＋1)＋(b＋3)]·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a＋1)＋\f(1,b＋3)))＝eq \f(b＋3,a＋1)＋eq \f(a＋1,b＋3)＋2≥2eq \r(\f(b＋3,a＋1)·\f(a＋1,b＋3))＋2＝4，
当且仅当a＋1＝b＋3，即a＝3，b＝1时，等号成立，
所以eq \f(1,a＋1)＋eq \f(1,b＋3)≥eq \f(1,2)，
所以eq \f(1,a＋1)＋eq \f(1,b＋3)的最小值为eq \f(1,2).
11．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x为( )
A．10 m B．20 m C．30 m D．40 m
答案 B
解析设矩形的另一边长为y.由三角形相似得eq \f(x,40)＝eq \f(40－y,40)，其中0∴40＝x＋y≥2eq \r(xy)，xy≤400，
当且仅当x＝y＝20时，等号成立，矩形的面积取得最大值．
12．(多选)已知a，b，x，y＞0，x，y为变量，a，b为常数，且a＋b＝10，eq \f(a,x)＋eq \f(b,y)＝1，x＋y的最小值为18，则a，b的值分别是( )
A．a＝2，b＝8 B. a＝3，b＝3
C．a＝4，b＝4 D. a＝8，b＝2
答案 AD
解析 x＋y＝(x＋y)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,x)＋\f(b,y)))
＝a＋b＋eq \f(bx,y)＋eq \f(ay,x)≥a＋b＋2eq \r(ab)＝(eq \r(a)＋eq \r(b))2，
当且仅当eq \f(bx,y)＝eq \f(ay,x)时取等号．
故x＋y的最小值为(eq \r(a)＋eq \r(b))2＝18，
即a＋b＋2eq \r(ab)＝18，①
又a＋b＝10，②
由①②可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝2，,b＝8))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝8，,b＝2.))
13．设计用32 m2的材料制造某种长方体车厢(无盖)，按交通法规定车厢宽为2 m，则车厢长为______m时容积最大，最大容积是________m3.
答案 4 16
解析设车厢的长为b m，高为a m，体积为V m3.
由已知得2b＋2ab＋4a＝32，
即b＝eq \f(16－2a,a＋1)，
∴V＝a·eq \f(16－2a,a＋1)·2＝2·eq \f(16a－2a2,a＋1).
设a＋1＝t>1，
则V＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(20－2t－\f(18,t)))≤2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(20－2\r(2t·\f(18,t))))＝16，
当且仅当2t＝eq \f(18,t)，即t＝3时等号成立，
此时a＝2, b＝eq \f(16－2a,a＋1)＝4.
14．若不等式ax2＋eq \f(1,x2＋1)≥eq \f(2－3a,3)(a>0)恒成立，则实数a的取值范围是________．
答案 eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,9)，＋∞))
解析原不等式可转化为a(x2＋1)＋eq \f(1,x2＋1)≥eq \f(2,3)，
又a>0，
则a(x2＋1)＋eq \f(1,x2＋1)≥2eq \r(ax2＋1·\f(1,x2＋1))＝2eq \r(a)，
当且仅当a(x2＋1)＝eq \f(1,x2＋1)，
即a＝eq \f(1,x2＋12)时等号成立，
则根据恒成立的意义可知2eq \r(a)≥eq \f(2,3)，解得a≥eq \f(1,9).
15．若关于x的不等式(1＋k2)x≤k4＋4的解集是M，则对任意实常数k，总有( )
A．2∈M,0∈M B．2∉M,0∉M
C．2∈M,0∉M D．2∉M,0∈M
答案 A
解析 M＝eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(k4＋4,k2＋1))).
当k∈R时，eq \f(k4＋4,k2＋1)＝eq \f(k2＋12－2k2＋3,k2＋1)
＝eq \f(k2＋12－2k2＋1＋5,k2＋1)＝(k2＋1)＋eq \f(5,k2＋1)－2
≥2eq \r(k2＋1·\f(5,k2＋1))－2＝2eq \r(5)－2>2(当且仅当k2＝eq \r(5)－1时，取等号).∴2∈M,0∈M.
16．已知a，b都是正数，求证：eq \f(2,\f(1,a)＋\f(1,b))≤eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2)≤eq \r(\f(a2＋b2,2)).
证明 ∵a>0，b>0，
∴eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)≥2eq \r(\f(1,ab))，∴eq \f(2,\f(1,a)＋\f(1,b))≤eq \f(1,\r(\f(1,ab)))，
即eq \f(2,\f(1,a)＋\f(1,b))≤eq \r(ab)(当且仅当a＝b时，等号成立)．
又∵eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))2＝eq \f(a2＋2ab＋b2,4)≤eq \f(a2＋a2＋b2＋b2,4)＝eq \f(a2＋b2,2)，
∴eq \f(a＋b,2)≤eq \r(\f(a2＋b2,2))(当且仅当a＝b时，等号成立)，
又eq \f(a＋b,2)≥eq \r(ab)(当且仅当a＝b时，等号成立)．
故eq \f(2,\f(1,a)＋\f(1,b))≤eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2)≤ eq \r(\f(a2＋b2,2))
(当且仅当a＝b时，等号成立)．

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