2023版新教材高中数学第二章平面解析几何2.3圆及其方程2.3.3直线与圆的位置关系课时作业新人教B版选择性必修第一册

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2．3.3 直线与圆的位置关系 1．直线y＝x＋1与圆x2＋y2＝1的位置关系为( ) A．相切 B．相交但直线不过圆心 C．直线过圆心 D．相离 2．(多选)已知圆M：x2＋y2＋4x＋2y－4＝0，直线l：x－y＋2＝0，则( ) A．圆心M的坐标为(2，1) B．圆M的半径为3 C．直线l与圆M相交 D．圆M上的点到直线l的距离的最大值为3＋ 3．在圆M：x2＋y2－4x＋2y－4＝0内，已知过点O(0，0)的最长弦和最短弦分别是AC和BD，则四边形ABCD的面积为( ) A．6 B．8 C．10 D．12 4．若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是( ) A．[－3，－1] B．[－1，3] C．[－3，1] D．(－∞，－3]∪[－1，＋∞) 5．过点(3，2)作圆(x－1)2＋y2＝r2的切线有且只有一条，则该切线的方程是____________(用一般式表示). 6．已知圆O：x2＋y2＝1和点M(－4，－1). (1)过点M向圆O引切线，求切线的方程； (2)求以点M为圆心，且被直线x－2y＋12＝0截得的弦长为8的圆M的方程． 7．已知直线l：3x＋y－6＝0和圆C：x2＋y2－2y－4＝0交于A，B两点，则弦AB所对的圆心角的大小为( ) A． B． C． D． 8．已知直线l：x＋y－4＝0上动点P，过点P向圆x2＋y2＝1引切线，则切线长的最小值是( ) A． B． C．2－1 D．2 9．(多选)已知直线l：(m＋1)x＋(m－1)y－2m＝0(m∈R)，圆O：x2＋y2＝1，则( ) A．直线l恒过定点(1，1) B．当直线l与圆O相切时，m＝1 C．当m＝时，直线l被圆O截得的弦长为 D．当m＝2时，直线l上存在点C，使得以C为圆心，1为半径的圆与圆O相交 10．已知圆C经过点A(－1，0)和B(5，0)，且圆心在直线x＋2y－2＝0上． (1)求圆C的标准方程； (2)直线l过点D(－1，1)，且与圆C相切，求直线l的方程； (3)设直线l′：x＋y－1＝0与圆C相交于M，N两点，点P为圆C上的一动点，求△PMN的面积的最大值． 11．已知以点A(－1，2)为圆心的圆与直线l：x＋2y＋7＝0相切．过点B(－2，0)的直线l′与圆A相交于M，N两点． (1)求圆A的标准方程； (2)当|MN|＝2时，求直线l′的方程． 12.已知圆C：x2＋y2－8y＋12＝0，直线l：ax＋2y＋2a＝0. (1)当直线l与圆C相交，求a的取值范围； (2)当直线l与圆C相交于A，B两点，且|AB|＝2时，求直线l的方程； (3)已知点P(2，0)，过点P作圆C的切线，求出切线方程． 13．若实数x，y满足条件x2＋y2＝1，则的范围是________． 14．已知圆M的方程为x2＋(y－3)2＝1，直线l的方程为x－2y＝0，点P在直线l上，过点P作圆M的切线PA，PB，切点为A，B.四边形PAMB面积的最小值为________． 15．已知圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝16与直线l：(2＋k)x＋(1－2k)y＋9k－12＝0. (1)证明：直线l和圆C恒有两个交点； (2)若直线l和圆C交于A，B两点，求|AB|的最小值及此时直线l的方程． 2．3.3　直线与圆的位置关系 必备知识基础练 1．答案：B 解析：由圆的方程得圆心坐标为(0，0)，半径r＝1，则圆心(0，0)到直线y＝x＋1的距离d＝eq \f(|1|,\r(12＋（－1）2))＝eq \f(\r(2),2)0)， 由已知得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（－1－a）2＋b2＝r2，,（5－a）2＋b2＝r2，,a＋2b－2＝0，)) 解得a＝2，b＝0，r＝3， 所以圆C的标准方程为(x－2)2＋y2＝9. (2)当直线l的斜率存在时， 设直线l：y－1＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋1＝0， 因为直线l与圆C相切，所以圆心C(2，0)到直线l的距离等于半径的长． 即eq \f(|2k－0＋k＋1|,\r(1＋k2))＝3， 解得k＝eq \f(4,3)，此时直线l：4x－3y＋7＝0； 当直线l的斜率不存在时，直线l：x＝－1显然与圆C相切． 综上，直线l的方程为x＝－1或4x－3y＋7＝0. (3)圆心到直线l′的距离d＝eq \f(|2＋0－1|,\r(1＋3))＝eq \f(1,2)， 所以|MN|＝2eq \r(32－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(2))＝eq \r(35)， 则点P到直线l′的距离的最大值为r＋d＝eq \f(7,2)， 所以△PMN的面积的最大值为eq \f(1,2)×eq \r(35)×eq \f(7,2)＝eq \f(7\r(35),4). 11．解析：(1)设圆A的半径为r，由题意知， 圆心到直线l的距离为d＝eq \f(|－1＋4＋7|,\r(12＋22))＝2eq \r(5)，即r＝2eq \r(5)， 所以圆A的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝20. (2)当直线l′与x轴垂直时，直线方程为x＝－2，即x＋2＝0，点A到直线的距离为1，此时|MN|＝2eq \r(20－1)＝2eq \r(19)，符合题意； 当直线l′与x轴不垂直时，设l′：y＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＝0， 取MN的中点Q，连接AQ，则AQ⊥MN， 因为|MN|＝2eq \r(19)，所以|AQ|＝eq \r(20－19)＝1， 又点A到直线l′的距离为|AQ|＝eq \f(|k－2|,\r(k2＋1))， 所以eq \f(|k－2|,\r(k2＋1))＝1，解得k＝eq \f(3,4)，所以直线l′的方程为3x－4y＋6＝0. 综上，直线l′的方程为x＝－2或3x－4y＋6＝0. 12．解析：(1)圆C方程可化为x2＋(y－4)2＝4，得圆心(0，4)，半径为2， 当直线l与圆C相交时，由题意得d＝eq \f(|8＋2a|,\r(a2＋4))<2，解得a<－eq \f(3,2)，则a的取值范围是(－∞，－eq \f(3,2)). (2)由题意得d＝eq \r(4－2)＝eq \r(2)＝eq \f(|8＋2a|,\r(a2＋4))，解得a＝－2或a＝－14，所以直线l的方程为x－y＋2＝0或7x－y＋14＝0. (3)当过点P(2，0)直线斜率不存在时，直线方程为x＝2，满足与圆C相切， 当直线斜率存在时，设方程为y＝k(x－2)，得kx－y－2k＝0， 由d＝eq \f(|－4－2k|,\r(k2＋1))＝2，解得k＝－eq \f(3,4)，直线方程为3x＋4y－6＝0， 综上，切线方程为x＝2或3x＋4y－6＝0. 核心素养升级练 13．答案：(－∞，－eq \f(3,4)] 解析：eq \f(y－2,x＋1)的几何意义即圆上的点(x，y)到定点(－1，2)的斜率，由图知斜率的范围处在圆的两条切线斜率之间，其中AC斜率不存在，设AB的斜率为k， 则AB的方程为y＝k(x＋1)＋2＝kx＋k＋2， ∴eq \f(|k＋2|,\r(1＋k2))＝1，解得k＝－eq \f(3,4)， 故eq \f(y－2,x＋1)的范围是(－∞，－eq \f(3,4)]. 14．答案：eq \f(\r(155),5) 解析：如图，四边形PAMB的面积S＝2×eq \f(1,2)×|MA|×|PA|＝eq \r(|PM|2－1)， 所以当|PM|最小时，四边形PAMB的面积S最小， 又|PM|的最小值是圆心M(0，3)到直线l：x－2y＝0的距离， 即|PM|min＝eq \f(|0－6|,\r(12＋（－2）2))＝eq \f(6\r(5),5)，所以四边形PAMB的面积最小值是eq \f(\r(155),5). 15．解析：(1)证明：直线(2＋k)x＋(1－2k)y＋9k－12＝0， 即k(x－2y＋9)＋(2x＋y－12)＝0， 联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－2y＋9＝0,2x＋y－12＝0))，解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝3,y＝6))，所以不论k取何值，直线l必过定点P(3，6)， 圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝16，圆心坐标为C(2，3)，半径r＝4， 因为|PC|＝eq \r(（3－2）2＋（6－3）2)＝eq \r(10)<4，所以点P在圆C内部， 则直线l与圆C恒有两个交点． (2)直线l经过圆C内定点P(3，6)，圆心C(2，3)， 当直线l⊥CP时，被圆C截得的弦AB最短， 此时|AB|＝2eq \r(42－|PC|2)＝2eq \r(42－（\r(10)）2)＝2eq \r(6)， 因为kCP＝eq \f(6－3,3－2)＝3，所以直线l的斜率为－eq \f(1,3)，又直线l过点P(3，6)， 所以当|AB|取得最小值时，直线l的方程为y－6＝－eq \f(1,3)(x－3)，即x＋3y－21＝0， 综上：|AB|最小值为2eq \r(6)，此时直线l的方程为x＋3y－21＝0.