2023版新教材高中数学第二章平面解析几何2.6双曲线及其方程2.6.1双曲线的标准方程课时作业新人教B版选择性必修第一册

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2．6.1　双曲线的标准方程　 1．已知定点F1(－3，4)，F2(5，4)，动点M满足|MF1|－|MF2|＝2a，当a＝3和a＝4时，点M的轨迹为(　　) A．双曲线和一条直线 B．双曲线的一支和一条直线 C．双曲线和一条射线 D．双曲线的一支和一条射线 2．已知双曲线C： eq \f(x2,16)－ eq \f(y2,9)＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P为双曲线上一点，若|PF1|＝10，则|PF2|＝(　　) A．16　　 B．18　 C．4或16 D．2或18 3．与椭圆C： eq \f(y2,16)＋ eq \f(x2,12)＝1共焦点且过点P(1， eq \r(3))的双曲线的标准方程为(　　) A．x2－ eq \f(y2,3)＝1 B．y2－2x2＝1 C． eq \f(y2,2)－ eq \f(x2,2)＝1 D． eq \f(y2,3)－x2＝1 4．中心在原点，实轴在x轴上，一个焦点在直线3x－4y＋12＝0上的等轴双曲线方程是(　　) A．x2－y2＝8 B．x2－y2＝4 C．y2－x2＝8 D．y2－x2＝4 5．已知圆x2＋y2－4x－9＝0与y轴的两个交点A，B都在某双曲线上，且A，B两点恰好将此双曲线的焦距三等分，则此双曲线的标准方程为(　　) A． eq \f(y2,9)－ eq \f(x2,36)＝1 B． eq \f(y2,9)－ eq \f(x2,72)＝1 C． eq \f(y2,36)－ eq \f(x2,9)＝1 D． eq \f(y2,72)－ eq \f(x2,9)＝1 6．已知F1，F2是双曲线C： eq \f(x2,a2)－ eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的两个焦点，P为双曲线C上的一点，且PF1⊥PF2．若△PF1F2的面积为9，则b＝________．　 7．(多选)若θ为任意实数，则方程x2＋y2cos θ＝3表示的曲线可能是(　　) A．圆 B．线段 C．椭圆 D．双曲线 8．若方程 eq \f(x2,t－3)＋ eq \f(y2,5－t)＝1表示的是双曲线，则t的取值范围是(　　) A．(3，4)∪(4，5) B．(3，5) C．(－∞，3)∪(5，＋∞) D．(－∞，－3)∪(5，＋∞) 9．已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则|PF1|·|PF2|＝(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 10．(多选)若双曲线y2－5x2＝－m的焦距等于12，则实数m的值可以为(　　) A．30 B．－30 C．120 D．－120 11．过双曲线 eq \f(x2,4)－ eq \f(y2,3)＝1的左焦点F1的直线交双曲线的左支于M，N两点，F2为双曲线的右焦点，则|MF2|＋|NF2|－|MN|的值为________． 12．如图所示，已知定圆F1：x2＋y2＋10x＋24＝0，定圆F2：x2＋y2－10x＋9＝0，动圆M与定圆F1，F2都外切，求动圆圆心M的轨迹方程． 13．已知F是双曲线C： eq \f(x2,9)－ eq \f(y2,7)＝1的右焦点，P为C右支上一点，A(4，1)，则|PA|＋|PF|的最小值为(　　) A． eq \r(65)－3 B． eq \r(65)－6 C． eq \r(65)＋6 D．2 14．在平面直角坐标系xOy中，已知圆A：(x＋6)2＋y2＝4，点B(6，0)，点P在圆A上运动，设线段PB的垂直平分线和直线PA的交点为Q，则点Q的轨迹方程为(　　) A．x2－ eq \f(y2,35)＝1 B．x2－ eq \f(y2,37)＝1 C． eq \f(x2,37)＋y2＝1 D． eq \f(x2,35)＋y2＝1 2．6.1　双曲线的标准方程 必备知识基础练 1．答案：D 解析：由已知，得|F1F2|＝eq \r(（－3－5）2＋（4－4）2)＝8. 当a＝3时，|MF1|－|MF2|＝6<|F1F2|， 故点M的轨迹是双曲线的一支；当a＝4时，|MF1|－|MF2|＝8＝|F1F2|，故点M的轨迹是一条射线．D正确．故选D. 2．答案：D 解析：由双曲线C：eq \f(x2,16)－eq \f(y2,9)＝1，可知a＝4，b＝3，c＝5， 因为|PF1|＝10>a＋c＝9，所以当点P在该双曲线左支上时，|PF2|＝2a＋|PF1|＝2×4＋10＝18. 当点P在该双曲线右支上时， |PF2|＝|PF1|－2a＝10－2×4＝2.故选D. 3．答案：C 解析：椭圆C的焦点坐标为(0，±2)，设双曲线的标准方程为eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)，双曲线的焦点是F1(0，2)，F2(0，－2)， 由双曲线的定义可得 2a＝||PF2|－|PF1|| ＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(　\r(12＋（\r(3)＋2）2)－\r(12＋（\r(3)－2）2))) ＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(（\r(6)＋\r(2)）－（\r(6)－\r(2)）))＝2eq \r(2)， 所以a＝eq \r(2)，因为c＝2，所以b＝eq \r(c2－a2)＝eq \r(2)， 因此，双曲线的标准方程为eq \f(y2,2)－eq \f(x2,2)＝1.故选C. 4．答案：A 解析：在直线3x－4y＋12＝0中，令y＝0，得x＝－4， ∴等轴双曲线的一个焦点坐标为(－4，0)， ∴c＝4，∴a2＝eq \f(1,2)c2＝eq \f(1,2)×16＝8， ∴所求双曲线方程为x2－y2＝8.故选A. 5．答案：B 解析：在x2＋y2－4x－9＝0中，令x＝0，得y＝±3， 不妨设A(0，－3)，B(0，3)，双曲线的标准方程为eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)，则eq \f(9,a2)＝1. 又A，B两点恰好将此双曲线的焦距三等分，可得：双曲线的焦点为(0，－9)，(0，9).所以a2＋b2＝81. 综上，a2＝9，b2＝72，此双曲线的标准方程为eq \f(y2,9)－eq \f(x2,72)＝1. 故选B. 6．答案：3 解析：由题意知||PF1|－|PF2||＝2a， ∴(|PF1|－|PF2|)2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝4a2， ∵PF1⊥PF2， ∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4c2， ∴4c2－2|PF1|·|PF2|＝4a2， ∵△PF1F2的面积为9，PF1⊥PF2， ∴|PF1|·|PF2|＝2×9＝18， ∴4c2－2×18＝4a2， ∴b2＝c2－a2＝9， ∴b＝3. 关键能力综合练 7．答案：ACD 解析：当cosθ＝1时，由x2＋y2cosθ＝3，得x2＋y2＝3，方程表示圆，故A正确；当cosθ＝－1时，由x2＋y2cosθ＝3，得eq \f(x2,3)－eq \f(y2,3)＝1，方程表示双曲线，故D正确；当cosθ＝eq \f(1,2)时，由x2＋y2cosθ＝3，得eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,6)＝1，方程表示焦点在y轴上的椭圆，故C正确；当cosθ＝0时，x2＝3，得x＝±eq \r(3)，表示垂直于x轴的直线，故B不正确．故选ACD. 8．答案：C 解析：因为方程eq \f(x2,t－3)＋eq \f(y2,5－t)＝1表示的是双曲线， 所以(t－3)(5－t)<0，解得t∈(－∞，3)∪(5，＋∞).故选C. 9．答案：B 解析：在双曲线C：x2－y2＝1中，a＝1，b＝1，c＝eq \r(2)，因为点P在C上，则||PF1|－|PF2||＝2a＝2，|F1F2|＝2eq \r(2)， 又∠F1PF2＝60°，在△F1PF2中， 由余弦定理得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos∠F1PF2，于是得8＝(|PF1|－|PF2|)2＋2|PF1|·|PF2|(1－cos60°)＝4＋|PF1|·|PF2|， 解得|PF1|·|PF2|＝4.故选B. 10．答案：AB 解析：当m>0时，方程化为eq \f(x2,\f(m,5))－eq \f(y2,m)＝1， 焦点在x轴上，a2＝eq \f(m,5)，b2＝m， 所以eq \f(m,5)＋m＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(12,2)))eq \s\up12(2)，解得m＝30； 当m<0时，方程化为eq \f(y2,－m)－eq \f(x2,－\f(m,5))＝1， 焦点在y轴上，a2＝－m，b2＝－eq \f(m,5)， 所以－eq \f(m,5)－m＝(eq \f(12,2))2，解得m＝－30， 综上，m＝±30.故选AB. 11．答案：8 解析：因为M，N两点在双曲线的左支上， 所以由双曲线的定义得|MF2|－|MF1|＝2a＝4， |NF2|－|NF1|＝2a＝4， 所以|MF2|－|MF1|＋|NF2|－|NF1|＝4a＝8， 又|MF1|＋|NF1|＝|MN|， 所以|MF2|＋|NF2|－|MN|＝8. 12．解析：圆F1：(x＋5)2＋y2＝1， 所以圆心F1(－5，0)，半径r1＝1. 圆F2：(x－5)2＋y2＝16， 所以圆心F2(5，0)，半径r2＝4. 设动圆M的半径为R， 则有|MF1|＝R＋1，|MF2|＝R＋4， 所以|MF2|－|MF1|＝3.|MF2|－|MF1|<|F1F2|， 所以M点的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线(左支)，且a＝eq \f(3,2)，c＝5，所以b2＝eq \f(91,4)， 所以动圆圆心M的轨迹方程为eq \f(4,9)x2－eq \f(4,91)y2＝1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x≤－\f(3,2))). 核心素养升级练 13．答案：B 解析：记双曲线C的左焦点为F′，则F′(－4，0)， 因为P为C右支上一点，由双曲线的定义可得， |PF′|－|PF|＝2a＝6， 所以|PA|＋|PF|＝|PA|＋|PF′|－6≥|AF′|－6＝eq \r(（4＋4）2＋1)－6＝eq \r(65)－6， 当且仅当F′，P，A三点共线时，取得最小值．故选B. 14．答案：A 解析：圆A的圆心为A(－6，0)，半径为r＝2，由中垂线的性质可得|PQ|＝|BQ|， 当点P在圆A的右半圆上时，|QA|－|QB|＝|PA|＋|PQ|－|QB|＝|PA|＝2<|AB|＝12， 当点P在圆A的左半圆上时， |QB|－|QA|＝|QP|－|QA|＝|QA|＋|PA|－|QA|＝|PA|＝2<|AB|＝12， 所以点Q的轨迹是以A，B为焦点的双曲线，且2a＝2，2c＝12， 所以a＝1，c＝6，∴b＝eq \r(c2－a2)＝eq \r(35)， 因此点Q的轨迹方程为x2－eq \f(y2,35)＝1. 故选A.