2023版新教材高中数学第二章平面解析几何2.5椭圆及其方程2.5.2椭圆的几何性质课时作业新人教B版选择性必修第一册

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2．5.2 椭圆的几何性质 1．下列与椭圆C：＋＝1焦点相同的椭圆是( ) A．＋＝1 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋＝1 2．以椭圆＋＝1的两个焦点及短轴的两个端点为四个顶点的椭圆方程是( ) A．＋＝1 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋＝1 3．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交C于A，B两点，若△AF1B的周长为4，则C的方程为( ) A．＋＝1 B．＋y2＝1 C．＋＝1 D．＋＝1 4．若椭圆＋y2＝1(a>1)的离心率为，则该椭圆的长轴长为( ) A． B． C． D．或 5．椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则实数m的值为( ) A．2 B． C．4 D． 6．(1)求与椭圆＋＝1有相同的焦点，且离心率为的椭圆的标准方程； (2)已知椭圆的两个焦点间的距离为8，两个顶点的坐标分别是(－6，0)，(6，0)，求焦点在x轴上的椭圆的标准方程． 7．(多选)若椭圆的对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形，焦点到椭圆上点的最短距离为，则这个椭圆的方程可能为( ) A．＋＝1 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋＝1 8．已知椭圆C：＋y2＝1的一个焦点为(1，0)，则椭圆C的离心率为( ) A． B． C． D． 9．(多选)已知椭圆＋＝1的焦距为2，则m＝( ) A．4 B．5 C．7 D．8 10．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左顶点为A，上顶点为B，右焦点为F，若∠ABF＝90°，则椭圆C的离心率为( ) A． B． C． D． 11．已知F1，F2是椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，椭圆上一点M满足∠F1MF2＝120°，则该椭圆离心率取值范围是( ) A．(0，) B．[，1) C．(0，] D．[，1) 12．已知A(2，0)，M是椭圆C：＋y2＝1(其中a>1)的右焦点，P是椭圆C上的动点． (1)若M与A重合，求椭圆C的离心率； (2)若a＝3，求|PA|的最大值与最小值． 13．已知F是椭圆5x2＋9y2＝45的左焦点，P是此椭圆上的动点，A(1，1)是一定点．则|PA|＋|PF|的最大值为________，最小值为________． 14．已知点A，B分别是椭圆＋＝1的左、右顶点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且位于x轴上方，PA⊥PF. (1)求点P的坐标； (2)设M是椭圆长轴AB上的一点，且M到直线AP的距离等于|MB|，求椭圆上的点到点M的距离d的最小值． 2．5.2　椭圆的几何性质 必备知识基础练 1．答案：D 解析：由题意得，椭圆C中a2＝9，b2＝5，c2＝a2－b2＝4即焦点坐标为(2，0)和(－2，0)； 对于A选项，椭圆焦点在y轴上，不满足题意； 对于B选项，椭圆焦点在x轴上，a2＝10，b2＝5，c2＝a2－b2＝5，不满足题意； 对于C选项，椭圆焦点在x轴上，a2＝9，b2＝4，c2＝a2－b2＝5不满足题意； 对于D选项，椭圆焦点在x轴上，a2＝10，b2＝6，c2＝a2－b2＝4，满足题意．故选D. 2．答案：B 解析：椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1的两个焦点F1(－3，0)，F2(3，0)，短轴的两个端点B1(0，－4)，B2(0，4)， 则以点F1(－3，0)，F2(3，0)及B1(0，－4)，B2(0，4)为四个顶点的椭圆长轴长2a＝|B1B2|＝8，短轴长2b＝|F1F2|＝6， 其焦点在y轴上，中心在原点，方程为eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,16)＝1， 所以所求的椭圆方程是eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,16)＝1.故选B. 3．答案：B 解析：由题设，|AF2|＋|AF1|＝|BF2|＋|BF1|＝2a，且|AB|＝|AF2|＋|BF2|， 所以△AF1B的周长为|AF2|＋|AF1|＋|BF2|＋|BF1|＝4a＝4eq \r(3)，即a＝eq \r(3)， 又e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(6),3)，可得c＝eq \r(2)，则b2＝a2－c2＝1， 综上，C的方程为eq \f(x2,3)＋y2＝1.故选B. 4．答案：A 解析：由题意可得e＝eq \f(\r(a2－1),a)＝eq \f(1,2)，解得a＝eq \f(2\r(3),3)，则椭圆的长轴长为eq \f(4\r(3),3).故选A. 5．答案：D 解析：因为x2＋my2＝1，所以x2＋eq \f(y2,\f(1,m))＝1，所以a2＝eq \f(1,m)，b2＝1，所以a＝eq \r(\f(1,m))，b＝1，又长轴长是短轴长的两倍，所以eq \r(\f(1,m))＝2，所以m＝eq \f(1,4).故选D. 6．解析：(1)因为c＝eq \r(9－4)＝eq \r(5)， 所以所求椭圆的焦点为(－eq \r(5)，0)，(eq \r(5)，0). 设所求椭圆的方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0). 因为e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(5),5)，c＝eq \r(5)， 所以a＝5，b2＝a2－c2＝20， 所以所求椭圆的标准方程为eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,20)＝1. (2)因为椭圆的焦点在x轴上， 所以设它的标准方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)， 因为2c＝8，所以c＝4，又a＝6，所以b2＝a2－c2＝20.所以椭圆的标准方程为eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,20)＝1. 关键能力综合练 7．答案：AB 解析：设短轴的一个端点为P，焦点分别为F1，F2，因为△PF1F2为正三角形， 所以|OP|＝eq \f(\r(3),2)|F1F2|，可得b＝eq \r(3)c，即eq \r(a2－c2)＝eq \r(3)c.　① 又因为椭圆的焦点到椭圆上点的最短距离为eq \r(3)， 所以a－c＝eq \r(3)，　② 联立①②，可得a＝2eq \r(3)，c＝eq \r(3)，b＝eq \r(a2－c2)＝3. 因此a2＝12且b2＝9， 可得椭圆的标准方程为eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,9)＝1或eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,12)＝1.故选AB. 8．答案：D 解析：由已知可得b2＝1，c＝1， 则a2＝b2＋c2＝2， 所以a＝eq \r(2)， 则离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(1,\r(2))＝eq \f(\r(2),2).故选D. 9．答案：BC 解析：当椭圆eq \f(x2,10－m)＋eq \f(y2,m－2)＝1的长轴在y轴上时，得a2＝m－2，b2＝10－m，则c2＝a2－b2＝2m－12.又其焦距为2eq \r(2)，即2c＝2eq \r(2)，解得c＝eq \r(2)， 所以2m－12＝2，解得m＝7. 当长轴在x轴上时，得10－m－m＋2＝2，m＝5.故选BC. 10．答案：A 解析：根据题意，A(－a，0)，B(0，b)，F(c，0)， 因为∠ABF＝90°， 所以kAB·kBF＝－1，即eq \f(b－0,0－（－a）)·eq \f(b－0,0－c)＝－1， 所以eq \f(b2,ac)＝1，即b2＝ac. 又因为b2＝a2－c2，所以c2－a2＋ac＝0， 同除以a2得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)))eq \s\up12(2)＋eq \f(c,a)－1＝0， 即e2＋e－1＝0， 所以e＝－eq \f(\r(5)＋1,2)(舍)或e＝eq \f(\r(5)－1,2).故选A. 11．答案：D 解析：如图根据椭圆的性质可知，∠F1MF2当点M在短轴顶点(不妨设上顶点A)时最大， 要使椭圆上存在点M，满足∠F1MF2＝120°， 则∠F1AF2≥120°，∠F1AO≥60°，sin∠F1AO＝eq \f(c,a)≥eq \f(\r(3),2)， 即e≥eq \f(\r(3),2)，又00)， 则eq \o(AP,\s\up6(→))＝(x＋6，y)，eq \o(FP,\s\up6(→))＝(x－4，y). 由已知得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x2,36)＋\f(y2,20)＝1，,（x＋6）（x－4）＋y2＝0，)) 则2x2＋9x－18＝0， 解得x＝eq \f(3,2)或x＝－6. 由于y>0，所以只能取x＝eq \f(3,2)，于是y＝eq \f(5\r(3),2). 所以点P的坐标是(eq \f(3,2)，eq \f(5\r(3),2)). (2)易得直线AP的方程是x－eq \r(3)y＋6＝0. 设点M的坐标是(m，0)， 则点M到直线AP的距离是eq \f(|m＋6|,2)， 又B(6，0)，于是eq \f(|m＋6|,2)＝|m－6|， 又－6≤m≤6， 解得m＝2， 设椭圆上的点(x，y)到点M的距离为d， 有d2＝(x－2)2＋y2 ＝x2－4x＋4＋20－eq \f(5,9)x2 ＝eq \f(4,9)(x－eq \f(9,2))2＋15， 由于－6≤x≤6， 所以当x＝eq \f(9,2)时，d取最小值，为eq \r(15).