高中数学人教B版 (2019)必修 第一册第二章 等式与不等式本章综合与测试当堂达标检测题

这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第一册第二章 等式与不等式本章综合与测试当堂达标检测题，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

(满分：150分 时间：120分钟)


一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)


1．设a＞1＞b＞－1，则下列不等式中恒成立的是( )


A.eq \f(1,a)＜eq \f(1,b) B.eq \f(1,a)＞eq \f(1,b)


C．a＞b2 D．a2＞2b


C [取a＝2，b＝－eq \f(1,2)，满足a＞1＞b＞－1，但eq \f(1,a)＞eq \f(1,b)，故A错；取a＝2，b＝eq \f(1,3)，满足a＞1＞b＞－1，但eq \f(1,a)＜eq \f(1,b)，故B错；取a＝eq \f(5,4)，b＝eq \f(5,6)，满足a＞1＞b＞－1，但a2＜2b，故D错，只有C正确．]


2.已知a＜0，b＜－1，则下列不等式成立的是( )


A．a＞eq \f(a,b)＞eq \f(a,b2) B.eq \f(a,b2)＞eq \f(a,b)＞a


C.eq \f(a,b)＞eq \f(a,b2)＞a D.eq \f(a,b)＞a＞eq \f(a,b2)


C [∵a＜0，b＜－1，∴eq \f(a,b)＞0，b2＞1，∴eq \f(1,b2)＜1.


又∵a＜0，∴0＞eq \f(a,b2)＞a，∴eq \f(a,b)＞eq \f(a,b2)＞a.


故选C.]


3．不等式－x2－x＋2≥0的解集为( )


A．{x|x≤－2或x≥1} B．{x|－2＜x＜1}


C．{x|－2≤x≤1} D．∅


C [不等式－x2－x＋2≥0可化为x2＋x－2≤0，即(x＋2)(x－1)≤0，所以－2≤x≤1，即解集为{x|－2≤x≤1}．]


4.已知集合M＝{x|0≤x＜2}，N＝{x|x2－2x－3＜0}，则M∩N＝( )


A．{x|0≤x＜1} B．{x|0≤x＜2}


C．{x|0≤x≤1} D．{x|0≤x≤2}


B [由于N＝{x|x2－2x－3＜0}＝{x|－1＜x＜3}，又因为M＝{x|0≤x＜2}，所以M∩N＝{x|0≤x＜2}．]


5．下列方程，适合用因式分解法解的是( )


A．x2－4eq \r(2)x＋1＝0 B．2x2＝x－3


C．(x－2)2＝3x－6 D．x2－10x－9＝0


C [C中方程化简后可以用因式分解法求解．]


6．求方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(11x＋3z＝9，,3x＋2y＋z＝8，,2x－6y＋4z＝5))的解集时，最简便的方法是( )


A．先消x得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(22y＋2z＝61，,66y－38z＝－37))


B．先消z得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x－6y＝－15，,38x＋18y＝21))


C．先消y得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(11x＋7z＝29，,11x＋3z＝9))


D．得8x－2y＋4z＝11，再解


C [第一个方程中没有y，所以消去y最简便．]


7．若不等式4x2＋(m－1)x＋1＞0的解集为R，则实数m的取值范围是( )


A．m＞5或m＜－3 B．m≥5或m≤－3


C．－3≤m≤5 D．－3＜m＜5


D [依题意有(m－1)2－16＜0，所以m2－2m－15＜0，解得－3＜m＜5.]


8．已知关于x的方程x2－6x＋k＝0的两根分别是x1，x2，且满足eq \f(1,x1)＋eq \f(1,x2)＝3，则k的值是( )


A．1 B．2 C．3 D．4


B [∵x2－6x＋k＝0的两根分别为x1，x2，∴x1＋x2＝6，x1x2＝k，∴eq \f(1,x1)＋eq \f(1,x2)＝eq \f(x1＋x2,x1x2)＝eq \f(6,k)＝3，解得k＝2.


经检验，k＝2满足题意．]


9．某种产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y＝3 000＋20x－0.1x2(0＜x＜240)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时的最低产量是( )


A．200台 B．150台


C．100台 D．50台


B [要使生产者不亏本，则应满足25x≥3 000＋20x－0.1x2，整理得x2＋50x－30 000≥0，解得x≥150或x≤－200(舍去)，故最低产量是150台．]


10．设0＜a＜b，则下列不等式中正确的是( )


A．a＜b＜eq \r(ab)＜eq \f(a＋b,2)


B．a＜eq \r(ab)＜eq \f(a＋b,2)＜b


C．a＜eq \r(ab)＜b＜eq \f(a＋b,2)


D．a＜b＜eq \f(a＋b,2)＜eq \r(ab)


B [因为0＜a＜b，所以由均值不等式可得eq \r(ab)＜eq \f(a＋b,2)，且eq \f(a＋b,2)＜eq \f(b＋b,2)＝b，又a＝eq \r(a·a)＜eq \r(a·b)，所以a＜eq \r(ab)＜eq \f(a＋b,2)＜b.]


11．若a，b，c∈R，且ab＋bc＋ca＝1，则下列不等式成立的是( )


A．a2＋b2＋c2≥2 B．a＋b＋c≤eq \r(3)


C.eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＋eq \f(1,c)≤2eq \r(3) D．(a＋b＋c)2≥3


D [由均值不等式知a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，a2＋c2≥2ac，于是a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca＝1，故A错；而(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3(ab＋bc＋ca)＝3，故D项正确，B项错误；令a＝b＝c＝eq \f(\r(3),3)，则ab＋bc＋ca＝1，但eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＋eq \f(1,c)＝3eq \r(3)＞2eq \r(3)，故C项错误．]


12．若x＞1，则4x＋1＋eq \f(1,x－1)的最小值等于( )


A．6 B．9 C．4 D．1


B [由x＞1，得x－1＞0，于是4x＋1＋eq \f(1,x－1)＝4(x－1)＋eq \f(1,x－1)＋5≥2eq \r(4)＋5＝9，当且仅当4(x－1)＝eq \f(1,x－1)，即x＝eq \f(3,2)时，等号成立．]


二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)


13．若{(x，y)|(2,1)}是关于x，y的方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ax＋by＝2，,bx＋ay＝7))的解集，则(a＋b)(a－b)＝________.


－15 [∵{(x，y)|(2,1)}是关于x，y的方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ax＋by＝2，,bx＋ay＝7))的解集，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2a＋b＝2，,2b＋a＝7，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－1，,b＝4，))


∴(a＋b)(a－b)＝(－1＋4)×(－1－4)＝－15.]


14．若关于x的不等式ax2－6x＋a2＜0的解集为(－∞，m)∪(1，＋∞)，则m＝________.


－3 [由已知可得a＜0且1和m是方程ax2－6x＋a2＝0的两根，于是a－6＋a2＝0，解得a＝－3，代入得－3x2－6x＋9＝0，所以方程另一根为－3，即m＝－3.]


15．若关于x的不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－1＞a2，,x－4＜2a))的解集不是空集，则实数a的取值范围是________．


(－1,3) [依题意有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＞a2＋1，,x＜2a＋4，))要使不等式组的解集不是空集，应有a2＋1＜4＋2a，即a2－2a－3＜0，解得－1＜a＜3.]


16．若正数a，b满足ab＝a＋b＋3，则ab的取值范围是________．


[9，＋∞) [∵ab＝a＋b＋3≥2eq \r(ab)＋3，


∴ab－2eq \r(ab)－3≥0，即(eq \r(ab)－3)(eq \r(ab)＋1)≥0，


∴eq \r(ab)－3≥0，即eq \r(ab)≥3，∴ab≥9.]


三、解答题(本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)


17．(本小题满分10分)求下列不等式的解集．


(1)－4＜－eq \f(1,2)x2－x－eq \f(3,2)；


(2)(x＋3)2≥(1－2x)2.


[解] (1)原不等式可化为eq \f(1,2)x2＋x＋eq \f(3,2)＜4，


化简，得x2＋2x－5＜0.


因为x2＋2x－5＝x2＋2x＋1－1－5＝(x＋1)2－6，


所以原不等式等价于(x＋1)2＜6，


开平方，得|x＋1|＜eq \r(6)，


解得－eq \r(6)－1＜x＜eq \r(6)－1.


所以原不等式的解集为{x|－eq \r(6)－1＜x＜eq \r(6)－1}．


(2)移项，得(x＋3)2－(1－2x)2≥0，


因式分解，得(3x＋2)(x－4)≤0，


解得－eq \f(2,3)≤x≤4，


所以原不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)≤x≤4)))).


18.(本小题满分12分)若x，y为正实数，且2x＋8y－xy＝0，求x＋y的最小值．


[解] 由2x＋8y－xy＝0，得2x＋8y＝xy，


∴eq \f(2,y)＋eq \f(8,x)＝1.∵x，y为正实数，


∴x＋y＝(x＋y)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8,x)＋\f(2,y)))＝10＋eq \f(8y,x)＋eq \f(2x,y)


＝10＋2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4y,x)＋\f(x,y)))≥10＋2×2×eq \r(\f(4y,x)·\f(x,y))＝18，


当且仅当eq \f(4y,x)＝eq \f(x,y)，即x＝2y时，取等号．


又2x＋8y－xy＝0，∴x＝12，y＝6.


∴当x＝12，y＝6时，x＋y取得最小值18.


19．(本小题满分12分)已知ax2＋2ax＋1≥0恒成立．


(1)求a的取值范围；


(2)解关于x的不等式x2－x－a2＋a<0.


[解] (1)因为ax2＋2ax＋1≥0恒成立．


①当a＝0时，1≥0恒成立；


②当a≠0时，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a>0，,Δ＝4a2－4a≤0，))


解得0

综上，a的取值范围为0≤a≤1.


(2)由x2－x－a2＋a<0得，(x－a)[x－(1－a)]<0.


因为0≤a≤1，


所以①当1－a>a，


即0≤a

a

②当1－a＝a，即a＝eq \f(1,2)时，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))2<0，不等式无解；


③当1－a

1－a

综上所述，当0≤a

当a＝eq \f(1,2)时，解集为∅；


当eq \f(1,2)

20．(本小题满分12分)已知x1，x2是一元二次方程(a－6)x2＋2ax＋a＝0的两个实数根．


(1)是否存在实数a，使－x1＋x1x2＝4＋x2成立？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由；


(2)求使(x1＋1)(x2＋1)为负整数的实数a的整数值．


[解] (1)Δ＝4a2－4a(a－6)＝24a，∵一元二次方程有两个实数根，∴Δ≥0，即a≥0.


又∵a－6≠0，∴a≠6，∴a≥0且a≠6.


由题可知x1＋x2＝eq \f(2a,6－a)，x1x2＝eq \f(a,a－6).


∵－x1＋x1x2＝4＋x2，即x1x2＝4＋x1＋x2，


∴eq \f(a,a－6)＝4＋eq \f(2a,6－a)，解得a＝24.经检验，符合题意．


∴存在实数a，a的值为24.


(2)(x1＋1)(x2＋1)＝x1＋x2＋x1x2＋1＝eq \f(2a,6－a)＋eq \f(a,a－6)＋1＝eq \f(－6,a－6).∵eq \f(－6,a－6)为负整数，∴整数a的值应取7,8,9,12.


21．(本小题满分12分)已知一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|α＜x＜β}，且0＜α＜β，求不等式cx2＋bx＋a＜0的解集．


[解] 法一：由题意可得a＜0，且α，β为方程ax2＋bx＋c＝0的两根，


∴由根与系数的关系得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(b,a)＝－α＋β＜0，①,\f(c,a)＝αβ＞0，②))


∵a＜0,0＜α＜β，∴由②得c＜0，


则cx2＋bx＋a＜0可化为x2＋eq \f(b,c)x＋eq \f(a,c)＞0.


①÷②，得eq \f(b,c)＝eq \f(－α＋β,αβ)＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,α)＋\f(1,β)))＜0.


由②得eq \f(a,c)＝eq \f(1,αβ)＝eq \f(1,α)·eq \f(1,β)＞0.


∴eq \f(1,α)，eq \f(1,β)为方程x2＋eq \f(b,c)x＋eq \f(a,c)＝0的两根．


又∵0＜α＜β，∴0＜eq \f(1,β)＜eq \f(1,α)，


∴不等式x2＋eq \f(b,c)x＋eq \f(a,c)＞0的解集为xeq \b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＜\f(1,β)))或x＞eq \f(1,α)，即不等式cx2＋bx＋a＜0的解集为xeq \b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＜\f(1,β)))或x＞eq \f(1,α).


法二：由题意知a＜0，


由cx2＋bx＋a＜0，得eq \f(c,a)x2＋eq \f(b,a)x＋1＞0.


将法一中的①②代入，


得αβx2－(α＋β)x＋1＞0，


即(αx－1)(βx－1)＞0.


又∵0＜α＜β，∴0＜eq \f(1,β)＜eq \f(1,α).


∴所求不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＜\f(1,β)或x＞\f(1,α))))).


22．(本小题满分12分)经观测，某公路段在某时段内的车流量y(千辆/小时)与汽车的平均速度v(千米/小时)之间有函数关系：y＝eq \f(920v,v2＋3v＋1 600)(v>0)．


(1)在该时段内，当汽车的平均速度v为多少时车流量y最大？最大车流量为多少？(精确到0.01)


(2)为保证在该时段内车流量至少为10千辆/小时，则汽车的平均速度应控制在什么范围内？


[解] (1)y＝eq \f(920v,v2＋3v＋1 600)＝eq \f(920,v＋\f(1 600,v)＋3)≤


eq \f(920,2\r(v·\f(1 600,v))＋3)＝eq \f(920,83)≈11.08.


当v＝eq \f(1 600,v)，即v＝40千米/小时时，车流量最大，最大值为11.08千辆/小时．


(2)据题意有：eq \f(920v,v2＋3v＋1 600)≥10，


化简得v2－89v＋1 600≤0，


即(v－25)(v－64)≤0，


所以25≤v≤64.


所以汽车的平均速度应控制在25≤v≤64这个范围内．