人教B版（2019）数学必修第一册《第二章 等式与不等式》单元测试2

人教B版（2019）必修第一册《第二章 等式与不等式》单元测试2

一 、单选题（本大题共8小题，共40分）

1.（5分）若不等式的解集为实数集，则实数的取值范围为

A.  B.  C.  D.

2.（5分）若命题“”为假命题，则的取值范围是

A.  B.
C.  D.

3.（5分）已知，且，则

A.  B.
C.  D.

4.（5分）下列个命题，其中正确的命题序号为  
①的最小值是 ②的最小值是 ③的最小值是  ④的最小值是．

A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①③④

5.（5分）已知正数满足，则的取值范围为 
 

A.  B.
C.  D.

6.（5分）不等式的解集为

A.  B.
C.  D.

7.（5分）与直线关于轴对称的直线方程为

A.  B.
C.  D.

8.（5分）不等式的解集是

A. 或 B.
C.  D. 或

二 、多选题（本大题共5小题，共25分）

9.（5分） 已知，，且，则

A. 的最小值为 B.
C.  D.

10.（5分）对于给定的实数，关于的一元二次不等式的解集可能为

A.  B.
C.  D. 或

11.（5分）已知实数，满足，，则

A. 的取值范围为 B. 的取值范围为
C. 的取值范围为 D. 的取值范围为

12.（5分）已知一元二次方程的两个根为，，且，那么满足的的取值有

A.  B.
C.  D.

13.（5分）若，为正数，，则

A.  B.  C.  D.

三 、填空题（本大题共5小题，共25分）

14.（5分）若正实数，满足条件的最小值是 ______ ．

15.（5分）已知，且，则的最小值等于_______________.

16.（5分）在上定义运算，若存在，使不等式成立，则实数的取值范围为______．

17.（5分）设，下列不等式中正确的是___________. 
① 
② 
③ 
④

18.（5分）

四 、解答题（本大题共5小题，共60分）

19.（12分）已知函数

求不等式的解集；

若不等式的解集包含，求的取值范围．

20.（12分）已知函数

若存在实数使函数是奇函数，求的值；

对于中的，若在上恒成立，求实数的取值范围.

21.（12分）求值：  
；  
设，求的值．

22.（12分）已知关于的不等式的解集为 
求，的值； 
解关于的不等式

23.（12分）已知函数 
当时，解不等式； 
当时，若的最小值为，求的值．

答案和解析

1.【答案】D;

【解析】解：时，不等式化为，解集为实数集； 
时，应满足， 
所以， 
解得； 
综上，实数的取值范围是． 
故选：． 
讨论和时，求出不等式的解集为时实数的取值范围． 
该题考查了含有字母系数的不等式恒成立问题，是基础题．
 

2.【答案】C;

【解析】 
此题主要考查命题的否定及真假判断，属于基础题. 
特称命题的否定是全称命题，根据二次函数判别式，求解即可. 
 
解：命题“”为假命题， 
命题“”是真命题， 
所以， 
解得：， 
故选
 

3.【答案】A;

【解析】解：，且， 
， 
解关于的不等式可得或， 
结合选项可得为正确答案． 
故选：． 
由题意和基本不等式可得的不等式，解不等式可得． 
该题考查基本不等式，涉及一元二次不等式的解集，属基础题．
 

4.【答案】B;

【解析】解：①时，，  
当且仅当时，“”成立，  
时，，  
当且仅当时，“”成立，  
故①正确；  
②，  
当且仅当时，“”成立，  
故②正确；  
③当时，的和是负数，  
故③错误；  
④，  
当且仅当时，“”成立，  
故选：． 
根据基本不等式的性质分别对①②③④进行判断即可．  
该题考查了基本不等式的性质的应用，熟练掌握满足基本不等式的条件是解答本题的关键，本题是一道基础题．
 

5.【答案】D;

【解析】 
此题主要考查基本不等式的运用，属中档题．由题意和基本不等式可得的不等式，解不等式可得答案． 
 
解：正数，满足， 
， 
解关于的不等式可得， 
当且仅当即且时取等号． 
故选
 

6.【答案】B;

【解析】解：不等式对应方程为  
，  
解方程得或；  
所以该不等式的解集为． 
故选：． 
根据一元二次不等式对应方程的实数解，直接写出不等式的解集即可． 
该题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题目．
 

7.【答案】A;

【解析】 
此题主要考查与直线关于直线对称的直线方程，属于基础题． 
分别可得与、轴的交点，，进而可得关于轴的对称点，由所求直线过、可得直线方程． 
 解：令，可得，令，可得，  
直线与、轴的交点分别为，，  
所求直线过点，与关于轴的对称点，  
所求直线的方程为，  
化为一般式可得，  
故选 

 

8.【答案】B;

【解析】解：，， 
不等式的解集是， 
故选： 
利用一元二次不等式的解法求解即可． 
此题主要考查了一元二次不等式的解法，属于基础题．
 

9.【答案】ACD;

【解析】【试题解析】 
 
此题主要考查基本不等式及利用基本不等式求最值，属于中档题． 
由条件得，，利用基本不等式即可确定；由得，由此可确定的正误． 
 
解：因为，，且， 
所以， 
于是，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为，故正确； 
由得：，解得：，当且仅当时取等号． 
所以，当且仅当时取等号，故错误； 
，当且仅当时取等号，故正确； 
由得：，当且仅当时取等号，故正确． 
故选
 

10.【答案】ABCD;

【解析】解：根据题意，关于的一元二次不等式，， 
若，不等式的解集为， 
若，不等式为，其解集为， 
若，不等式的解集为， 
若，不等式的解集为或， 
故选： 
根据题意，按的取值分种情况讨论，求出不等式的解集，分析选项可得答案． 
此题主要考查一元二次不等式的解法，涉及参数的讨论，属于基础题．
 

11.【答案】ABD;

【解析】 
此题主要考查不等式的性质，属于中档题. 
根据不等式的性质逐个分析即可. 
解：因为，所以 
因为，所以，则，故正确； 
因为，所以因为， 
所以，所以，所以，故正确；

因为，， 
所以，，则，故错误； 
因为，， 
所以，，则，故正确. 
故答案为：
 

12.【答案】AB;

【解析】 
此题主要考查了一元二次不等式及方程根的关系，属于基础题. 
根据三个二次之间的关系直接求解即可. 
 
解：一元二次方程的两个根为，，且， 
或， 
故选
 

13.【答案】AB;

【解析】 
此题主要考查了基本不等式，考查学生的计算能力，属于基础题. 
直接根据基本不等式即可求解. 
 
解：，当且仅当时取等号 
， 
当且仅当时取得最小值. 
故选 

 

14.【答案】;

【解析】解：正实数，满足条件，，，故 ． 
则，  
故答案为：． 
由题意可得，，故 则． 
此题主要考查基本不等式的应用，得到，是解答该题的关键．
 

15.【答案】;

【解析】 
此题主要考查利用基本不等式求最值，属于基础题． 
由得，再运用基本不等式求解即可. 
 
解：已知，，且， 
则 
，当且仅当时，等号成立， 
故答案为
 

16.【答案】-3＜m＜2;

【解析】解：由题意知，不等式化为，  
即；  
设，，  
则的最大值是；  
令，  
即，  
解得，  
实数的取值范围是． 
故答案为：． 
由题意把不等式化为，分离出和，利用函数的最值求关于的不等式的解集即可． 
该题考查了新定义与不等式和函数的应用问题，是中档题．
 

17.【答案】①④;

【解析】

 
此题主要考查不等式关系与不等式，根据不等式的关系即可比较大小． 
 
， 
，同号， 
①；①正确， 
②；②错误； 
③；③错误； 
④，④正确. 
故答案为①④ 
 
 

 

18.【答案】;

【解析】 
此题主要考查利用基本不等式求最值，利用求出最值，属于基础题. 
 
解：已知，则，函数， 
当且仅，即时等号成立，所以函数的最小值是 
故答案为 

 

19.【答案】解：即，  
所以或或  
解得或或，即或，  
所以原不等式的解集为

，即 
因为不等式的解集包含，  
所以对于恒成立．  
因为， 
所以，，  
所以等价于，即恒成立，  
所以在上恒成立，  
所以，解得， 
即实数的取值范围为;

【解析】此题主要考查不等式和绝对值不等式，考查学生分类讨论思想，属于中档题. 
不等式转化为，去绝对值分类求解即可； 
问题转化为对于恒成立，然后进行求解即可.
 

20.【答案】

解：因为存在实数使函数是奇函数， 
所以，

即，

解得

由条件可得在上恒成立， 
所以在上恒成立，

即在上恒成立， 
即当时，，

设，则，令， 
因为函数在区间上单调递增，

所以所以，

即实数的取值范围为;

【解析】

此题主要考查函数的奇偶性及单调性的应用，考查不等式恒成立问题，属于中档题.

函数是奇函数，所以，即，求出即可.

由条件可得在上恒成立，即当时，， 利用换元法设，则，根据单调性求出的最小值即可.
 

21.【答案】解：（1）原式=；  
（2）由3x=4y=36得x=lo36；y=lo36，  
∴=lo3，=lo4，  
∴=2lo3+lo4=lo36=1;

【解析】 
根据指数幂的运算性质计算即可，  
根据对数的运算性质计算即可．  
该题考查了指数幂的运算性质和对数的运算性质，属于基础题．
 

22.【答案】解：（1）不等式a+5x+c＜0的解集为． 
所以-1和-是对应方程a+5x+c=0的解， 
由根与系数的关系知，， 
解得a=4，c=1． 
（2）不等式a+（ac+b）x+bc≥0化为4+（4+b）x+b≥0， 
即（4x+b）（x+1）≥0， 
所以（x+）（x+1）≥0； 
当=1，即b=4时，不等式化为（x+1）2≥0，解得x∈R； 
当＞1，即b＞4时，解不等式得x≤-或x≥-1； 
当＜1，即b＜4时，解不等式得x≤-1或x≥-； 
综上知，b=4时，不等式的解集为R； 
b＞4时，不等式的解集为（-∞，-]∪[-1，+∞）； 
b＜4时，不等式的解集为（-∞，-1]∪[-，+∞）．;

【解析】 
由不等式的解集求出、的值． 
不等式化为，讨论的取值，求出对应不等式的解集． 
此题主要考查了一元二次不等式的解法与应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．
 

23.【答案】解：（1）当a=2时，f（x）=|x-1|+|2x-2|=3|x-1|． 
∵f（x）≤6，∴3|x-1|≤6，∴-1≤x≤3， 
∴不等式的解集为{x|-1≤x≤3}． 
（2）当a＜2时，f（x）=|x-1|+|2x-a|=， 
∴f（x）在（-∞，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增， 
∴． 
∵f（x）的最小值为2，∴， 
∴a=-2．;

【解析】 
当时，，根据，去绝对值解不等式即可；  
当时，将写成分段函数的形式，判断的单调性后，求出的最小值，再根据的最小值为，得到关于的方程，解方程可得的值． 
该题考查了绝对值不等式的解法和求绝对值不等式的最值，考查了方程思想和计算能力，属基础题．