高中数学人教B版 (2019)必修 第一册第二章 等式与不等式本章综合与测试优质导学案

这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第一册第二章 等式与不等式本章综合与测试优质导学案，共6页。学案主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

(时间：120分钟 满分：150分)


一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)


1．设a，b，c，d∈R，且a＞b，c＞d，则下列结论中正确的是( )


A．ac＞bd B．a－c＞b－d


C．a＋c＞b＋d D．eq \f(a,d)＞eq \f(b,c)


C [因为a＞b，c＞d，所以a＋c＞b＋d.]


2．已知x2－ax－12能分解成两个整数式的一次因式的乘积，则符合条件的整数a的个数是( )


A．3个B．4个


C．6个D．8个


C [∵－12＝－1×12＝1×(－12)＝－2×6＝6×(－2)＝－3×4＝3×(－4)，


显然－a即为分解的两个数的和，即a的值为±11，±4，±1共6个．故选C．]


3．当a>b>c时，下列不等式恒成立的是( )


A．ab>ac B．a|c|>b|c|


C．|ab|<|bc| D．(a－b)|c－b|>0


D [选项A，必须满足a>0，故不恒成立；选项B，|c|＝0时，结论不成立；选项C，b＝0时，结论显然不成立；选项D，因为a>b>c，所以a－b>0.又因为|c－b|>0，所以D正确．]


4．现用甲、乙两种运输车将46吨物资运往灾区，甲种运输车载重5吨，乙种运输车载重4吨，安排车辆不超过10辆，则甲种运输车至少应安排( )


A．4辆B．5辆


C．6辆D．7辆


C [设甲种运输车x辆，由题意，得5x＋4(10－x)≥46，解得x≥6，所以甲种运输车至少应安排6辆．]


5．不等式(x＋5)(3－2x)≥6的解集是( )


A．eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≤－1，或x≥\f(9,2))))) B．eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(－1≤x≤\f(9,2)))))


C．eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≤\f(9,2)，或x≥1)))) D．eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(9,2)≤x≤1))))


D [方法一：取x＝1检验，满足排除A；取x＝4检验，不满足排除B、C．


方法二：原不等式化为：2x2＋7x－9≤0，即(x－1)(2x＋9)≤0，所以－eq \f(9,2)≤x≤1.]


6．已知一元二次方程x2－3x－1＝0的两个根分别是x1，x2，则xeq \\al(2,1)x2＋x1xeq \\al(2,2)的值为( )


A．－3 B． 3


C．－6 D．6


A [方程x2－3x－1＝0的两个根分别是x1，x2，可得x1＋x2＝3，x1·x2＝－1，根据一元二次方程与系数的关系x1＋x2＝－eq \f(b,a)，x1·x2＝eq \f(c,a)，由此代入可得xeq \\al(2,1)x2＋x1xeq \\al(2,2)＝ x1·x2(x1＋x2)＝－1×3＝－3.]


7．若x∈(0,2)，则x(2－x)的最大值是( )


A．2 B．eq \f(3,2)


C．1 D．eq \f(1,2)


C [因为x∈(0,2)，所以2－x>0，x(2－x)≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x＋2－x,2)))2＝1，当且仅当x＝2－x，即x＝1时，等号成立．]


8．下列选项中，使不等式x＜eq \f(1,x)＜x2成立的x的取值范围是( )


A．(－∞，－1) B．(－1,0)


C．(0,1) D．(1，＋∞)[来源:ZXXK]


A [原不等式等价于eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＞0，,x2＜1＜x3，))①或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＜0，,x2＞1＞x3，))②，①无解，解②得x＜－1，故选A．]


9．若对于任意的x>0，不等式eq \f(x,x2＋3x＋1)≤a恒成立，则实数a的取值范围是( )


A．a≥eq \f(1,5) B．a>eq \f(1,5)


C．a

A [由x>0，得eq \f(x,x2＋3x＋1)＝eq \f(1,x＋\f(1,x)＋3)≤eq \f(1,2\r(x·\f(1,x))＋3)＝eq \f(1,5)，当且仅当x＝1时，等号成立．则a≥eq \f(1,5).][来源:学_科_网]


10．已知关于x的不等式x2－4x≥m，对任意x∈(0,1]恒成立，则有( )


A．m≤－3 B．m≥－3


C．－3≤m<0 D．m≥－4


A [令y＝x2－4x＝(x－2)2－4，则在(0,1]上，当x＝1时，y最小值为－3，所以m≤－3.]


11．某金店用一杆不准确的天平(两边臂不等长)称黄金，某顾客要购买10 g黄金，售货员先将5 g的砝码放在左盘，将黄金放于右盘使之平衡后给顾客，然后又将5 g的砝码放入右盘，将另一黄金放于左盘使之平衡后又给顾客，则顾客实际所得黄金( )


A．大于10 g B．小于10 g


C．大于等于10 g D．小于等于10 g


A [设两臂长分别为a，b，两次放入的黄金数是x，y，依题意有ax＝5b，by＝5a，所以xy＝25. 因为eq \f(x＋y,2)≥eq \r(xy)，所以x＋y≥10，又a≠b，所以x≠y. 所以x＋y＞10.即两次所得黄金数大于10克．]


12．设a＞0，b＞0，且不等式eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＋eq \f(k,a＋b)≥0恒成立，则实数k 的最小值等于( )


A．0 B．4


C．－4 D．－2


C [由eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＋eq \f(k,a＋b)≥0，得k≥－eq \f(a＋b2,ab)，而eq \f(a＋b2,ab)＝eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)＋2≥4(a＝b时，等号成立)，所以－eq \f(a＋b2,ab)≤－4，因此要使k≥－eq \f(a＋b2,ab)恒成立，应有k≥－4，即实数k的最小值等于－4.]


二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分. 请把正确答案填在题中横线上)


13．如图，小黄和小陈观察蜗牛爬行，蜗牛在以A为起点沿直线匀速爬向B点的过程中，到达C点时用了6分钟，则还需要______分钟才能到达B点．





4 [设蜗牛还需要x分钟到达B点．则(6＋x)×eq \f(3,6)＝5，解得x＝4.]


14．解不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－2x≤6 ①,x>－2 ②,3x－1

(－2,2) [解不等式①，得x≥－3,


解不等式③，得x＜2.


故不等式组的解集为 (－2,2)．]


15．若正数x、y满足x＋y＝xy，则x＋4y的最小值等于________．


9 [因为x＋y＝xy，所以eq \f(1,x)＋eq \f(1,y)＝1，


x＋4y＝(x＋4y)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)＋\f(1,y)))＝1＋eq \f(x,y)＋eq \f(4y,x)＋4≥5＋2eq \r(4)＝9，


当且仅当eq \f(x,y)＝eq \f(4y,x)时，等号成立．]


16．(2018·浙江卷)我国古代数学著作《张邱建算经》中记载百鸡问题：“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一．凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？”设鸡翁，鸡母，鸡雏个数分别为x，y，z，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y＋z＝100，,5x＋3y＋\f(1,3)z＝100，))


当z＝81时，x＝________，y＝________.


8 11 [方法1：由题意，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y＋81＝100，,5x＋3y＋\f(1,3)×81＝100，))


即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y＝19，,5x＋3y＝73，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝8，,y＝11.))


方法2：100－81＝19(只)，


81÷3＝27(元)，


100－27＝73(元)．


假设剩余的19只鸡全是鸡翁，则5×19＝95(元)．


因为95－73＝22(元)，


所以鸡母：22÷(5－3)＝11(只)，


鸡翁：19－11＝8(只)．]


三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)


17．(10分)解不等式2≤x2－2x<8.


解 原不等式等价于eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－2x－2≥0， ①,x2－2x－8<0， ②))[来源:]


由①得x≤1－eq \r(3)或x≥1＋eq \r(3)，


由②得－2

所以－2

所以不等式的解集为{x|－2

18．(12分) (用分析法证明)已知a>6，求证eq \r(a－3)－eq \r(a－4)

证明 要证eq \r(a－3)－eq \r(a－4)

只需证eq \r(a－3)＋eq \r(a－6)

只需证eq \r(a－3a－6)

只需证(a－3)(a－6)<(a－4)(a－5)，


只需证a2－9a＋18

只需证18<20，显然成立，


所以当a>6时，eq \r(a－3)－eq \r(a－4)

19．(12分)已知正常数a，b和正变数x，y满足a＋b＝10，eq \f(a,x)＋eq \f(b,y)＝1，x＋y的最小值为18，求a，b的值．


解 因为x＋y＝(x＋y)·1＝(x＋y)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,x)＋\f(b,y)))


＝a＋b＋eq \f(ay,x)＋eq \f(bx,y)≥a＋b＋2eq \r(ab)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(a)＋\r(b)))2，


当且仅当eq \f(ay,x)＝eq \f(bx,y)，即eq \f(y,x)＝ eq \r(\f(b,a))时，等号成立，


所以x＋y的最小值为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(a)＋\r(b)))2＝18，


又a＋b＝10，所以ab＝16.


解得a＝2，b＝8或a＝8，b＝2.


20．(12分)解不等式：eq \f(x＋2ax－3a,3a＋1)>0eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a为常数，a≠－\f(1,3))).


解 当a>0时，原不等式等价于(x＋2a)(x－3a)>0，解得x<－2a或x>3a；


当a＝0时，原不等式等价于x2>0，解得x≠0；


当－eq \f(1,3)0，解得x<3a或x>－2a；


当a<－eq \f(1,3)时，原不等式等价于(x＋2a)(x－3a)<0，解得3a

综上所述，当a>0时，原不等式的解集为{x|x<－2a或x>3a}；


当a＝0时，原不等式的解集为{x|x≠0}；


当－eq \f(1,3)－2a}；


当a<－eq \f(1,3)时，原不等式的解集为{x|3a

21．(12分)设a，b均为正实数，求证：eq \f(1,a2)＋eq \f(1,b2)＋ab≥2eq \r(2).


证明 由于a，b均为正实数，


所以eq \f(1,a2)＋eq \f(1,b2)≥2eq \r(\f(1,a2)·\f(1,b2))＝eq \f(2,ab)，


当且仅当eq \f(1,a2)＝eq \f(1,b2)，即a＝b时，等号成立，


又因为eq \f(2,ab)＋ab≥2eq \r(\f(2,ab)·ab)＝2eq \r(2)，


当且仅当eq \f(2,ab)＝ab时，等号成立，


所以eq \f(1,a2)＋eq \f(1,b2)＋ab≥eq \f(2,ab)＋ab≥2eq \r(2)，


当且仅当eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,a2)＝\f(1,b2)，,\f(2,ab)＝ab，))即a＝b＝eq \r(4,2)时取等号．


22．(12分)某建筑队在一块长AM＝30 m，宽AN＝20 m的矩形地块AMPN上施工，规划建设占地如图中矩形ABCD的学生公寓，要求顶点C在地块的对角线MN上，B，D分别在边AM，AN上，假设AB长度为x m.





(1)要使矩形学生公寓ABCD的面积不小于144 m2，AB的长度应在什么范围？


(2)长度AB和宽度AD分别为多少米时矩形学生公寓ABCD的面积最大？最大值是多少m2?


解 (1)依题意知△NDC∽△NAM，所以eq \f(DC,AM)＝eq \f(ND,NA)，


即eq \f(x,30)＝eq \f(20－AD,20)，则AD＝20－eq \f(2,3)x.


故矩形ABCD的面积为S＝20x－eq \f(2,3)x2(0

要使学生公寓ABCD的面积不小于144平方米，即S＝20x－eq \f(2,3)x2≥144，


化简得x2－30x＋216≤0，解得12≤x≤18.


故AB的长度应在[12,18]内．


(2)S＝20x－eq \f(2,3)x2＝eq \f(2,3)x(30－x)≤eq \f(2,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(30－x＋x,2)))2＝150，


当且仅当x＝30－x，即x＝15时，等号成立．


此时AD＝20－eq \f(2,3)x＝10.


故AB＝15 m，AD＝10 m时，学生公寓ABCD的面积最大，最大值是150 m2.