新教材数学苏教版必修第一册第1章 1.2 第1课时　子集、真子集 课件

1.2　子集、全集、补集

第1课时　子集、真子集

如果一个班级中，所有同学组成的集合记为S，而所有女同学组成的集合记为F，你觉得集合S和F之间有怎样的关系？你能从集合元素的角度分析它们的关系吗？

知识点1　子集的概念及其性质

(1)子集

(2)子集的性质

①A⊆A，即任何一个集合是它本身的子集．

②∅⊆A，即空集是任何集合的子集．

③若A⊆B，B⊆C，则A⊆C，即子集具备传递性．

(3)集合相等

若A⊆B且B⊆A，则A＝B．

1．(1)任何两个集合之间是否一定有包含关系？

(2)符号“∈”与“⊆”有何不同？

[提示]　(1)不一定，如集合A＝{1,2}与B＝{3,4}这两个集合之间没有包含关系．

(2)符号“∈”表示元素与集合间的关系；而“⊆”表示集合与集合之间的关系．

不能把“A⊆B”理解为“A是B中部分元素组成的集合”，因为集合A可能是空集，也可能是集合B．

1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)空集中只有元素0，而无其余元素． (　　)

(2)任何一个集合都有子集．               (　　)

(3)若A＝B，则A⊆B且B⊆A． (　　)

(4)若a∈A，则{a}⊆A．               (　　)

[答案]　(1)×　(2)√　(3)√　(4)√

知识点2　真子集的概念与性质

(1)真子集的概念

如果A⊆B，并且A≠B，那么集合A称为集合B的真子集，记为AB或BA，读作“A真包含于B”或“B真包含A”．

(2)性质

①∅是任一非空集合的真子集．

②若AB，BC，则AC．

2．{0}与∅相等吗？

[提示]　不相等．{0}表示一个集合，且集合中有且仅有一个元素0；而∅表示空集，其不含有任何元素，故{0}≠∅．

2．集合A＝{x|0≤x<2，x∈N}的真子集的个数为________．

3　[集合A＝{0,1}，其真子集分别为∅，{0}，{1}，共3个．]

类型1　确定集合的子集、真子集

【例1】　设A＝{x|(x2－16)(x2＋5x＋4)＝0}，写出集合A的子集与真子集．

[解]　由(x2－16)(x2＋5x＋4)＝0，得(x－4)(x＋1)(x＋4)2＝0，

解方程得x＝－4，或x＝－1或x＝4，

故集合A＝{－4，－1,4}．

由0个元素构成的子集为：∅；

由1个元素构成的子集为：{－4}，{－1}，{4}；

由2个元素构成的子集为：{－4，－1}，{－4,4}，{－1,4}；

由3个元素构成的子集为：{－4，－1,4}；

故集合A的子集为：∅，{－4}，{－1}，{4}，{－4，－1}，{－4,4}，{－1,4}，{－4，－1,4}共8个子集．

真子集为：∅，{－4}，{－1}，{4}，{－4，－1}，{－4,4}，{－1,4}共7个．

确定子集、真子集的关键点和规律

1．有限集的子集的确定问题，求解关键有三点：

(1)确定所求集合；

(2)合理分类，按照子集所含元素的个数依次写出，一般按元素从少到多的顺序逐个写出满足条件的集合；

(3)注意两个特殊的集合，即空集和集合本身．

2．与子集、真子集个数有关的三个结论

假设集合A中含有n个元素，则有：

(1)A的子集的个数为2n个；

(2)A的真子集的个数为2n－1个；

(3)A的非空真子集的个数为2n－2个．

1．已知集合M满足{1,2}M⊆{1,2,3,4,5}，写出集合M所有的可能情况．

[解]　由题意可以确定集合M必含有元素1,2，且至少含有元素3,4,5中的一个，因此依据集合M的元素个数分类如下：

含有3个元素：{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}；

含有4个元素：{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}；

含有5个元素：{1,2,3,4,5}．

故满足条件的集合M为{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}，{1,2,3,4,5}．

类型2　集合关系的判断

【例2】　指出下列各对集合之间的关系：

(1)A＝{－1,1}，B＝{x|x2＝1，x∈N}；

(2)A＝{－1,1}，B＝{(－1，－1)，(－1,1)，(1，－1)，(1,1)}；

(3)P＝{x|x＝3n－1，n∈Z}，Q＝{x|x＝3n＋2，n∈Z}；

(4)A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是三角形}；

(5)A＝{x|－1<x<4}，B＝{x|x－5<0}．

[解]　(1)用列举法表示集合B＝{1}，故BA．

(2)集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是实数对，故A与B之间无包含关系．

(3)∵P表示3的整数倍少1的数构成的数集，Q表示3的整数倍多2的数构成的数集，

∴P＝Q．

(4)等边三角形是三边相等的三角形，故AB．

(5)集合B＝{x|x<5}，用数轴表示集合A，B，如图所示，由图可发现AB．

判断集合关系的方法

1观察法：一一列举观察.

2元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系.

3数形结合法：利用数轴或Venn图.

提醒：若A⊆B和AB同时成立，则AB更能准确表达集合A，B之间的关系.

2．判断下列各组中集合之间的关系：

(1)A＝{x|x是12的约数}，B＝{x|x是36的约数}；

(2)A＝{x|x是平行四边形}，B＝{x|x是菱形}，C＝{x|x是四边形}，D＝{x|x是正方形}．

[解]　(1)因为若x是12的约数，则必定是36的约数，反之不成立，所以AB．

(2)由图形的特点可画出Venn图如图所示，从而DBAC．

类型3　集合之间的包含关系

【例3】　已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}．

若BA，求实数m的取值范围？

集合B中的元素有何特点？可能为空集吗？m满足什么条件时B＝∅？

[提示]　集合B中的元素不确定，随m的变化而变化.B可能为空集.,当m＋1>2m－1时B＝∅.

[解]　(1)当B＝∅时，

由m＋1>2m－1，得m<2．

(2)当B≠∅时，如图所示．

∴或

解这两个不等式组，得2≤m≤3．

综上可得，m的取值范围是{m|m≤3}．

[母题探究]

1．(变条件)若本例条件“A＝{x|－2≤x≤5}”改为“A＝{x|－2<x<5}”，其他条件不变，求m的取值范围．

[解]　(1)当B＝∅时，由m＋1>2m－1，得m<2．

(2)当B≠∅时，如图所示，

∴解得即2≤m<3，

综上可得，m的取值范围是{m|m<3}．

2．(变条件)若本例条件“BA”改为“A⊆B”，其他条件不变，求m的取值范围．

[解]　当A⊆B时，如图所示，此时B≠∅．

∴即∴m不存在．

即不存在实数m使A⊆B．

1．对于用不等式给出的集合，已知集合的包含关系求相关参数的范围(值)时，常采用数形结合的思想，借助数轴解答．

2．两个易错点

(1)当B⊆A时，应分B＝∅和B≠∅两种情况讨论；

(2)列不等关系式时，应注意等号是否成立．

3．已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m－1<x<m＋1}且B⊆A．求实数m的取值范围．

[解]　∵B⊆A，∴可以分B＝∅或B≠∅讨论．

(1)当B＝∅时，m＋1≤2m－1，解得m≥2．

(2)当B≠∅时，有解得－1≤m<2．

综上可得m≥－1．

1．对于集合A，B，“A⊆B”不成立的含义是(　　)

A．B是A的子集

B．A中的元素都不是B的元素

C．A中至少有一个元素不属于B

D．B中至少有一个元素不属于A

C　[“A⊆B”成立的含义是集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，不成立的含义是集合A中至少有一个元素不属于集合B，故选C．]

2．设集合M＝{1,2,3}，N＝{1}，则下列关系正确的是(　　)

A．N∈M　　　　　 B．NM

C．N⊇M     D．N⊆M

D　[∵1∈{1,2,3}，∴1∈M，又2N，∴N⊆M．]

3．集合A＝{x|x(x－2)＝0}，则集合A的子集的个数为________．

4　[由x(x－2)＝0得x＝0，或x＝2，所以A＝{0,2}．

A的子集有∅，{0}，{2}，{0,2}．]

4．设x，y∈R，A＝{(x，y)|y＝x}，B＝，则A，B的关系是________．

BA　[∵B＝＝{(x，y)|y＝x，且x≠0}，故BA．]

5．已知集合A＝{x|x≥1}，B＝{x|x≥a}．若B⊆A，则实数a的取值范围为________．

a≥1　[结合数轴(图略)知a≥1．]

回顾本节知识，自我完成以下问题．

1．两个集合间的基本关系有哪些？如何判断两个集合间的关系？

[提示]　A⊆B或AB．从集合中元素入手，根据集合间关系的定义得出结论．

2．本节课中有哪些易错地方？

[提示]　(1)忽略对集合是否为空集的讨论．(2)忽视是否能够取到端点值．

3．本节课主要学习了哪些数学思想方法．

[提示]　分类讨论、数形结合．