新教材数学苏教版必修第一册第1章 1.1 第2课时　集合的表示 课件

第2课时　集合的表示

知识点1　集合的表示方法

(1)中国的五岳组成的集合适合用什么方法表示？如何表示？

(2)不等式x－2<1的解集中的元素有什么共同特征？

[提示]　(1)列举法，表示为{泰山，华山，衡山，恒山，嵩山}．

(2)元素的共同特征为x∈R，且x<3．

列举法通常适用于元素个数有限的集合．若集合中的元素有无限个，但有一定的规律性也可用列举法．描述法通常适用于元素个数较多而元素的排列又不呈现明显规律的集合，或者根本就不能一一列举的集合．

1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)0与{0}表示的是同一个集合． (　　)

(2)方程(x－1)2·(x－2)＝0的所有解的集合可表示为{1,2}．                             (　　)

(3)集合A＝{x|x>5，x∈N}是用描述法表示的一个集合． (　　)

[答案]　(1)×　(2)√　(3)√

知识点2　集合的分类

(1)集合的分类

(2)集合相等

如果两个集合所含的元素完全相同(即A中的元素都是B的元素，B中的元素也都是A的元素)，那么称这两个集合相等．

2．(1)集合{1,2,3}与{3,2,1}________相等集合．(填“是”或“不是”)

(2)若集合{1，a}与集合{2，b}相等，则a＋b＝________．

(1)是　(2)3　[(1)集合{1,2,3}与{3,2,1}元素完全相同，故两集合是相等集合．

(2)由于{1，a}＝{2，b}，故a＝2，b＝1，∴a＋b＝3．]

类型1　用列举法表示集合

【例1】　用列举法表示下列集合：

(1)不大于10的非负偶数组成的集合A；

(2)小于8的质数组成的集合B；

(3)方程x2－x－2＝0的实根组成的集合C．

[解]　(1)不大于10的非负偶数有0,2,4,6,8,10．

所以A＝{0,2,4,6,8,10}．

(2)小于8的质数有2,3,5,7，所以B＝{2,3,5,7}．

(3)方程x2－x－2＝0的实根为2，－1，

所以C＝{2，－1}．

用列举法表示集合的步骤

1求出集合的元素；

2把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次；

3用花括号括起来.

提醒：二元方程组的解集，函数图象上的点构成的集合都是点的集合，一定要写成实数对的形式，元素与元素之间用“,”隔开.如{2,3，5,－1}.

1．用列举法表示下列给定的集合：

(1)大于1且小于6的整数组成的集合A；

(2)方程x2－9＝0的实数根组成的集合B；

(3)一次函数y＝x＋2与y＝－2x＋5的图象的交点组成的集合D．

[解]　(1)因为大于1且小于6的整数包括2,3,4,5，所以A＝{2,3,4,5}．

(2)方程x2－9＝0的实数根为－3,3，

所以B＝{－3,3}．

(3)由得

所以一次函数y＝x＋2与y＝－2x＋5的交点为(1,3)，所以D＝{(1,3)}．

类型2　用描述法表示集合

【例2】　用描述法表示下列集合：

(1)正偶数集；

(2)被3除余2的正整数集合；

(3)平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合．

[解]　(1)偶数可用式子x＝2n，n∈Z表示，但此题要求为正偶数，故限定n∈N*，所以正偶数集可表示为{x|x＝2n，n∈N*}．

(2)设被3除余2的数为x，则x＝3n＋2，n∈Z，但元素为正整数，故n∈N，所以被3除余2的正整数集合可表示为{x|x＝3n＋2，n∈N}．

(3)坐标轴上的点(x，y)的特点是横、纵坐标中至少有一个为0，即xy＝0，故平面直角坐标系中坐标轴上的点的集合可表示为{(x，y)|xy＝0}．

利用描述法表示集合的关注点

1写清楚该集合代表元素的符号.例如，集合{x|x<1，x∈R}不能写成{x<1}.

2所有描述的内容都要写在花括号内.例如，{x|x＝2k}，k∈Z，这种表达方式就不符合要求，需将k∈Z也写进花括号内，即{x|x＝2k，k∈Z}.

3不能出现未被说明的字母.

4在通常情况下，集合中元素的所属范围为实数集时可以省略不写.例如，方程x2－2x＋1＝0的实数解集可表示为{x|x2－2x＋1＝0，x∈R}，也可写成{x|x2－2x＋1＝0}.

2．用描述法表示下列集合：

(1)函数y＝－2x2＋x图象上的所有点组成的集合；

(2)不等式2x－3<5的解组成的集合；

(3)如图中阴影部分的点(含边界)的集合；

(4)3和4的所有正的公倍数构成的集合．

[解]　(1)函数y＝－2x2＋x的图象上的所有点组成的集合可表示为{(x，y)|y＝－2x2＋x}．

(2)不等式2x－3<5的解组成的集合可表示为{x|2x－3<5}，即{x|x<4}．

(3)图中阴影部分的点(含边界)的集合可表示为

．

(4)3和4的最小公倍数是12，因此3和4的所有正的公倍数构成的集合是{x|x＝12n，n∈N*}．

类型3　集合表示法的综合应用

【例3】　集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}，若集合A中只有一个元素，求实数k的值组成的集合．

[解]　(1)当k＝0时，方程kx2－8x＋16＝0变为－8x＋16＝0，解得x＝2，满足题意；

(2)当k≠0时，要使集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}中只有一个元素，则方程kx2－8x＋16＝0有两个相等的实数根，所以Δ＝64－64k＝0，解得k＝1，此时集合A＝{4}，满足题意．

综上所述，k＝0或k＝1，故实数k的值组成的集合为{0,1}．

[母题探究]

1．(变条件)本例若将条件“只有一个元素”改为“有两个元素”，其他条件不变，求实数k的值组成的集合．

[解]　由题意可知，方程kx2－8x＋16＝0有两个不等实根，

故k≠0，且Δ＝64－64k>0，即k<1，且k≠0．

所以实数k组成的集合为{k|k<1，且k≠0}．

2．(变条件)本例若将条件“只有一个元素”改为“至少有一个元素”，其他条件不变，求实数k的取值范围．

[解]　由题意可知，方程kx2－8x＋16＝0至少有一个实数根．

①当k＝0时，由－8x＋16＝0得x＝2，符合题意；

②当k≠0时，要使方程kx2－8x＋16＝0至少有一个实数根，则Δ＝64－64k≥0，即k≤1，且k≠0．

综合①②可知，实数k的取值范围为{k|k≤1}．

1．若已知集合是用描述法给出的，读懂集合的代表元素及其属性是解题的关键，如例3集合A中的元素就是所给方程的根，由此便把集合的元素个数问题转化为方程的根的个数问题．

2．在学习过程中要注意数学素养的培养，如本例中用到了等价转化思想和分类讨论的思想．

3．已知集合A＝{x|ax2－3x＋1＝0，a∈R}．若集合A中有两个元素，求实数a的取值范围．

[解]　集合A中有两个元素，即关于x的方程ax2－3x＋1＝0有两个不相等的实数根．∴a≠0，且Δ＝(－3)2－4a>0，解得a<且a≠0．

类型4　集合相等

【例4】　(1)集合A＝{x|x3－x＝0，x∈N}与B＝{0,1}________相等集合．(填“是”或“不是”)

(2)若集合A＝{1，a＋b，a}，集合B＝且A＝B，则a＝________，b＝________．

[思路点拨]　(1)解出集合A，并判断与B是否相等；

(2)找到相等的对应情况，解方程即可．

(1)是　(2)－1　1　[(1)x3－x＝x(x2－1)＝0，

∴x＝±1或x＝0．又x∈N，∴A＝{0,1}＝B．

(2)由题意知，a≠0，故a＋b＝0，∴b＝－a．

∴＝－1，∴a＝－1，b＝1．]

已知集合相等求参数，关键是根据集合相等的定义，建立关于参数的方程组，求解时还要注意集合中元素的互异性.

4．已知集合A＝{a，a＋b，a＋2b}，B＝{a，ax，ax2}．若A＝B，求实数x的值．

[解]　若消去b，则a＋ax2－2ax＝0，

∴a(x－1)2＝0，即a＝0或x＝1．

当a＝0时，集合B中的元素均为0，故舍去；

当x＝1时，集合B中的元素均为a，故舍去．

若消去b，则2ax2－ax－a＝0．

又∵a≠0，∴2x2－x－1＝0，即(x－1)(2x＋1)＝0．

又∵x≠1，∴x＝－．

经检验，当x＝－时，A＝B成立．

综上所述，x＝－．

1．下列四个集合中，是空集的为(　　)

A．{0}　　　　　　 B．{x|x>8，且x<5}

C．{x|x2－1＝0，x∈N}     D．{x|x>4}

B　[满足x>8且x<5的实数不存在，故{x|x>8，且x<5}＝∅．]

2．(多选题)方程组的解集可表示为(　　)

A．    B．

C．{1,2}     D．{(1,2)}

ABD　[方程组的解应为有序数对，故A、B、D正确．]

3．用描述法表示不等式3x＋2>5的解集为________．

{x|x>1}　[由不等式3x＋2>5得x>1，用描述法可表示为{x|x>1}．]

4．已知M＝{2，a，b}，N＝{2a,2，b2}，且M＝N，则a＋b＝________．

1或　[∵M＝N，则有或解得或∴a＋b＝1或．]

5．已知集合A＝{x|y＝x2＋3}，B＝{y|y＝x2＋3}，C＝{(x，y)|y＝x2＋3}，它们三个集合相等吗？试说明理由．

[解]　三个集合不相等，这三个集合都是描述法给出的，但各自的意义不一样．集合A表示y＝x2＋3中x的范围，x∈R，∴A＝R，集合B表示y＝x2＋3中y的范围，B＝{y|y≥3}，集合C表示y＝x2＋3上的点组成的集合．

回顾本节知识，自我完成以下问题．

1．集合常用的表示方法有哪些？各有什么特点？

[提示]　列举法、描述法．列举法通常适用于元素个数较少或元素有规律的集合．描述法通常适用于元素个数较多或无规律的集合．

2．对集合的表示有什么要求？

[提示]　要根据集合元素的特点，选择适当的方法表示集合．一般要符合最简原则．

3．通过本节课培养了哪些核心素养和思想方法？

[提示]　培养数学运算素养和逻辑推理素养．

思想方法有等价转化和分类讨论的思想．