高中人教A版 (2019)3.1 椭圆教案

第三章 圆锥曲线的方程

3.1.2 椭圆的简单几何性质

教学设计

教学目标

1.掌握椭圆的范围、对称性、定点、离心率等简单几何性质.

2.能利用椭圆的简单性质求椭圆方程.

3.能用椭圆的简单几何性质分析解决有关问题.

4.理解数形结合思想.

教学重难点

教学重点：椭圆的几何性质.

教学难点：椭圆性质的理解和应用.

教学过程

新知积累

1.范围

由方程可知，

所以，即，同理有，即.

这说明椭圆位于直线和围成的矩形框里.

2.对称性

观察椭圆的形状，可以发现椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形.

在椭圆的标准方程中，以代，方程不变.这说明当点在椭圆上时，它关于x轴的对称点也在椭圆上，所以椭圆关于x轴对称.

同理，以代，方程也不变，这说明如果点在椭圆上，那么它关于轴的对称点也在椭圆上，所以椭圆关于轴对称.

以代，以代，方程也不变，这说明当点在椭圆上时，它关于原点的对称点也在椭圆上，所以椭圆关于原点对称.

综上，椭圆关于x轴、y轴都是对称的.这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心.

3.顶点

在椭圆的标准方程中，令，得.因此，是椭圆与轴的两个交点.同理，令，得.因此，是椭圆与x轴的两个交点.因为x轴、轴是椭圆的对称轴，所以椭圆与它的对称轴有四个交点，这四个交点叫做椭圆的顶点.

线段，分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于和，和分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长.

4.离心率

把椭圆的焦距与长轴长的比称为椭圆的离心率，用e表示，即.

因为，所以. e越接近1，c越接近a，就越小，因此椭圆越扁平；反之，e越接近0，c越接近0，b越接近a，这时椭圆就越接近于圆.

当且仅当时，，这时两个焦点重合，图形变为圆，它的方程为.

例题巩固

例1 求椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标.

解：把原方程化成标准方程，得，

于是，，.

因此椭圆的长轴和短轴的长分别是和，离心率，两个焦点坐标分别是和，四个顶点坐标分别是，，和.

例2 如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分. 过对称轴的截口BAC是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点上，片门位于另一个焦点上. 由椭圆一个焦点发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点. 已知，，. 试建立适当的平面直角坐标系，求截口BAC所在椭圆的方程（精确到0.1 cm）.

解：建立如图所示的平面直角坐标系，设所求椭圆方程为.

在中，.

由椭圆的性质知，，

所以，

.

所以，所求的椭圆方程为.

例3 动点与定点的距离和M到定直线的距离的比是常数，求动点M的轨迹.

解：如图，设d是点M到直线的距离，

根据题意，动点M的轨迹就是集合.

由此得.

将上式两边平方，并化简，得，即.

所以，点M的轨迹是长轴、短轴长分别为10，6的椭圆.

例4 如图，已知直线和椭圆. m为何值时，直线l与椭圆C：（1）有两个公共点？（2）有且只有一个公共点？（3）没有公共点？

解：由方程组消去，得.①

方程①的根的判别式.

由，得.

此时方程①有两个不相等的实数根，直线与椭圆有两个不同的公共点.

由，得.

此时方程①有两个相等的实数根，直线与椭圆有且只有一个公共点.

由，得，或.

此时方程①没有实数根，直线与椭圆没有公共点.

课堂练习

1.中心在坐标原点，焦点在x轴上，且长轴长为18，焦距为12的椭圆的标准方程为(   )

A. B. C. D.

答案：C

解析：由中心在坐标原点，焦点在x轴上，且长轴长为18，焦距为12，可得，，则，故所求的椭圆方程为.故选C.

2.已知椭圆的左、右焦点分别为，，过且与x轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，直线与椭圆的另一个交点为C，若，则椭圆的离心率为(   )

A. B. C. D.

答案：A

解析：设的坐标为，的坐标为，故过且与x轴垂直的直线方程为，代入椭圆方程可得.可设，，由题意可得的面积是的面积的2倍，故，即有，即，则，代入椭圆方程可得，即，，解得（负值舍去）.故选A.

3.若为椭圆上的一点，以P以及焦点，为顶点的三角形的面积为1，则椭圆C的长轴长是_____________.

答案：

解析：因为以以及焦点，为顶点的三角形的面积为1，所以.又椭圆方程为，所以，则，所以椭圆C的长轴长是.

小结作业

小结：本节课学习了椭圆的简单几何性质.

作业：完成本节课课后习题.

板书设计

3.1.2 椭圆的简单几何性质

1.范围

2.对称性

3.顶点

4.离心率