初中数学人教版九年级上册24.1.1 圆精品随堂练习题

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2022-2023学年九年级数学上册考点必刷练精编讲义（人教版）提高
第24章《圆》
章节达标检测
考试时间：120分钟 试卷满分：100分
一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）
1．（2022•沈河区校级模拟）如图，△ABC内接于⊙O，∠C+∠O＝135°，AB＝4，则劣弧AB的长度是（　　）

A．2π B．π C．π D．4π
解：∵∠C+∠O＝135°，∠O＝2∠C，
∴3∠C＝135°，
∴∠C＝45°，
∴∠O＝2∠C＝90°，
∵OA＝OB，AB＝4，
∴OA＝OB＝＝2，
∴劣弧AB的长度＝＝π，
故选：B．
2．（2022•巩义市模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，分别以点A，B，C为圆心，AB的长为半径画弧，与该三角形的边相交，则图中阴影部分的面积为（　　）

A．96﹣π B．96﹣25π C．48﹣π D．48﹣π
解：作AD⊥BC于点D，

∵AB＝AC＝10，BC＝12，
∴BD＝CD＝6，
∴AD＝＝8，
∴S阴影部分＝×12×8﹣π×52＝48﹣．
故选：D．
3．（2022•牡丹江二模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，DE是⊙O的直径，连接BD．若∠BCD＝2∠BAD，则∠BDE的度数是（　　）

A．25° B．30° C．32.5° D．35°
解：连接BE，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠BCD+∠BAD＝180°，
∵∠BCD＝2∠BAD，
∴∠BAD＝60°，
由圆周角定理得：∠BED＝∠BAD＝60°，
∵DE是⊙O的直径，
∴∠EBD＝90°，
∴∠BDE＝90°﹣60°＝30°，
故选：B．

4．（2022•潮安区模拟）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10．若以点C为圆心，CA长为半径的圆恰好经过AB的中点D，则⊙C的半径为（　　）

A． B．8 C．6 D．5
解：如图，连结CD，
∵CD是直角三角形斜边上的中线，
∴CD＝AB＝×10＝5．
故选：D．

5．（2022•十堰模拟）如图，将半径为4cm的半圆围成一个圆锥，在圆锥内接一个圆柱，当圆柱的侧面面积最大时，圆柱的底面半径是（　　）

A． B． C．1cm D．2
解：扇形的弧长＝4πcm，
∴圆锥的底面半径＝4π÷2π＝2（cm），
∴圆锥的高为＝2（cm）．
设圆柱的底面半径为rcm，高为Rcm．
由题意得＝，
解得：R＝2﹣r，
∴圆柱的侧面积＝2π×r×（2﹣r）＝﹣2πr2+4πr（cm2），
∴当r＝＝1cm时，圆柱的侧面积有最大值．
故选：C．
6．（2022•平泉市二模）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D在BC边上（不与B，C重合），点O为△ADC的内心，则∠AOC不可能是（　　）

A．150° B．120° C．110° D．100°
解：在△ABC中，
∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠ACB＝30°，
∵O为△ADC的内心，
∴∠OAC＝∠DAC，∠OCA＝∠ACB＝15°，
∴∠AOC＝180°﹣∠OAC﹣∠OCA＝165°﹣∠DAC，
∵点D在线段BC上（不与B、C重合），
∴0°＜∠DAC＜120°，
∴0°＜∠DAC＜60°，
∴105°＜∠AOC＜165°，
∴∠AOC不可能是100°．
故选：D．
7．（2022•江岸区校级模拟）如图，⊙O是△ABC的外接圆，点I是△ABC内心，连接AI并延长交⊙O于点D，若AB＝9，BC＝14，CA＝13，则的值是（　　）

A． B． C． D．
解：如图，作BM∥AD交CA延长线于点M，连接BD，IB，

∴∠ABM＝∠BAD，∠CAD＝∠M，
∵点I是△ABC内心，
∴∠BAD＝∠CAD，∠ABI＝∠IBC，
∴∠M＝∠ABM＝∠BAD＝∠CAD，
∴AB＝AM＝9，
∴MC＝AM+AC＝22，
∵∠CBD＝∠CAD，
∴∠CBD＝∠BAD，
∵∠BAD+∠ABI＝∠BID，∠IBC+∠BAD＝∠IBD，
∴∠IBD＝∠BID，
∴BD＝ID，
∵∠D＝∠C，
∴△MBC∽△ABD，
∴＝，
∴＝，
∴＝，
∴＝，
∴＝＝1﹣＝．
故选：C．
8．（2022•泰安模拟）如图，点I为△ABC的内心，连接AI并延长，交△ABC的外接圆于点D，点E为弦AC的中点，连接CD，EI，IC，当AI＝2CD，IC＝6，ID＝5时，IE的长为（　　）

A．5 B．4.5 C．4 D．3.5
解：延长ID到M，使DM＝ID，连接CM．
∵I是△ABC的内心，
∴∠IAC＝∠IAB，∠ICA＝∠ICB，
∵∠DIC＝∠IAC+∠ICA，∠DCI＝∠BCD+∠ICB，
∴∠DIC＝∠DCI，
∴DI＝DC＝DM，
∴∠ICM＝90°，
∴CM＝＝8，
∵AI＝2CD＝10，
∴AI＝IM，
∵AE＝EC，
∴IE是△ACM的中位线，
∴IE＝CM＝4，
故选：C．

9．（2022•虞城县一模）如图，扇形OAB中，∠AOB＝120°，OA＝2，点C为OB的中点，将扇形OAB绕点C顺时针旋转，点O的对应点为O'，连接O'B，当O'C∥OA时，阴影部分的面积为（　　）

A． B． C．﹣ D．
解：连接OO′，

∵O'C∥OA，∠AOB＝120°，
∴∠OCO′＝60°，
∵C是OB的中点，
∴OC＝CB＝CO′＝1，
∴△OCO′是等边三角形，
∴∠OO′C＝∠COO′＝60°，∠CBO′＝∠CO′B＝30°，
∴∠OO′B＝∠A′O′B＝90°，
∴O，O′，A′三点共线，BO′＝，
阴影部分的面积为S扇形BOD﹣S△OBO′＝﹣
＝﹣．
故选：D．
10．（2022•德阳）如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，与BC相交于点G，则下列结论：①∠BAD＝∠CAD；②若∠BAC＝60°，则∠BEC＝120°；③若点G为BC的中点，则∠BGD＝90°；④BD＝DE．其中一定正确的个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
解：∵E是△ABC的内心，
∴AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，故①正确；
如图，连接BE，CE，

∵E是△ABC的内心，
∴∠EBC＝∠ABC，∠ECB＝ACB，
∵∠BAC＝60°，
∴∠ABC+∠ACB＝120°，
∴∠BEC＝180°﹣∠EBC﹣∠ECB＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝120°，故②正确；

∵∠BAD＝∠CAD，
∴＝，
∴OD⊥BC，
∵点G为BC的中点，
∴G一定在OD上，
∴∠BGD＝90°，故③正确；
如图，连接BE，
∴BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∵∠DBC＝∠DAC＝∠BAD，
∴∠DBC+∠EBC＝∠EBA+∠EAB，
∴∠DBE＝∠DEB，
∴DB＝DE，故④正确．
∴一定正确的①②③④，共4个．
故选：D．
二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）
11．（2022•博山区二模）如图，在△ABC中，AB＝AC＝，∠B＝30°，点O为BC上一点，以点O为圆心的圆与△ABC交于A，B，D三点，点E为直径BD下方半圆上一点，连接AE，DE，则图中阴影部分面积的最大值为　+　．

解：如图，过点O作OJ⊥AD于点J，交⊙O于点F，连接AF，DF，OA．

观察图象可知，当点E与F重合时，△ADE的面积最大，此时阴影部分的面积最大，
∵∠AOD＝2∠B＝60°，
∵OA＝OB，
∴△AOD是等边三角形，
∵BD是直径，
∴∠BAD＝90°，
∴AD＝AB•tan30°＝1，
∴OA＝OD＝AD＝OF＝1，
∵OJ⊥AD，
∴OJ＝，
∴FJ＝1+，
∴阴影部分的面积的最大值＝S△ADF+S弓形AD
＝×1×（1+）+（﹣×12
＝+．
故答案为：+．
12．（2022春•重庆月考）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC边上的点，CD＝6，以CD为直径的⊙O与AB相切于点E．若弧DE的长为π，则阴影部分的面积 　9﹣3π　（保留π）．

解：连接OA，OE，

∵CD＝6，
∴OE＝OD＝CD＝3，
∵弧DE的长为π，
∴＝π，
∴n＝60，
∴∠DOE＝60°，
∴∠COE＝180°﹣∠DOE＝120°，
∵AB与半⊙O相切于点E，
∴∠AEO＝90°，
∵∠ACO＝∠AEO＝90°，OC＝OE，OA＝OA，
∴Rt△ACO≌Rt△AEO（HL），
∴∠COA＝∠EOA＝∠COE＝60°，
∴AE＝OE＝3，
∴阴影部分的面积＝2△AOE的面积﹣扇形COE的面积
＝2×AE•OE﹣
＝3×3﹣3π
＝9﹣3π，
故答案为：9﹣3π．
13．（2022•湖北模拟）将半径为5，圆心角为288°的扇形收拢成圆锥形杯子，圆锥的底面半径为 　4　．
解：扇形的弧长为：＝8π，
这个圆锥的底面半径为：8π÷2π＝4．
故答案为：4．
14．（2022•大方县模拟）如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC＝25°，△ABC外角∠ABE的平分线交⊙O于点D，若BC＝BD，则∠C的度数为 　75°　．

解：∵BC＝BD，
∴＝，
∴∠BAD＝∠BAC＝25°，
∴∠DAC＝∠BAD+∠BAC＝50°，
∵四边形ADBC是圆内接四边形，
∴∠DAC+∠DBC＝180°，
∵∠DBE+∠DBC＝180°，
∴∠DBE＝∠DAC＝50°，
∵BD平分∠ABE，
∴∠ABE＝2∠DBE＝100°，
∵∠ABE是△ABC的一个外角，
∴∠C＝∠ABE﹣∠BAC＝100°﹣25°＝75°，
故答案为：75°．
15．（2022•许昌二模）如图1，是一枚残缺的古代钱币．图2是其几何示意图，正方形ABCD的边长是1cm，⊙O的直径为2cm，且正方形的中心和圆心O重合，E，F分别是DA，CD的延长线与⊙O的交点，则钱币残缺部分（即图2中阴影部分）的面积是 　（﹣1）　cm2．

解：如图，延长AB交⊙O于点M，延长BC交⊙O于点N，连接EM，MN，FN，OE，OM．则四边形EMNF是正方形．

∵OE＝OM＝1cm，
∴EM＝，
∴S阴＝（S圆O﹣S正方形EMNF）
＝（π×12﹣2）
＝（﹣1）cm2．
故答案为：（﹣1）．
16．（2022春•株洲期末）如图，正方形ABCD的边长为4，点E是正方形外一动点，且点E在CD的右侧，∠AED＝45°，P为AB的中点，当E运动时，线段PE的最大值为 　2+2　．

解：如图，连接AC，BD交于点O，连接PO，EO，
∵∠AED＝45°，∠ACD＝45°，
∴A，C，E，D四点共圆，
∵正方形ABCD的边长为4，
∴OE＝OD＝BD＝2，
∵P为AB的中点，O是BD的中点，
∴OP＝AD＝2，
∵PE≤OP+OE＝2+2，
∴当点O在线段PE上时，PE＝OP+OE＝2+2，
即线段PE的最大值为2+2，
故答案为：2+2．

17．（2022•越秀区校级二模）如图，⊙O的半径为，四边形ABCD为⊙O的内接矩形，AD＝6，M为DC中点，E为⊙O上的一个动点，连结DE，作DF⊥DE交射线EA于F，连结MF，则MF的最大值为 　6+　．

解：如图，连接AC交BD于点O，以AD为边向上作等边△ADJ，连接JF，JA，JD，JM．

∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝90°，
∵AD＝6，AC＝4，
∴sin∠ACD＝＝，
∴∠ACD＝60°，
∴∠FED＝∠ACD＝60°，
∵DF⊥DE，
∴∠EDF＝90°，
∴∠EFD＝30°，
∵△JAD是等边三角形，
∴∠AJD＝60°，
∴∠AFD＝∠AJD，
∴点F的运动轨迹是以J为圆心JA为半径的圆，
∴当点F在MJ的延长线上时，FM的值最大，
此时FJ＝6，JM＝＝，
∴FM的最大值为6+，
故答案为：6+．
18．（2022•宁波模拟）如图，边长为4的正方形ABCD中，顶点A落在矩形DEFG的边EF上，EF＝5，而矩形的顶点G恰好落在BC边上．点O是AB边上一动点（不与A，B重合），以O为圆心，OA长为半径作圆，当⊙O与矩形DEFG的边相切时，AO的长为 　或2　．

解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD＝4，∠C＝∠ADC＝90°．
∵四边形DEFG为矩形，
∴DG＝EF＝5，∠E＝∠EDG＝90°．
∴CG＝＝3．
∵∠CDG+∠ADG＝90°，∠EDA+∠ADG＝90°，
∴∠CDG＝∠EDA．
∵∠C＝∠E＝90°，
∴△CDG∽△EAD．
∴，
∴，
∴DE＝，AE＝．
∴AF＝EF﹣AE＝．
①当⊙O与矩形DEFG的FG边相切时，设AB与FG交与点H，
过点O作OM⊥FG于点M，如图，

∵∠DAB＝90°，
∴∠EAD+∠FAB＝90°．
∵∠F＝90°，
∴∠FAB+∠FHA＝90°，
∴∠EAD＝∠FHA．
∵∠E＝∠F＝90°，
∴△EAD∽△FHA．
∴＝．
∴＝，
∴AH＝，FH＝．
设OA＝x，
∵⊙O与矩形DEFG的FG边相切，
∴OM＝OA＝x．
∵OM⊥FG，AF⊥FG，
∴OM∥AF，
∴．
∴，
解得：x＝．
∴OA＝
②当⊙O与矩形DEFG的DG边相切时，如图，

过点O作OM⊥DG于点M，延长MO，交EF于点N，则ON⊥EF，MN＝DE＝．
设OA＝x，
∵⊙O与矩形DEFG的DG边相切，
∴OM＝OA＝x．
∴ON＝MN﹣OM＝﹣x，
∵ON∥FH，
∴，
∴．
解得：x＝2．
∴OA＝2；
③过点O作OM⊥DE于点M，如图，

可知OM＞OA，⊙O与矩形DEFG的边DE相离．
综上，以O为圆心，OA长为半径作圆，当⊙O与矩形DEFG的边相切时，AO的长为或2．
故答案为：或2．
19．（2022•渝中区模拟）如图，菱形ABCD中，AB＝2，DE⊥BC于点E，F为CD的中点，连接AE，AF，EF．若∠AFE＝90°，则△AEF的外接圆半径为 　　．

解答】解：延长EF交AD的延长线于G，如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝CD＝AB＝2，AD∥BC，
∴∠GDF＝∠C，
∵F是CD的中点，
∴DF＝CF，
在△DFG和△CFE中，
，
∴△DFG≌△CFE（ASA），
∴DG＝CE，GF＝EF，
∵∠AFE＝90°，
∴AF⊥EF，
∴AE＝AG，
设CE＝DG＝x，则AE＝AG＝2+x，
∵AG∥BC，DE⊥BC，F是CD的中点，
∴DE⊥AG，GF＝EF＝CD＝1，
∴EG＝2EF＝2，
在Rt△ADE和Rt△GDE中，由勾股定理得：DE2＝AE2﹣AD2＝EG2﹣DG2，
即（2+x）2﹣22＝22﹣x2，
解得：x＝﹣1，或x＝﹣﹣1（舍去），
∴DG＝﹣1，
∴AE＝AG＝AD+DG＝+1，
∵∠AFE＝90°，
∴AE是△AEF的外接圆的直径，
∴△AEF的外接圆半径为，
故答案为：．

20．（2022•永嘉县模拟）如图，在菱形ABCD中，∠A＝70°，过A，B，C三点的圆交AD的延长线于点E，连结BE，则∠ABE＝　75　度．

解：如图，设圆心为O，连接OA，OB，OC，OE，
∴OA＝OB＝OC＝OE，

在菱形ABCD中，AD∥BC，AB＝CB，
∴∠ABC＝180°﹣∠EAB＝180°﹣70°＝110°，
在△AOB和△BOC中，
，
∴△AOB≌△BOC（SSS），
∴∠OBA＝∠OBC，
∴∠OBA＝∠OBC＝∠OAB＝∠OCB＝ABC＝55°，
∵OA＝OE，OB＝OE，
∴∠OAE＝∠OEA，∠OBE＝∠OEB，
∵∠AEB+∠EAB+∠EBA＝180°，
∴2∠EAO+2∠EBO+2∠OAB＝180°，
∴∠EAO+∠EBO+∠OAB＝90°，
∵∠EAO+∠OAB＝70°，
∴∠EBO＝20°，
∴∠ABE＝∠EBO+∠OBA＝20°+55°＝75°．
故答案为：75．
三．解答题（共9小题，满分60分）
21．（6分）（2022•微山县二模）如图，在△ABC中，以△ABC的边AB为直径作⊙O，交AC于点D，DE是⊙O的切线，且DE⊥BC，垂足为点E．
（1）求证：AB＝BC；
（2）若DE＝3，AC＝6，求⊙O的半径．

（1）证明：连接OD，

∵DE是⊙O的切线，
∴OD⊥DE，
∵DE⊥BC，
∴OD∥BC，
∴∠ADO＝∠C，
∵OA＝OD，
∴∠A＝∠ADO，
∴∠A＝∠C，
∴BA＝BC；
（2）解：连接BD，

∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵BA＝BC，BD⊥AC，
∴AD＝CD＝AC＝3，
∵DE⊥BC，
∴∠DEC＝90°，
在Rt△DEC中，DE＝3，
∴CE＝＝＝9，
∵∠ADB＝∠DEC＝90°，∠A＝∠C，
∴△ADB∽△CED，
∴＝，
∴＝，
∴AB＝10，
∴⊙O的半径为5．
22．（6分）（2022•陇县二模）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且对角线BD为直径，过点A作⊙O的切线AE，与CD的延长线交于点E，已知DA平分∠BDE．
（1）求证：AE⊥DE；
（2）若⊙O的半径为5，CD＝6，求AD的长．

（1）证明：连接OA，

∵AE是⊙O切线，
∴∠OAE＝90°，
∵DA平分∠BDE，
∴∠ADE＝∠ADO，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ADO，
∴∠OAD＝∠ADE，
∴OA∥DE，
∴∠E＝180°﹣∠OAE＝90°，
∴AE⊥DE；
（2）解：过点O作OF⊥CD，垂足为F，

∴DF＝FC＝DC＝3，∠OFD＝90°，
∵∠OAE＝∠E＝90°，
∴四边形AEFO是矩形，
∴EF＝OA＝5，AE＝OF，
∴DE＝EF﹣DF＝5﹣3＝2，
在Rt△OFD中，，
∴AE＝OF＝4，
在Rt△AED中，，
∴AD的长是．
23．（6分）（2022•鞍山二模）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点E为AC边上一点，过C作CD∥AB交射线BE于点D，△ABC的外接圆O与BD交于点F，连接AF，AD，若∠BDC＝∠FAD．
（1）求证：AD为⊙O的切线；
（2）若BC＝6，∠ACB＝30°，求CE的长．

（1）证明：连接AO并延长交⊙O于点G，连接FG，

∵AG是⊙O的直径，
∴∠AFG＝90°，
∴∠FAG+∠G＝90°，
∵AB∥CD，
∴∠ABD＝∠BDC，
∵∠ABD＝∠G，∠BDC＝∠FAD，
∴∠G＝∠FAD，
∴∠FAD+∠FAG＝90°，
∴∠OAD＝90°，
∵OA是⊙O的半径，
∴AD为⊙O的切线；
（2）∵∠BAC＝90°，
∴BC是⊙O的直径，
∵BC＝6，∠ACB＝30°，
∴AB＝AB＝3，AC＝AB＝3，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA＝30°，
∵∠OAD＝90°，
∴∠CAD＝∠OAD﹣∠OAC＝60°，
∵AB∥CD，
∴∠ACD＝∠BAC＝90°，
∴CD＝AC•tan60°＝3×＝9，
∵∠AEB＝∠CED，
∴△AEB∽△CED，
∴＝＝＝，
∴CE＝AC＝，
∴CE的长为．
24．（6分）（2022•铜仁市三模）如图，点C在以AB为直径的⊙O上，BD平分∠ABC交⊙O于点D，过D作BC的垂线，垂足为E．
（1）求证：DE与⊙O相切；
（2）请用线段AB、BE表示CE的长，并说明理由．

（1）证明：如图1，连接OD，

∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠EBD，
∵OD＝OB，
∴∠ODB＝∠ABD，
∴∠EBD＝∠ODB，
∴OD∥BE，
∵DE⊥BE，
∴OD⊥DE，
∵OD是半径，
∴DE与⊙O相切；
（2）解：AB﹣BE＝CE，理由如下：
如图2，过点D作DF⊥AB于点F，

∵DF⊥AB，DE⊥BE，
∴∠DFB＝∠DEB＝90°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBF＝∠DBE，
在△DBF和△DBE中，
，
∴△DBF≌△DBE（AAS），
∴BE＝BF，DE＝DF，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠DCE＝∠A，
在△DFA和△DEC中，
，
∴△DFA≌△DEC（AAS），
∴AF＝CE，
∵AB﹣BF＝AF，
∴AB﹣BE＝CE．
25．（6分）（2022•虞城县模拟）如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，射线AD切⊙O于点A，过点B作BF∥AC，交⊙O于点E，交AD于点F．
（1）求证：四边形ACBF为平行四边形；
（2）连接CE，延长BO交FA的延长线于点G，若BC＝6．CE＝3，求BG的长．


（1）证明：如图，连接AO并延长交BC于点H，
∵AB＝AC，
∴弧AB＝弧AC，
∵AH经过圆心O，
∴AH⊥BC，
∵AD切⊙O于点A，
∴AO⊥AD，
∴AD∥BC，
∵BF∥AC，
∴四边形ACBF为平行四边形；
（2）解：∵BF∥AC，
∴∠ABF＝∠BAC，
∴弧AE＝弧BC，
∴弧AB＝弧EC，
∴EC＝AB＝3，
∵BH＝BC＝3，
∴AH＝9，
设半径OA＝OB＝x，则OH＝9﹣x，
在Rt△OBH中，根据勾股定理得，
32+（9﹣x）2＝x2，
∴x＝5，
∴OH＝4，
∵AG∥BH，
∴△AOG∽△HOB，
∴＝，
∴＝，
∴OG＝，
∴BG＝OB+OG＝5+＝．
26．（6分）（2022•佛山模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，O为AB上一点，经过点A，D的⊙O分别交AB，AC于点E，F连接OF交AD于点G．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若∠OFA＝60°，半径为4，在圆O上取点P，使∠PDE＝15°，求点P到直线DE的距离．

（1）证明：连接OD，如图，

∵AD平分∠BAC交BC于点D，
∴∠OAD＝∠CAD．
∵OA＝OD，
∴∠ODA＝∠OAD，
∴∠ODA＝∠CAD，
∴OD∥AC，
∴∠ODC+∠C＝180°．
∵∠C＝90°，
∴∠ODC＝90°，
∴OD⊥BC，
∵OD是⊙O的半径，
∴BC是⊙O的切线；
（2）解：①当点P在上时，PH的长为点P到直线DE的距离，
连接OD，OP，过点O作OM⊥DE于点M，过点P作PN⊥OM于点N，如图，

∵OA＝OF，
∴∠OAF＝∠OFA＝60°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠DAC＝30°，
∴∠EOD＝60°，
∵OE＝OD，
∴△ODE是等边三角形，
∴DE＝OE＝4．
∵OM⊥DE，
∴DM＝EM＝2，∠EOM＝∠EOD＝30°，
∴OM＝2．
∵∠PDE＝15°，
∴∠POE＝30°，
∴∠POM＝∠POE+∠EOM＝60°．
∵PN⊥OM，
∴ON＝OP•cos60°＝2，
∴MN＝OM﹣ON＝2﹣2．
∵PH⊥DE，OM⊥DE，PN⊥OM，
∴四边形PHMN为矩形，
∴PH＝MN＝2﹣2．
∴点P到直线DE的距离为2﹣2；
②当点P在上时，
连接OP，交DE于点H，如图，

∵∠EOP＝2∠PDE，∠PDE＝15°，
∴∠EOP＝30°．
由①知：∠EOD＝60°，
∴∠EOP＝∠EOD，
即OP为∠EOD的平分线，
∵OE＝OD，
∴OH⊥DE，
∴PH的长为点P到直线DE的距离，
∵OH＝OD•cos30°＝2，
∴PH＝OP﹣OH＝4﹣2．
综上，若∠PDE＝15°，则点P到直线DE的距离为2﹣2或4﹣2．
27．（7分）（2022•河东区二模）已知AB是⊙O直径，PC，PB分别切⊙O于点C，B．
（Ⅰ）如图①，若∠A＝58°，求∠P的度数；
（Ⅱ）如图②，延长OB到点D，使BD＝OB，连接PD，若∠DPC＝81°，求∠D的度数．

解：（Ⅰ）如图，连接OC，
∵PC，PB分别切⊙O于点C，B，AB是直径，
∴∠PCO＝∠PBO＝90°，
∵OC＝OA，
∴∠A＝∠ACO＝58°，
∴∠BOC＝∠A+∠ACO＝116°，
∴∠P＝360°﹣90°﹣90°﹣116°＝74°；

（Ⅱ）如图，连接OP，
∵PC，PB分别切⊙O于点C，B，AB是直径，
∴∠CPO＝∠BPO，∠PBO＝90°，
∵BD＝OB，
∴PB是OD的垂直平分线，
∴PO＝PD，
∴∠OPB＝∠DPB，
∴∠OPB＝∠DPB＝∠CPO，
∵∠DPC＝81°，
∴∠OPB＝∠DPB＝∠CPO＝81°＝27°，
∴∠D＝90°﹣27°＝63°．
28．（8分）（2022•西青区二模）已知PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，C为⊙O上一点，连接AC，BC．

（Ⅰ）如图①，若∠APB＝70°，求∠ACB的大小；
（Ⅱ）如图②，AE为⊙O的直径交BC于点D，若四边形PACB是平行四边形，求∠EAC的大小．

解：（Ⅰ）如图①，连接OA、OB，
∵PA，PB是⊙O的切线，
∴PA⊥OA，PB⊥OB，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，
∵∠APB＝70°，
∴∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣70°＝110°，
∴∠ACB＝∠AOB＝55°，
∴∠ACB的大小为55°；

（Ⅱ）连接CE，AB，OB，
∵AE为⊙O的直径，
∴∠ACE＝90°，
∵四边形PACB是平行四边形，
∴∠ACB＝∠P，
∴∠BCE＝90°﹣∠P，
∴∠BAE＝∠BCE＝90°﹣∠P，
∵∠AOB＝180°﹣∠P，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠ABO＝（180°﹣∠AOB）＝∠P，
∴∠ACE＝∠ACB+∠BCE＝∠P+∠P＝90°，
∴∠P＝60°，
∴∠ACB＝60°，∠BAE＝∠BCE＝30°，
∵AC∥PB，
∴＝，
∴∠EAC＝30°．
29．（9分）（2022•梅州模拟）如图，△ABC为⊙O的内接三角形，AD⊥BC，垂足为D，直径AE平分∠BAD，交BC于点F，连结BE．
（1）求证：∠AEB＝∠AFD；
（2）若AB＝10，BF＝5，求DF的长；
（3）若点G为AB的中点，连结DG，若点O在DG上，求BF：FC的值．

（1）证明：∵AE为⊙O的直径，
∴∠ABE＝90°，
∴∠BAE+∠AEB＝90°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADF＝90°，
∴∠AFD+∠FAD＝90°，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠FAD，
∴∠AEB＝∠AFD；
（2）解：如图1，过点B作BM⊥AE于点M．

∵∠AFD＝∠BFE，∠AFD＝∠AEB，
∴∠BFE＝∠AEB，
∴BF＝BE＝5，
∵AB＝10，∠ABE＝90°，
∴AE＝，
∵S△ABE＝AB•BE＝AE•BM，
∴BM＝，
∴EM＝FM＝，
∵∠BMF＝∠ADF＝90°，∠AFD＝∠BFM，
∴△BFM∽△AFD，
∴，
∴，
∴DF＝2；
（3）解：∵∠ADB＝90°，G为AB的中点，
∴AG＝DG＝BG，
∵O为AE的中点，G为AB的中点，
∴OG∥BE，
∵∠ABE＝90°，
∴∠AGD＝90°，
∴△ADG为等腰直角三角形，
∴∠GAD＝45°，
∴∠ABD＝45°，
过点F作FH⊥AB于点H，如图2，

∵AF平分∠BAD，
∴FD＝FH，
∵∠ABD＝45°，
∴BF＝FH＝FD，
∵∠AFD＝∠AEB，∠AEB＝∠C，
∴∠AFD＝∠C，
∴AF＝AC，
又∵AD⊥BC，
∴FD＝DC，
设FD＝DC＝x，则BF＝x，
∴