初中数学19.1.1 变量与函数教案设计

第九讲  变量与函数

一、知识梳理：

考点1  常量、变量、自变量、函数、函数值

定义：在一个变化过程中：发生变化的量叫做变量；不变的量叫做常量。

设在某一变化过程中有两个变量x和y，如果对于x的每一个值，y总有唯一的值与它对应，我们就说x是自变量，y是x的函数。如果当x=a时y=b，那么b叫做当自变量的值为a时的函数值．

考点2  函数的表示方法

函数的表示方法为解析法、列表法和图像法，这三种方法在解决问题时是可以相互转化的。

① 解析法：把两个变量的函数关系用一个等式来表示，该等式简称解析式。

② 列表法：列出表格来表示两个变量的函数关系。   

③ 图像法：用图像表示两变量之间的关系。

考点3  函数图象

一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象（graph）

画函数图像的一般步骤  1、列表  2、描点  3、连线。

考点4  函数自变量的取值范围：

一个函数关系式的自变量取值是有一定范围的，自变量取值范围必须使关系式或题中条件有意义。

1. 分母不为0。
2. 偶次根式根号里面是非负数。
3. 实际问题自变量取值范围。

二、课堂精讲：

（一）读图

例1.下面的图象反映的过程是小明从家去菜地浇水，又去玉米地锄草，然后回家。其中x表示时间，y表示小明离家的距离。

根据图象回答问题：

（1）菜地离小明家多远？小明走到菜地用了多少时间？；

（2）小明给菜地浇水用了多少时间？

（3）菜地离玉米地多远？小明从菜地到玉米地用了多少时间？

（4）小明给玉米锄草用了多少时间？

（5）玉米地离小明家多远？小明从玉米地走回家的平均速度是多少？

【随堂演练一】【A类】

1．下列各图表示的函数是是的函数的（   ）

2. 如图所示，货车匀速通过隧道（隧道长大于货车长）时，货车从进入隧道至离开隧道的时间x与货车在隧道内的长度y之间的关系用图象描述大致是（     ）

3. 甲、乙两人沿相同的路线由A地到B地匀速前进，A，B两地间的路程为20千米，他们前进的路程为s（单位：千米），甲出发后的时间为t（单位：小时），甲、乙前进的路程与时间的函数图像如图所示.根据图像信息，下列说法正确的是（     ）

1. 甲的速度是4千米/小时     B.乙的速度是10千米/小时

C.乙比甲晚出发1小时          D.甲比乙晚到B地3小时

4.一个装有进水管和出水管的容器，从某时刻起只打开进水管进水，经过一段时间，再打开出水管放水．至12分钟时，关停进水管．在打开进水管到关停进水管这段时间内，容器内的水量y（单位：升）与时间x（单位：分钟）之间的函数关系如图所示．关停进水管后，经过_____分钟，容器中的水恰好放完．

5. 如图所示，在矩形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC，CD，DA运动至点A停止，设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，如果y关于x的函数图象如图所示，那么△ABC的面积是______．

（二）解析式及自变量取值范围

例2.（1）写出下列函数中自变量x的取值范围：

（2）根据所给的条件，写出y与x的函数关系式，并写出自变量的取值范围。

矩形的周长是18 cm ,它的长是 ycm，宽是xcm。

【随堂演练二】【A类】

1.求下列函数自变量x的取值范围。

2.下列函数中，自变量x的取值范围为x＜1的是（    ）

   A.    B.  C.     D.

3.n边形的内角和，其中自变量的取值范围是（    ）

A．全体实数 B．全体整数  C．  D．大于或等于3的整数

4.写出等腰三角形的顶角度数y与底角x的关系，并求出自变量的取值范围。

5.汽车由永泰驶往相距1200公里外的上海，它的平均速度是100 公里/小时，写出汽车距上海的距离s（公里）与行驶时间t（小时）的函数关系式，并写出自变量的取值范围。

6.某市出租汽车收费标准如下：3千米以内（含3千米）收费8元；超过3千米的部分，每千米收费1.4元。（1）写出应收车费y（元）与出租汽车行驶路程x（千米）之间的函数关系式。

（2）小明乘坐出租车行驶4千米应付多少元？（3）若小华付车费19.2元，则出租车行驶了多少千米？

（三）函数图像的画法

例3.一辆汽车的油箱中现有汽油50L，如果不再加油，那么油箱中的油量y（单位：L）随行驶里程x（单位：km）的增加而减少，平均耗油量为0.1L/km。求：

（1）写出表示y与x的函数关系式。并在平面直角坐标系中画出函数图象。

（2）指出自变量x的取值范围。

（3）汽车行驶200km时，油箱中还有多少汽油？

【随堂演练三】【A类】

1．在一次函数中，已知，则      ；若已知,则       

2．已知点P（，4）在函数的图象上，则　　　　

3.一水库的水位在最近5个小时内持续上涨，下表记录了这5个小时水位高度.

（1）由记录表推出这5个小时中水位高度y(单位米)随时间t （单位：时）变化的函数解析式，并画出函数图象；

（2）据估计这种上涨的情况还会持续2个小时，预测再过2个小时水位高度将达到多少米？

三．小结：

四、课后巩固练习

【A类】

一、填空：

1．函数中，当时，       ，当时，     

2．点在函数的图象上，则点的坐标是       

3．x=___________时，函数y=3x-2与函数y=5x+1有相同的函数值．

4.若变量x与y的关系由方程2x+3y-1=0确定，则y与x的函数解析式为______________.

5.一辆汽车的油箱中有汽油40升，该车每千米油耗为0.4升，请写出油箱剩余油量Q（升）与行驶路程s（千米）之间的函数关系式，并确定自变量取值范围.______________.

二、我会选择。（选择正确的答案的序号填在括号内。）

1. 在函数自变量的取值范围是 （    ）

A.      B.     C.       D.

2．如果每盒圆珠笔有12支，售价为18元，那么圆珠笔的售价（元）与支数之间的函数关系式为（    ）

A．  B．  C．  D．

3．油箱中有油20升，油从管道中匀速流出，100分钟流完．油箱中剩油量（升）与流出的时间（分）间的函数关系式是（    ）

A．  B．  C．  D．

4.下列有序实数对中，是函数中自变量与函数值的一对对应值的是（     ）

A．  B．  C．  D．

5．汽车由北京驶往相距120千米的天津，它的平均速度是30千米/时，则汽车距天津的路程S（千米）与行驶时间t（时）的函数关系及自变量的取值范围是（   ）

    A．S=120-30t（0≤t≤4）     B．S=30t（0≤t≤4）

    C．S=120-30t（t>0）         D．S=30t（t=4）

6．长方形的周长为24cm，其中一边为x（其中x>0），面积为，则这样的长方形中与的关系可以写为（     ）

 A.    B.    C.    D.

7. 函数中自变量x的取值范围是（     ）

A．≥－3 B．≥－3且   C．  D．且

8. 在今年我市初中学业水平考试体育学科的女子800米耐力测试中，某考点同时起跑的小莹和小梅所跑的路程 S （米）与所用时间 t （秒）之间的函数图象分别为线段OA和折线OBCD . 下列说法正确的是（    ）

A.小莹的速度随时间的增大而增大      B.小梅的平均速度比小莹的平均速度大

C.在起跑后 180 秒时，两人相遇       D.在起跑后 50 秒时，小梅在小莹的前面

9. 如图所示，在矩形ABCD中，垂直于对角线BD的直线，从点B开始沿着线段BD匀速平移到D．设直线被矩形所截线段EF的长度为y，运动时间为t，则y关于t的函数的大致图象是（    ）

10．晚饭后，小红从家里出发去散步，图描述了她散步过程中离家（米）与散步所用的时间（分）之间的函数关系．依据图象，下面描述符合小红散步情景的是（   ）

A．从家出发，到了一个公共阅报栏，看了一会报后，就回家了

B．从家出发，一直散步（没有停留），然后回家了

C．从家出发，散了一会步，就找同学去了，18分钟后才开始返回

D．从家出发，到了一个公共阅报栏，看了一会报后，继续向前走了一会，然后回家了

三、解答题

1．弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度y（cm）与所挂物体的质量x（kg）有如下关系：

（1）请写出弹簧总长y（cm）与所挂物体质量x（kg）之间的函数关系式．

（2）当挂重10千克时弹簧的总长是多少？

2.小丁每天从报社以每份0.5元买进报纸200份，然后以每份1元卖给读者，卖不完，当天可退回，但只按0.2退给，如果平均卖出x份，纯收入为y元。

（1）求y与x之间的函数关系式（要求写出自变量x的取值范围）；

（2）如果每月30天计算，至少要卖多少才能保证每月收入不低于2000元？

3.一农民带上若干千克自产的土豆进城出售，为了方便，他带了一些零钱备用，按市场价售出一些后，又降价出售，售出的土豆千克数与他手中持有的钱数（含备用零钱）的关系，如图所示，结合图象回答下列问题。

  （1）农民自带的零钱是多少？      （2）试求降价前y与x之间的函数关系式？

  （3）降价前每千克土豆的价格是多少？

（4）降价后他按每千克0.4元将剩余土豆售完，这时他手中的钱（含备用零钱）是26元，试问他一共带了多少千克土豆去卖？

第九讲  一次函数【答案】

例1（1）1.1千米，15分钟   （2）10分钟   （3）0.9千米，12分钟 （4）18分钟

    （5）2千米，0.08千米/分。

【随堂演练一】【A类】

例2.（1）x＞0， x≥-2，且x≠1

（2） 解：y=（18-2x）/2 =9-x  （0＜x＜9）

【随堂演练二】【A类】

1. （1）x≠1  （2）x≤6
2. 选D
3. 选D

4.解：y=180-2x （0＜x＜90）

5.解：s=1200-100t （ 0≤ t≤12 ）

6.（1）0＜x≤3时，y=8； x＞3时，y=8+1.4（x-3）=1.4x+3.8

  （2）9.4元  （3）11千米

例3（1）y=50-0.1x   （2）0≤x≤500  （3）30升

【随堂演练三】【A类】

1.     y=-3,x=1   
2.     a=1   

3.（1）y=10+0.05t   （2）10.35米

三．小结：

四、课后巩固练习

【A类】

一、填空：

二、选择

三、解答

1.     （1）y=12+0.5x    （2）17cm
2.     （1）y=x+0.2(x-200)-0.5×200=1.2x-140（0≤x≤200）

   （2）1.2x-140≥2000÷30 

        答：至少要卖173份。

3.        （1）5元   （2）y=5+0.5x   （3）0.5元/千克   （4）45千克