高中数学北师大版 (2019)必修 第一册4.1 一元二次函数学案

§4　一元二次函数与一元二次不等式

4.1　一元二次函数

1．函数y＝a(x－h)2＋k(a≠0)中，a，h，k分别对该函数的图象起了什么作用？

2．如何确定函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象开口方向、对称轴、顶点坐标、单调区间和最值？

1．抛物线

通常把一元二次函数的图象叫作抛物线．

2．一元二次函数的图象变换

一元二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象可以由y＝ax2的图象经过向左(或向右)平移|h|个单位长度，再向上(或向下)平移|k|个单位长度而得到．

3．一元二次函数的性质

(1)如何把二次函数的一般式化成顶点式？

(2)①能否仅通过平移函数y＝x2的图象得到y＝2的图象？

②二次函数y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的参数a对其图象的开口大小与方向有什么影响？

[提示]　(1)y＝ax2＋bx＋c＝a＋c＝a＋c

＝a＋c＝a2－＋c＝a2＋

(2)①不能，平移只改变图象的位置，不改变其形状，而二者形状不同．

②当a>0时，图象开口向上，a值越大，开口越小；

当a<0时，图象开口向下，a值越大，开口越大．

1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)函数y＝2x2与y＝－2x2的图象开口大小相同，开口方向相反．(　　)

(2)函数y＝2(x－1)2＋1的图象可由函数y＝2x2的图象向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到．(　　)

(3)函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在上y随x的增大而增大．(　　)

(4)函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在x＝－处取得最大值．(　　)

[答案]　(1)√　(2)√　(3)×　(4)×

2.若函数y＝x2＋2(2a－1)x＋2在区间(－∞，7]上y随x的增大而减小，则实数a的取值范围是(　　)

A．{－3} B．(－3，＋∞)

C．(－∞，－3] D．[－3，＋∞)

C　[由y在(－∞，7]上递减，可知－(2a－1)≥7，所以a≤－3.]

3.函数y＝x2－1的最小值是________．

－1　[y＝x2－1≥－1，所以函数的最小值为－1.]

4.函数y＝x2＋2x＋3的图象可由y＝x2＋x的图象向左移________单位长度，再向上平移________个单位长度得到．

　　[y＝x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2，y＝x2＋x＝－，将y＝x2＋x的图象向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度即得到y＝x2＋2x＋3的图象．]

类型1　二次函数的图象及应用

【例1】　在同一坐标系中作出下列函数的图象．

(1)y＝x2；(2)y＝x2－2；(3)y＝2x2－4x.

并分析如何把y＝x2的图象变换成y＝2x2－4x的图象．

[解]　列表：

描点、连线即得相应函数的图象，如图所示．

由图象可知由y＝x2到y＝2x2－4x的变化过程如下．

法一：先把y＝x2的图象向右平移1个单位长度得到y＝(x－1)2的图象，然后把y＝(x－1)2的图象横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍，得到y＝2(x－1)2的图象，最后把y＝2(x－1)2的图象向下平移2个单位长度便可得到y＝2x2－4x的图象．

法二：先把y＝x2的图象向下平移1个单位长度得到y＝x2－1的图象，然后再把y＝x2－1的图象向右平移1个单位长度得到y＝(x－1)2－1的图象，最后把y＝(x－1)2－1的图象横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍，便可得到y＝2(x－1)2－2，即y＝2x2－4x的图象．

任意二次函数y＝ax2＋bx＋c都可转化为y＝a(x＋h)2＋k的形式，都可由y＝ax2图象经过适当的平移得到，具体平移方法，如图所示：

上述平移规律为：“h正左移，h负右移”；“k正上移，k负下移”．

1．如何把y＝2x2－4x的图象变换成y＝x2的图象？

[解]　∵y＝2x2－4x＝2(x－1)2－2，

故可先把y＝2x2－4x的图象向上平移2个单位长度得到y＝2(x－1)2的图象，

然后再把y＝2(x－1)2的图象向左平移1个单位长度，得到y＝2x2的图象，

最后把y＝2x2的图象纵坐标变为原来的，便可得到y＝x2的图象．

类型2　一元二次函数图象的应用

【例2】　已知二次函数y＝3x2－2x－1.

(1)求其顶点坐标；

(2)判断其在区间上是增加的还是减小的；

(3) 当x取何值时，y＝0?

[解]　(1)配方得y＝3x2－2x－1＝32－，

所以其顶点坐标为.

(2)由于该函数在区间上是减小的，且⊆，所以该函数在区间上也是减小的．

(3)y＝0，即3x2－2x－1＝0，

解得x＝1或－，

所以，当x＝1或－时，y＝0.

观察图象主要是把握其本质特征：开口方向决定a的符号，在y轴上的交点决定c的符号(值)，对称轴的位置决定－的符号，另外还要注意与x轴的交点、函数的单调性等．

2．如图是一元二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象过点A(－3,0)，对称轴为x＝－1.给出下面四个结论：

①b2>4ac；②2a－b＝1；③a－b＋c＝0；④5a<b.

其中正确的是(　　)

A．②④ B．①④

C．②③ D．①③

B　[因为图象与x轴交于两点，

所以b2－4ac>0，即b2>4ac，①正确；

对称轴为x＝－1，即－＝－1,2a－b＝0，②错误；

结合图象，当x＝－1时，y>0，即a－b＋c>0，③错误；

由对称轴为x＝－1知，b＝2a.又函数图象开口向下，所以a<0，所以5a<2a，即5a<b，④正确．]

类型3　一元二次函数解析式的求法

【例3】　已知一元二次函数的最大值是8，且当x＝2时，y＝－1；当x＝－1时，y＝－1.求此一元二次函数的解析式．

[解]　法一：(利用一般式)：

设y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．

由题意得解得

∴所求一元二次函数的解析式为y＝－4x2＋4x＋7.

法二：(利用顶点式)：

设y＝a(x－m)2＋n.

∵当x＝2时，y＝－1，且x＝－1时，y＝－1.

∴抛物线的对称轴为x＝＝.

∴m＝.又根据题意知函数有最大值8，

∴n＝8.

∴y＝a2＋8.

又抛物线过点(2，－1)，

∴a2＋8＝－1，解得a＝－4，

∴y＝－42＋8＝－4x2＋4x＋7.

求一元二次函数解析式的方法，应根据已知条件的特点，选用解析式的形式，利用待定系数法求解．

(1)若已知条件是图象上的三个点，则设所求一元二次函数为一般式y＝ax2＋bx＋c，a，b，c为常数，a≠0的形式．

(2)若已知一元二次函数图象的顶点坐标或对称轴方程与最大(小)值，则设所求一元二次函数为顶点式y＝a(x－h)2＋k(其中顶点(h，k)，a为常数，a≠0)．

(3)若已知一元二次函数图象与x轴的两个交点的坐标为(x1,0)，(x2,0)，则设所求一元二次函数为两根式y＝a(x－x1)(x－x2)(a为常数，且a≠0.)．

3．根据下列条件，求一元二次函数的解析式：

(1)图象过点(1,1)，(0,2)，(3,5)；

(2)图象顶点为(1,2)并且过点(0,4)；

(3)图象过点(2,0)，(4,0)，(0,3)．

[解]　(1)设函数解析式为y＝ax2＋bx＋c，

由题设知⇒

∴函数解析式为y＝x2－2x＋2.

(2)设所求函数解析式为y＝a(x－1)2＋2.

整理得y＝ax2－2ax＋a＋2，∴a＋2＝4，

∴a＝2.

∴解析式为y＝2x2－4x＋4.

(3)设所求函数解析式为y＝a(x－2)(x－4)，

整理得y＝ax2－6ax＋8a，

∴8a＝3，∴a＝.

∴解析式为y＝(x－2)(x－4)．

类型4　一元二次函数在闭区间上的最值问题

　轴定区间定

【例4】　求一元二次函数y＝－x2＋4x－2在区间[0,3]上的最大值和最小值．

[解]　函数y＝－x2＋4x－2＝－(x－2)2＋2是定义在区间[0,3]上的一元二次函数，其对称轴方程是x＝2，顶点坐标为(2,2)，且其图象开口向下，显然其顶点横坐标在[0,3]上，

如图所示．在区间[0,3]上，

函数y在x＝2处取得最大值，即ymax＝2；函数y在x＝0处取得最小值，即ymin＝－2.

　轴定区间变

【例5】　如果函数y＝(x－1)2＋1定义在区间[t，t＋1]上，求函数的最小值．

[解]　函数y＝(x－1)2＋1，其对称轴方程为x＝1，顶点坐标为(1,1)，图象开口向上．

如图(1)所示，若顶点横坐标在区间[t，t＋1]左侧时，有t>1，此时，当x＝t时，函数取得最小值ymin＝(t－1)2＋1.

如图(2)所示，若顶点横坐标在区间[t，t＋1]上时，有t≤1≤t＋1，即0≤t≤1.当x＝1时，函数取得最小值ymin＝1.

如图(3)所示，若顶点横坐标在区间[t，t＋1]右侧时，有t＋1<1，即t<0.当x＝t＋1时，函数取得最小值ymin＝t2＋1.

图(1)　　　 图(2)　　　图(3)

综上可知，ymin＝

　轴变区间定

【例6】　求函数y＝－x(x－a)在[－1,1]上的最大值．

[解]　函数y＝－2＋图象的对称轴方程为x＝，应分<－1，－1≤≤1，>1，即a<－2，－2≤a≤2和a>2这三种情形讨论．

(1)当a<－2时，函数大致图象如图①所示，由图可知ymax＝－a－1；

(2)当－2≤a≤2时，函数大致图象如图②所示，由图可知ymax＝；

(3)当a>2时，函数大致图象如图③所示，由图可知ymax＝a－1.

　　               　图①　　　图②　 　图③

∴ymax＝

求一元二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)在[m，n]上的最值的步骤：

(1)配方，找对称轴；

(2)判断对称轴与区间的关系；

(3)求最值．若对称轴在区间外，则一元二次函数在[m，n]的端点处取得最值；若对称轴在区间内，则在对称轴取得最小值，最大值在[m，n]端点处取得．

4．当x≥0，y≥0，且x＋2y＝1，那么2x＋3y2的最小值为________．

　[由x≥0，y≥0，x＝1－2y≥0知0≤y≤，

令t＝2x＋3y2＝3y2－4y＋2，

∴t＝32＋.

其在上，函数值t随自变量y的增大而减小，当y＝时，t取到最小值，tmin＝.]

1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)y＝ax2＋bx＋c是二次函数．(　　)

(2)函数y＝ax2＋bx＋c的图象一定与y轴相交．(　　)

(3)二次函数y＝2x2与y＝－2x2的图象开口大小相同，开口方向相反．(　　)

(4)把函数y＝x2图象上的每一点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，可得到函数y＝2x2的图象．(　　)

[答案]　(1)×　(2)√　(3)√　(4)√

2．函数y＝－(x－1)2＋4的图象的顶点坐标是(　　)

A．(－1,4) B．(－1，－4)

C．(1，－4) D．(1,4)

[答案]　D

3．已知函数y＝ax2＋bx＋c，如果a>b>c且a＋b＋c＝0，则它的图象可能是

(　　)

　A　　　 B　　 　　C　　　D

D　[∵a>b>c，且a＋b＋c＝0，∴a>0，c<0.]

4．若抛物线y＝x2－(m－2)x＋m＋3的顶点在y轴上，则m的值为________．

2　[因为抛物线y＝x2－(m－2)x＋m＋3的顶点在y轴上，所以顶点横坐标－＝＝0，故m＝2.]

5．已知某二次函数的图象与x轴交于A(－2,0)，B(1,0)，且过点C(2,4)，则该二次函数的表达式为_______．

[答案]　y＝x2＋x－2