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人教A版 (2019)必修 第一册3.2 函数的基本性质第1课时课时练习
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3.2 函数的基本性质
3.2.1 单调性与最大(小)值
第1课时 函数的单调性
1.C [解析] 由图像知f(x)的单调递增区间为[-3,1],故选C.
2.A [解析] 对于A,y=|x|在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,故A正确;对于B,y=-x+1在R上单调递减,所以在(0,+∞)上也单调递减,故B错误;对于C,y=x2-3x在-∞,上单调递减,在,+∞上单调递增,所以函数y=x2-3x在(0,+∞)上不单调,故C错误;对于D,y=在(0,+∞)上单调递减,故D错误.故选A.
3.B [解析] 因为函数f(x)在R上单调递减,f(4+a)≥f(-a),所以4+a≤-a,解得a≤-2,故选B.
4.A [解析] 函数f(x)=x2+2(a-1)x+2的图像开口向上,对称轴方程为x=1-a.∵函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-∞,4]上单调递减,∴1-a≥4,解得a≤-3.故选A.
5.C [解析] 对于函数y=,有-x2+4x+12≥0,即x2-4x-12≤0,解得-2≤x≤6,所以函数y=的定义域为[-2,6].函数y=-x2+4x+12在区间[-2,2)上单调递增,在区间[2,6]上单调递减,函数y=为定义域上的增函数,因此,函数y=的单调递减区间为[2,6].故选C.
6.A [解析] 由图可知,f(x)在(-∞,-1),(1,+∞)上单调递增,在(-1,1)上单调递减,则a+1≤-1或或a-1≥1,解得a≤-2或a=0或a≥2,故a的取值集合为{a|a=0或a2≥4}.
7.D [解析] 由单调性的定义可知,不能用特殊值代替一般值,故y=f(x)的单调性不能确定.
8.AB [解析] 因为二次函数f(x)=ax2-x+4对任意的x1,x2∈(-1,+∞),且x1≠x2,都有<0,所以f(x)在(-1,+∞)上单调递减.因为f(x)的图像的对称轴方程为x=,所以解得-≤a<0.故选AB.
9.(-∞,-1),(-1,2) [解析] 令x2-4x-5=0,解得x=-1或x=5,所以函数f(x)的定义域为(-∞,-1)∪(-1,5)∪(5,+∞).因为y=x2-4x-5在(-∞,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增,所以函数f(x)=的单调递增区间为(-∞,-1),(-1,2).
10.13 [解析] ∵函数f(x)在(-∞,-2]上单调递减,在[-2,+∞)上单调递增,∴f(x)的图像的对称轴方程为x==-2,解得m=-8,则f(x)=2x2+8x+3,故f(1)=13.
11.(0,1] [解析] 因为f(x)=-x2+2ax在区间[1,2]上单调递减且f(x)的图像的对称轴方程为x=a,所以a≤1,又g(x)=在区间[1,2]上单调递减,所以a>0,所以0<a≤1,即a的取值范围为(0,1].
12.(-∞,-2) -2 [解析] 由已知得f(x)=所以f(x)的单调递减区间为(-∞,-2).因为g(x)=在R上为减函数,所以当x<k时,g(x)=|x+2|+1单调递减,当x≥k时,g(x)=kx-3单调递减,且|k+2|+1≥k2-3,所以解得k=-2.
13.解:(1)f(x)=-x2+2|x|+3=画出函数f(x)的图像如图所示.
(2)由(1)中函数f(x)的图像可得,函数f(x)的单调递增区间为(-∞,-1),(0,1),单调递减区间为(-1,0),(1,+∞).
(3)当x≥0时,f(x)=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,
故当x=1时,f(x)max=4;
同理可得,当x<0时,f(x)max=4.
综上,f(x)的值域为(-∞,4].
14.解:(1)当a=4时,f(x)=在(2,+∞)上单调递减.
证明:任取x1,x2∈(2,+∞),且x1<x2,
则f(x1)-f(x2)=-==,
由x2>x1>2得x2-x1>0,x2-2>0,x1-2>0,
所以f(x1)-f(x2)=>0,
即f(x1)>f(x2),所以函数f(x)在(2,+∞)上单调递减.
(2)若函数f(x)在区间(2,+∞)上单调递减,则a>-2.
证明:任取x1,x2∈(2,+∞),且x1<x2,
则f(x1)-f(x2)=-==,
由x2>x1>2得x2-x1>0,x2-2>0,x1-2>0,由a>-2得a+2>0,
所以f(x1)-f(x2)=>0,
即f(x1)>f(x2),所以函数f(x)在(2,+∞)上单调递减.
15.C [解析] f(x)=x2-2x+1的图像的对称轴方程为x=2,所以f(x)在区间(-∞,2]上单调递减.由已知得g(x)==+-2,g(x)在区间(-,0)和(0,)上单调递减,在区间(-∞,-]和[,+∞)上单调递增.若函数f(x)=x2-2x+1是区间I上的“缓减函数”,则f(x)在区间I上单调递减,函数g(x)==+-2在区间I上单调递增,则区间I为(-∞,-]或[,2].故选C.
16.D [解析] 设x1,x2∈R,且x1<x2,则f(x2)-f(x1)=f[(x2-x1)+x1]-f(x1)=f(x2-x1)+f(x1)-1-f(x1)=f(x2-x1)-1.∵x2-x1>0,且当x>0时,f(x)>1,∴f(x2-x1)>1,即f(x2)-f(x1)>0,即f(x1)<f(x2),∴f(x)在R上是增函数.∵f(3)=f(1+2)=f(1)+f(2)-1=f(1)+[f(1)+f(1)-1]-1=3f(1)-2=4,∴f(1)=2.故选D.
17.解:(1)函数f(x)在(0,+∞)上单调递增.
证明:设0<x1<x2,则f(x1)=2+,f(x2)=2+,
f(x2)-f(x1)=-=,由0<x1<x2,得x2-x1>0,x1+1>0,x2+1>0,
所以f(x2)-f(x1)>0,即f(x2)>f(x1),故f(x)在(0,+∞)上单调递增.
(2)由f(x)=在(0,+∞)上单调递增,得
即<m<1,故实数m的取值范围为<m<1.
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