高中数学5.4 三角函数的图象与性质第2课时导学案

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【课前预习】
知识点
[-1,1] [-1,1] 2kπ-π2,2kπ+π2 2kπ+π2,2kπ+3π2 [2kπ-π,2kπ] [2kπ,2kπ+π] π2+2kπ -π2+2kπ 2kπ 2kπ+π
诊断分析
(1)× (2)× (3)× (4)√ (5)√ [解析] (2)当x∈0,π4时,x+π4∈π4,π2,故函数y=csx+π4在0,π4上单调递减.
【课中探究】
探究点一
例1 (1)> (2)< (3)> (4)> [解析] (1)因为函数y=sin x在π2,π上单调递减,且π2<1017π<1117π<π,所以sin1017π>sin1117π.
(2)cs-335π=cs335π=cs6π+35π=cs 35π,cs-94π=cs94π=cs2π+π4=csπ4.∵0<π4<35π<π,且y=cs x在[0,π]上单调递减,∴cs35π(3)cs 870°=cs(720°+150°)=cs 150°,sin 980°=sin(720°+260°)=sin 260°=sin(90°+170°)=cs 170°,因为0°<150°<170°<180°,且y=cs x在[0°,180°]上单调递减,所以cs 150°>cs 170°,即cs 870°>sin 980°.
(4)∵cs3π8=sinπ8,∴0sincs3π8.
例2 解:(1)令z=12x+π3,则y=sin z.
因为z=12x+π3是增函数,
所以当y=sin z单调递增(减)时,
函数y=sin12x+π3也单调递增(减).
由z∈2kπ-π2,2kπ+π2(k∈Z),
得12x+π3∈2kπ-π2,2kπ+π2(k∈Z), 即x∈-5π3+4kπ,π3+4kπ(k∈Z),
故函数y=sin12x+π3的单调递增区间为-5π3+4kπ,π3+4kπ(k∈Z).
由z∈2kπ+π2,2kπ+3π2(k∈Z),得12x+π3∈2kπ+π2,2kπ+3π2(k∈Z),即x∈π3+4kπ,7π3+4kπ(k∈Z),故函数y=sin12x+π3的单调递减区间为π3+4kπ,7π3+4kπ(k∈Z).
(2)令z=2x+π3,则z=2x+π3是增函数,易知函数y=cs z的单调递增区间是[2kπ-π,2kπ](k∈Z),单调递减区间是[2kπ,2kπ+π](k∈Z).由2kπ-π≤2x+π3≤2kπ(k∈Z),得kπ-2π3≤x≤kπ-π6(k∈Z);
由2kπ≤2x+π3≤2kπ+π(k∈Z),得kπ-π6≤x≤kπ+π3(k∈Z).所以函数y=12cs2x+π3的单调递增区间是kπ-2π3,kπ-π6(k∈Z),单调递减区间是kπ-π6,kπ+π3(k∈Z).
变式 解:(1)y=sinπ3-x=-sinx-π3,
令z=x-π3,易知y=-sin z的单调递增区间是π2+2kπ,3π2+2kπ,k∈Z,
由π2+2kπ≤x-π3≤3π2+2kπ,k∈Z,
得5π6+2kπ≤x≤11π6+2kπ,k∈Z,
故函数y=sinπ3-x的单调递增区间为5π6+2kπ,11π6+2kπ,k∈Z.
(2)y=1+sin-12x+π4=-sin12x-π4+1,
由2kπ-π2≤12x-π4≤2kπ+π2(k∈Z),
解得4kπ-π2≤x≤4kπ+32π(k∈Z).
故函数y=1+sin-12x+π4,x∈[-4π,4π]的单调递减区间为-4π,-5π2,-π2,3π2,7π2,4π.
拓展 (1)D (2)(-π,0] [解析] (1)令π2+2kπ≤ωx≤3π2+2kπ,k∈Z,则π2ω+2kπω≤x≤3π2ω+2kπω,k∈Z.∵函数f(x)=sin ωx(ω>0)在区间π3,π2上单调递减,∴π2ω≤π3且3π2ω≥π2,∴32≤ω≤3.
(2)因为y=cs x在[-π,0]上单调递增,在[0,π]上单调递减,所以只有当-π探究点二
探索 解:不一定.当A>0时,函数的最大值为A+b;当A<0时,函数的最大值应为-A+b.
例3 解:(1)y=sinx+π6,令t=x+π6,
∵x∈0,π2,∴t∈π6,2π3,
∵函数y=sin t在π6,π2上单调递增,在π2,2π3上单调递减,∴所求函数的值域为12,1.
(2)∵0≤x≤π2,∴-π3≤2x-π3≤2π3,∴-12≤cs2x-π3≤1.
当a>0时,由题意得a+b=3,-12a+b=0,解得a=2,b=1.
当a<0时,由题意得a+b=0,-12a+b=3,解得a=-2,b=2.
∴a=2,b=1或a=-2,b=2.
变式 解:(1)∵-π3≤x≤π6,∴-π3≤2x+π3≤2π3,
∴-12≤cs2x+π3≤1,∴-4≤-4cs2x+π3≤2,
故-1≤3-4cs2x+π3≤5,即-1≤y≤5.当cs2x+π3=1,
即x=-π6时,ymin=-1,当cs2x+π3=-12,
即x=π6时,ymax=5.
(2)∵0≤x≤π2,∴-π3≤2x-π3≤2π3,
∴-32≤sin2x-π3≤1,
∴f(x)min=-32a+b=-2,f(x)max=a+b=3.
由-32a+b=-2,a+b=3,得a=2,b=-2+3.
例4 (1)12,5 [解析] y=2sin2x-2sin x+1=2sin x-122+12,令t=sin x,则-1≤t≤1,y=2t-122+12,其图像的对称轴方程为t=12,∴当t=-1时,函数取得最大值5,当t=12时,函数取得最小值12,故函数y=2sin2x-2sin x+1的值域为12,5.
(2)解:y=-3sin2x-4cs x+4=-3(1-cs2x)-4cs x+4=3cs2x-4cs x+1,
令cs x=tx∈-π3,2π3,则t∈-12,1,y=3t2-4t+1,
由二次函数的性质可知,当t=23时,y取得最小值-13,
当t=-12时,y取得最大值154.故所求函数的最大值为154,最小值为-13.
拓展 解:∵y=3-csx3+csx=-1+63+csx,∴当cs x=1,
即x=2kπ(k∈Z)时,ymin=12.
故当函数取最小值12时,x的取值集合是{x|x=2kπ,k∈Z}.
【课堂评价】
1.B [解析] 由y=sin x在-π2,π2上单调递增,得y=-sin x在区间-π2,π2上单调递减,故选B.
2.C [解析] 由题易知,当sin x=-1时,ymax=3,此时x=-π2+2kπ(k∈Z).故选C.
3.C [解析] 令2kπ-π2≤2x-π4≤2kπ+π2,k∈Z,解得kπ-π8≤x≤kπ+3π8,k∈Z,又0≤x≤π2,所以f(x)在0,π2上的单调递增区间是0,3π8.
4.B [解析] 根据函数y=2cs x的定义域为π3,4π3,得其值域为[-2,1],故b-a=1-(-2)=3.
5.sin3π5>sin4π5>sin9π10 [解析] 因为π2<3π5<4π5<9π10<π, 且函数y=sin x在π2,π上单调递减,所以sin3π5>sin4π5>sin9π10.
6.-12,32 [解析] ∵0≤x≤π2,∴π6≤x+π6≤2π3,∴cs2π3≤csx+π6≤csπ6,即-12≤y≤32,故所求函数的值域为-12,32.