高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第五章 三角函数5.4 三角函数的图象与性质第2课时导学案

第2课时   正、余弦函数的单调性与最值

学习目标

知识梳理

正弦、余弦函数的图象和性质

名师导学

知识点1    正、余弦函数的单调性

【例】求下列函数的单调区间：

(1)y＝cos；

(2)y＝2sin.

反思感悟　

求正、余弦函数的单调区间的策略

(1)结合正、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间．

(2)在求形如y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的函数的单调区间时，应采用“换元法”整体代换，将“ωx＋φ”看作一个整体“z”，即通过求y＝Asin z的单调区间而求出原函数的单调区间．求形如y＝Acos(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的函数的单调区间同上．　

变式训练

1．函数y＝|cos x|的一个单调减区间是(　　)

A.　　　　 B.

C.  D.

2．求函数y＝sin，x∈的单调递减区间．

知识点2    比较三角函数值的大小

【例】不通过求值，比较下列各组数的大小：

(1)sin 250°与sin 260°；(2)cos与cos.

反思感悟　

比较三角函数值大小的方法

(1)比较两个同名三角函数值的大小，先利用诱导公式把两个角化为同一单调区间内的角，再利用函数的单调性比较；

(2)比较两个不同名的三角函数值的大小，一般应先化为同名的三角函数，后面步骤同上．　　　　

变式训练

不通过求值，比较下列各组数的大小：

(1)sin与sin；

(2)sin 194°与cos 160°.

知识点3    正、余弦函数的值域（最值）

【例】(1)求函数y＝2cos，x∈的值域；

(2)求函数y＝cos2x＋4sin x的最值及取到最大值和最小值时x的取值集合．

反思感悟　

三角函数最值问题的三种常见类型及求解方法

(1)形如y＝asin x(或y＝acos x)型，可利用正弦函数(余弦函数)的有界性，注意对a正负的讨论；

(2)形如y＝Asin(ωx＋φ)＋b(或y＝Acos(ωx＋φ)＋b)型，可先由定义域求得ωx＋φ的范围，然后求得sin(ωx＋φ)(或cos(ωx＋φ))的范围，最后求得最值；

(3)形如y＝asin2x＋bsin x＋c(a≠0)型，可利用换元思想，设t＝sin x，转化为二次函数y＝at2＋bt＋c求最值，t的范围需要根据定义域来确定．　　　　  

变式训练

求函数f(x)＝sin2x＋cos x－的最大值．

当堂测评

1．函数f(x)＝2sin x在区间上的最大值为(　　)

A．0　　　　　　　　　　 B．－

C.  D．2

2．函数y＝3cos在x＝________时，y取最大值．

3．sin________sinπ(填“>”或“<”)．

4．求函数f(x)＝sin在上的单调递增区间．

名师导学

知识点1    正、余弦函数的单调性

【例】求下列函数的单调区间：

(1)y＝cos；

(2)y＝2sin.

[解]　(1)当2kπ－π≤＋≤2kπ，k∈Z时，函数单调递增，

故函数的单调递增区间是(k∈Z)．　

当2kπ≤＋≤2kπ＋π，k∈Z时，

函数单调递减，故函数的单调递减区间是(k∈Z)．

(2)∵y＝2sin＝－2sin，

∴函数y＝－2sin的单调增区间、单调减区间分别由下面的不等式确定．

2kπ＋≤x－≤2kπ＋(k∈Z)，①

2kπ－≤x－≤2kπ＋(k∈Z)．②

解①得2kπ＋≤x≤2kπ＋(k∈Z)，

解②得2kπ－≤x≤2kπ＋(k∈Z)．

故函数y＝2sin的单调增区间、单调减区间分别为(k∈Z)，(k∈Z)．

反思感悟　

求正、余弦函数的单调区间的策略

(1)结合正、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间．

(2)在求形如y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的函数的单调区间时，应采用“换元法”整体代换，将“ωx＋φ”看作一个整体“z”，即通过求y＝Asin z的单调区间而求出原函数的单调区间．求形如y＝Acos(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的函数的单调区间同上．　

变式训练

1．函数y＝|cos x|的一个单调减区间是(　　)

A.　　　　 B.

C.  D.

解析：选C　函数y＝|cos x|＝图象如下图所示：

单调减区间有，，…，故选C.

2．求函数y＝sin，x∈的单调递减区间．

解：由＋2kπ≤3x＋≤＋2kπ(k∈Z)，

得＋≤x≤＋(k∈Z)．

又x∈，

所以函数y＝sin，x∈的单调递减区间为，.

知识点2    比较三角函数值的大小

【例】不通过求值，比较下列各组数的大小：

(1)sin 250°与sin 260°；(2)cos与cos.

[解]　(1)∵函数y＝sin x在上单调递减，

且90°<250°<260°<270°，

∴sin 250°>sin 260°.

(2)cos＝cos＝cos，

cos＝cos＝cos.

∵函数y＝cos x在[0，π]上单调递减，

且0<<<π，

∴cos>cos，

∴cos>cos.

反思感悟　

比较三角函数值大小的方法

(1)比较两个同名三角函数值的大小，先利用诱导公式把两个角化为同一单调区间内的角，再利用函数的单调性比较；

(2)比较两个不同名的三角函数值的大小，一般应先化为同名的三角函数，后面步骤同上．　　　　

变式训练

不通过求值，比较下列各组数的大小：

(1)sin与sin；

(2)sin 194°与cos 160°.

解：(1)sin＝sin＝sin，

sin＝sin＝sin ，

∵y＝sin x在上是增函数，

∴sin<sin ，

即sin<sin π.

(2)sin 194°＝sin(180°＋14°)＝－sin 14°，

cos 160°＝cos(180°－20°)＝－cos 20°＝－sin 70°.

∵0°<14°<70°<90°，

∴sin 14°<sin 70°，

∴－sin 14°>－sin 70°，

即sin 194°>cos 160°.

知识点3    正、余弦函数的值域（最值）

【例】(1)求函数y＝2cos，x∈的值域；

(2)求函数y＝cos2x＋4sin x的最值及取到最大值和最小值时x的取值集合．

[解]　(1)∵－<x<，

∴0<2x＋<，

∴－<cos<1，

∴函数y＝2cos，x∈的值域为(－1，2)．

(2)y＝cos2x＋4sin x

＝1－sin2x＋4sin x

＝－sin2x＋4sin x＋1

＝－(sin x－2)2＋5.

∴当sin x＝1，即x＝2kπ＋，k∈Z时，ymax＝4；

当sin x＝－1，即x＝2kπ－，k∈Z时，ymin＝－4.

∴ymax＝4，此时x的取值集合是

；

ymin＝－4，此时x的取值集合是

.

反思感悟　

三角函数最值问题的三种常见类型及求解方法

(1)形如y＝asin x(或y＝acos x)型，可利用正弦函数(余弦函数)的有界性，注意对a正负的讨论；

(2)形如y＝Asin(ωx＋φ)＋b(或y＝Acos(ωx＋φ)＋b)型，可先由定义域求得ωx＋φ的范围，然后求得sin(ωx＋φ)(或cos(ωx＋φ))的范围，最后求得最值；

(3)形如y＝asin2x＋bsin x＋c(a≠0)型，可利用换元思想，设t＝sin x，转化为二次函数y＝at2＋bt＋c求最值，t的范围需要根据定义域来确定．　　　　  

变式训练

求函数f(x)＝sin2x＋cos x－的最大值．

解：因为f(x)＝sin2x＋cos x－，

f(x)＝1－cos2x＋cos x－，

令cos x＝t且t∈[0，1]，

则y＝－t2＋t＋＝－＋1，

则当t＝时，f(x)取最大值1.

当堂测评

1．函数f(x)＝2sin x在区间上的最大值为(　　)

A．0　　　　　　　　　　 B．－

C.  D．2

解析：选D　因为x∈，所以当x＝时，

函数f(x)有最大值2.

2．函数y＝3cos在x＝________时，y取最大值．

解析：当函数取最大值时，x－＝2kπ(k∈Z)，

x＝4kπ＋(k∈Z)．

答案：4kπ＋(k∈Z)

3．sin________sinπ(填“>”或“<”)．

解析：sinπ＝sin＝sin，

sinπ＝sin＝sin.

因为y＝sin x在上单增，

又0<<<，

所以sin<sin，

所以sin<.

答案：<

4．求函数f(x)＝sin在上的单调递增区间．

解：令2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，

解得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，又0≤x≤，

所以f(x)在上的单调递增区间是.