高中数学苏教版 (2019)必修 第一册5.3 函数的单调性精品第2课时2课时导学案

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第2课时 函数的最大值、最小值








在下图中，我们从图象上看出14时的气温为全天的最高气温，它表示在0～24时之间，气温于14时达到最大值；从图象上看出，图象在这一点的位置最高．





从图中可以看出：对于任意的x∈[0,24]，都有f(x)与f(14)具有怎样的关系？





1．函数的最大值


一般地，设y＝f(x)的定义域为A．如果存在x0∈A，使得对于任意的x∈A，都有f(x)≤f(x0)，那么称f(x0)为y＝f(x)的最大值，记为ymax＝f(x0)．


2．函数的最小值


一般地，设y＝f(x)的定义域为A．如果存在x0∈A，使得对于任意的x∈A，都有f(x)≥f(x0)，那么称f(x0)为y＝f(x)的最小值，记为ymin＝f(x0)．


思考：函数的最值与值域是一回事吗？


[提示] 不是．最值与值域是不同的，值域是一个集合，而最值只是这个集合中的一个元素．





1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)


(1)函数f(x)＝－x2≤1总成立，故f(x)的最大值为1．( )


(2)若函数f(x)在定义域内存在无数个x使得f(x)≤M成立，则f(x)的最大值为M．( )


(3)函数f(x)＝x的最大值为＋∞．( )


[提示] (1)因为在定义域内找不到x使得x2＝－1成立．


(2)因为“无数”并非“所有”，故不正确．


(3)“＋∞”不是一个具体数．


[答案] (1)× (2)× (3)×


2．函数f(x)在[－2,2]上的图象如图所示，则此函数的最小值是 ．





[答案] －1


3．已知函数f(x)＝|x|，x∈[－1,3]，则f(x)的最大值是 ．


3 [根据函数图象(图略)可知，f(x)的最大值为3．]


4．函数y＝2x2＋2，x∈N*的最小值是 ．


[答案] 4


5．函数y＝eq \f(1,x)在[2,6]上的最大值与最小值之和等于 ．


eq \f(2,3) [函数y＝eq \f(1,x)在区间[2,6]上是减函数，当x＝2时取得最大值eq \f(1,2)，当x＝6时取得最小值eq \f(1,6)，eq \f(1,2)＋eq \f(1,6)＝eq \f(2,3)．]








【例1】 求函数y＝|x＋1|＋|x－2|(－2≤x≤4)的最值．


[思路点拨] 先整理化简函数关系式，写成分段函数的形式，作出图象，再找最高点和最低点即可．


[解] 原函数y＝|x＋1|＋|x－2|＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－2x＋1，－2≤x≤－1，,3，－1




故函数的最小值为3，最大值为7．





用图象法求最值的一般步骤








eq \([跟进训练])


1．函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x，0≤x≤1，,2，1

3 [作出f(x)的图象如图所示，∴f(x)max＝3．


]


2．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3－x2，x∈[－1，2]，,x－3，x∈2，5].))


(1)在直角坐标系内画出f(x)的图象；


(2)根据函数的图象写出函数的单调区间和值域．


[解] (1)图象如图所示：





(2)由图可知f(x)的单调递增区间为(－1,0)，(2,5)，单调递减区间为(0,2)，值域为[－1,3]．





【例2】 已知函数f(x)＝eq \f(x,x－1)．


(1)用函数单调性定义证明f(x)＝eq \f(x,x－1)在(1，＋∞)上是单调减函数；


(2)求函数f(x)＝eq \f(x,x－1)在区间[3,4]上的最大值与最小值．


[思路点拨] (1)利用单调性的定义证明．


(2)利用(1)的结论求最值．


[解] (1)证明：设x1，x2为区间(1，＋∞)上的任意两个实数，且1

则f(x1)－f(x2)＝eq \f(x1,x1－1)－eq \f(x2,x2－1)＝eq \f(x2－x1,x1－1x2－1)，


因为1

所以x2－x1>0，x1－1>0，x2－1>0，


所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)．


故函数f(x)＝eq \f(x,x－1)在(1，＋∞)上为单调递减函数．


(2)由上述(1)可知，函数f(x)＝eq \f(x,x－1)在[3,4]上为单调递减函数，


所以在x＝3时，函数f(x)＝eq \f(x,x－1)取得最大值eq \f(3,2)；


在x＝4时，函数f(x)＝eq \f(x,x－1)取得最小值eq \f(4,3)．





(变条件)求函数f(x)＝eq \f(x,x－1)在[－4，－3]上的最值．


[解] 任取x1，x2∈[－4，－3]且x1

则f(x1)－f(x2)＝eq \f(x1,x1－1)－eq \f(x2,x2－1)＝eq \f(x2－x1,x1－1x2－1)．


∵x1，x2∈[－4，－3]，∴x1－1<0，x2－1<0．


又x10，


∴f(x1)－f(x2)>0，∴f(x1)>f(x2)，


∴f(x)在[－4，－3]上单调递减，


∴f(x)max＝f(－4)＝eq \f(4,5)，


f(x)min＝f(－3)＝eq \f(3,4)，


∴f(x)在[－4，－3]上最大值为eq \f(4,5)，最小值为eq \f(3,4)．





1．当函数图象不好作或无法作出时，往往运用函数单调性求最值．


2．函数的最值与单调性的关系


(1)若函数在闭区间[a，b]上是减函数，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(a)，最小值为f(b)；


(2)若函数在闭区间[a，b]上是增函数，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(b)，最小值为f(a)；


(3)求最值时一定要注意所给区间的开闭，若是开区间，则不一定有最大(小)值．





eq \([跟进训练])


3．已知函数f(x)＝eq \f(x2＋2x＋3,x)(x∈[2，＋∞))，


(1)求f(x)的最小值；


(2)若f(x)>a恒成立，求a的取值范围．


[解] (1)任取x1，x2∈[2，＋∞)，


且x1

则f(x1)－f(x2)＝(x1－x2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(3,x1x2)))．


∵x1

又∵x1≥2，x2≥2，∴x1x2>4,1－eq \f(3,x1x2)>0，


∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)

故f(x)在[2，＋∞)上是增函数，


∴当x＝2时，f(x)有最小值，即f(2)＝eq \f(11,2)．


(2)∵f(x)的最小值为f(2)＝eq \f(11,2)，


∴f(x)>a恒成立，只须f(x)min>a，即a




[探究问题]


1．如图是函数f(x)＝(x－1)2－1的图象，说明当定义域分别为[－1,0]，eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，3))和[0,3]时，f(x)的单调性．





[提示] f(x)在[－1,0]上单调递减；


在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，3))上单调递增；


在[0,1]上单调递减，在(1,3]上单调递增．


2．结合图象说明当定义域分别为上述三个区间时，f(x)的最值．


[提示] 结合图象的单调性，可得


x∈[－1,0]时，f(x)max＝f(－1)＝3，f(x)min＝f(0)＝0．


x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，3))时，f(x)max＝f(3)＝3，f(x)min＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))＝－eq \f(3,4)．


x∈[0,3]时，f(x)max＝f(3)＝3，f(x)min＝f(1)＝－1．


3．通过探究2，分析函数f(x)取最值时的x与对称轴的距离有什么关系？


[提示] 通过观察图象，可以发现，①当对称轴不在区间内部时，两个最值均在端点处取得且离对称轴近的端点对应的函数值较小，较远的端点对应的函数值较大．②当对称轴在区间内部时，对称轴对应函数的最小值，最大值在离对称轴较远的端点处取得．因此，我们求二次函数的最值时应该分析对称轴和区间的关系．


【例3】 求二次函数f(x)＝x2－2ax＋2在[2,4]上的最小值．


[思路点拨] f(x)的对称轴是x＝a，a是运动变化的，故求最值时，应该讨论a与区间[2,4]的关系，进而确定单调性和最值．


[解] ∵函数图象的对称轴是x＝a，∴当a<2时，f(x)在[2,4]上是增函数，∴f(x)min＝f(2)＝6－4a．


当a>4时，f(x)在[2,4]上是减函数，


∴f(x)min＝f(4)＝18－8a．


当2≤a≤4时，f(x)min＝f(a)＝2－a2．


∴f(x)min＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(6－4a，a<2，,2－a2，2≤a≤4，,18－8a，a>4.))





1．(变设问)在本例条件下，求f(x)的最大值．


[解] ∵函数图象的对称轴是x＝a，


∴当a≤3时，f(x)max＝f(4)＝18－8a，


当a>3时，f(x)max＝f(2)＝6－4a．


∴f(x)max＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(18－8a，a≤3，,6－4a，a>3.))


2．(变设问)在本例条件下，若f(x)的最小值为2，求a 的值．


[解] 由本例解析知f(x)min＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(6－4a，a<2，,2－a2，2≤a≤4，,18－8a，a>4.))


当a<2时，6－4a＝2，a＝1；


当2≤a≤4时，2－a2＝2，a＝0(舍去)；


当a>4时，若18－8a＝2，a＝2(舍去)．


∴a的值为1．


3．(变条件，变设问)本例条件变为，若f(x)＝x2－2ax＋2，当x∈[2,4]时，f(x)≤a恒成立，求实数a的取值范围．


[解] 在[2,4]内，f(x)≤a恒成立，


即a≥x2－2ax＋2在[2,4]内恒成立，


即a≥f(x)max，x∈[2,4]．


又f(x)max＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(18－8a，a≤3，,6－4a，a>3.))


(1)当a≤3时，a≥18－8a，解得a≥2，此时有2≤a≤3．


(2)当a>3时，a≥6－4a，解得a≥eq \f(6,5)，此时有a>3．


综上有实数a的取值范围是[2，＋∞)．





求二次函数的最大小值有两种类型：一是函数定义域为实数集R，这时只要根据抛物线的开口方向，应用配方法即可求出最大小值；二是函数定义域为某一区间，这时二次函数的最大小值由它的单调性确定，而它的单调性又由抛物线的开口方向和对称轴的位置在区间内，在区间左侧，在区间右侧来决定，当开口方向或对称轴位置不确定时，需要进行分类讨论.











1．函数的最值与值域、单调性之间的联系


(1)对一个函数来说，其值域是确定的，但它不一定有最值，如函数y＝eq \f(1,x)．如果有最值，则最值一定是值域中的一个元素．


(2)若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上单调，则y＝f(x)的最值必在区间端点处取得．即最大值是f(a)或f(b)，最小值是f(b)或f(a)．


2．对二次函数f(x)＝a(x－h)2＋k(a>0)在区间[p，q]上的最值问题可作如下讨论：


(1)对称轴x＝h在区间[p，q]的左侧，


即当h

(2)对称轴x＝h在区间[p，q]之间，


即当p≤h≤q时，f(x)min＝f(h)＝k；


当p≤h

(3)对称轴x＝h在区间[p，q]的右侧，


即当h>q时，f(x)max＝f(p)，f(x)min＝f(q)．





1．函数y＝－x＋1在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，2))上的最大值是( )


A．0 B．－eq \f(1,2)


C．eq \f(1,2) D．－1


C [∵函数y＝－x＋1在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，2))上是减函数，


∴f(x)max＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝－eq \f(1,2)＋1＝eq \f(1,2)．]


2．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋a，x<0,x＋\f(4,x)，x>0))有最小值，则实数a的最小值为( )


A．2 B．4


C．6 D．8


B [由题意知，当x>0时，函数f(x)＝x＋eq \f(4,x)≥2eq \r(x·\f(4,x))＝4，当且仅当x＝2时取等号；当x<0时，f(x)＝x2＋a> a，因此要使f(x)有最小值，则必须有a≥4, 即实数a的最小值为4．]


3．函数y＝x2－2x－1在闭区间[0,3]上的最大值与最小值的和是 ．


0 [∵y＝x2－2x－1＝(x－1)2－2，


∴函数的对称轴为x＝1，∴函数在区间[0,1]上为减函数，在区间[1,3]上为增函数．


∴当x＝1时，函数取最小值－2，当x＝3时，函数取最大值2，∴最大值与最小值的和为0．]


4．已知函数f(x)＝4x2－mx＋1在(－∞，－2)上递减，在[－2，＋∞)上递增，求f(x)在[1,2]上的值域．


[解] ∵f(x)在(－∞，－2)上递减，在[－2，＋∞)上递增，∴函数f(x)＝4x2－mx＋1的对称轴方程x＝eq \f(m,8)＝－2，即m＝－16．


又[1,2]⊆[－2，＋∞)，且f(x)在[－2，＋∞)上递增．


∴f(x)在[1,2]上递增，


∴当x＝1时，f(x)取得最小值f(1)＝4－m＋1＝21；


当x＝2时，f(x)取得最大值f(2)＝16－2m＋1＝49．


∴f(x)在[1,2]上的值域为[21,49]．


学 习 目 标
核 心 素 养
1．理解函数的最大(小)值的定义及其几何意义．(重点)


2．会求一些简单函数的最大值或最小值．(重点、难点)
通过学习本节内容，培养学生的直观想象和逻辑推理素养．
利用图象求函数的最值
利用单调性求函数的最值
二次函数求值域