高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.1 椭圆同步达标检测题

人教版高中数学选择性必修第一册

《椭圆标准方程》基础练习题

一              、选择题

1.如果方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是(　　)

A.(3，＋∞)                   B.(﹣∞，﹣2)

C.(3，＋∞)∪(﹣∞，﹣2)      D.(3，＋∞)∪(﹣6，﹣2)

【答案解析】答案为：D

解析：本题考查焦点在不同坐标轴上的椭圆方程的特征.由于椭圆的焦点在x轴上，

所以即解得a＞3或﹣6＜a＜﹣2，故选D.

2.若方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数m的取值范围是(　　)

A.﹣9＜m＜25         B.8＜m＜25       C.16＜m＜25         D. m＞8

【答案解析】答案为：B

解析：依题意，有，解得8＜m＜25.

3.椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的2倍，则m等于(　　)

A.            B.2            C.4         D.

【答案解析】答案为：D；

解析：由x2＋＝1及题意知，2＝2×2×1，m＝，故选D.

4.椭圆25x2＋16y2＝1的焦点坐标是(　　)

A.(±3,0)      B.(±，0)    C.(±，0)    D. (0，±)

【答案解析】答案为：D

解析：椭圆的标准方程为＋＝1，故焦点在y轴上，其中a2＝，b2＝，

所以c2＝a2﹣b2＝﹣＝，故c＝.所以所求焦点坐标为(0，±).

5.椭圆＋＝1的焦距为2，则m的值等于(　　)

A.5        B.3          C.5或3        D.8

【答案解析】答案为：C

解析：当m＞4时，m﹣4＝1，∴m＝5；当0＜m＜4时，4﹣m＝1，∴m＝3.

综上，m的值为5或3.

6.椭圆6x2＋y2＝6的长轴端点坐标为(　　)

A.(﹣1,0)，(1,0)          B.(﹣6,0)，(6,0)

C.(﹣，0)，(，0)     D.(0，﹣)，(0，)

【答案解析】答案为：D

解析：方程化为标准形式为x2＋＝1，其焦点在y轴上，由于a2＝6，∴a＝.

∴长轴的端点坐标为(0，±)，故选D.

7.若椭圆的两焦点为(﹣2,0)，(2,0)，且该椭圆过点（2.5，-1.5），则该椭圆的方程是(　　)

A.＋＝1　　B.＋＝1    C.＋＝1         D.＋＝1

【答案解析】答案为：D

解析：椭圆的焦点在x轴上，排除A、B，又过点（2.5，-1.5）验证即可.

8.设P是椭圆＋＝1上一点，P到两焦点F1，F2的距离之差为2，则△PF1F2是(　　)

A.锐角三角形    B.直角三角形   C.钝角三角形     D.等腰直角三角形

【答案解析】答案为：B

解析：由椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝2a＝8.又|PF1|﹣|PF2|＝2，∴|PF1|＝5，|PF2|＝3.

又|F1F2|＝2c＝2＝4，∴△PF1F2为直角三角形.

9.方程kx2＋4y2＝4k表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围是(　　)

A.k＞4　 　B.k＝4　 　   C.k＜4　   　D.0＜k＜4

【答案解析】答案为：D.

解析：椭圆的标准方程为＋＝1，焦点在x轴上，所以0＜k＜4.]

10.已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，若长轴长为6，且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程为(　　)

A．＋＝1       B．＋＝1       C．＋＝1         D．＋＝1

【答案解析】答案为：B；

解析：椭圆长轴长为6，即2a＝6，得a＝3，∵两焦点恰好将长轴三等分，

∴2c＝·2a＝2，得c＝1，因此，b2＝a2﹣c2＝9﹣1＝8，

∴此椭圆的标准方程为＋＝1．故选B．

11.椭圆的焦点在x轴上，中心在原点，其上、下顶点和两个焦点恰为边长是2的正方形的顶点，则椭圆的标准方程为(　　)

A.＋＝1         B.＋y2＝1         C.＋＝1          D.＋＝1

【答案解析】答案为：C；

由条件可知b＝c＝，a＝2，所以椭圆的标准方程为＋＝1.故选C.

12.已知△ABC的顶点B，C在椭圆＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是(　　)

A.2         B.6          C.4          D.12

【答案解析】答案为：C；

解析：依题意，记椭圆的另一个焦点为F，则△ABC的周长等于

|AB|＋|AC|＋|BC|＝|AB|＋|AC|＋|BF|＋|CF|＝(|AB|＋|BF|)＋(|AC|＋|CF|)＝4，故选C.

二              、填空题

13.如果方程x2＋ky2＝2表示焦点在x轴上，且焦距为的椭圆，则椭圆的短轴长为______.

【答案解析】答案为：

解析：方程x2＋ky2＝2可化为＋＝1，则()2＋＝2⇒＝，

∴短轴长为2×＝.

14.已知椭圆的焦点在y轴上，其上任意一点到两焦点的距离和为8，焦距为2，则此椭圆的标准方程为________.

【答案解析】答案为：＋x2＝1

解析：本题考查椭圆的标准方程.由已知，2a＝8,2c＝2，∴a＝4，c＝，

∴b2＝a2﹣c2＝16﹣15＝1，∴椭圆的标准方程为＋x2＝1.

15.已知椭圆的标准方程为＋＝1(m＞0)并且焦距为6，则实数m的值为__________.

【答案解析】答案为：16或34.

解析：∵2c＝6，∴c＝3.

当焦点在x轴上时，a2＝25，∴m＝16.当焦点在y轴上时，b2＝25，∴m＝34.

16.一个焦点坐标是(0,4)，过点B(1，)的椭圆的标准方程为__________.

【答案解析】答案为：＋＝1

解析：设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)，∴a2﹣b2＝16，①

又过点B(1，)，∴＋＝1，②

∴由①②知，a2＝20，b2＝4，∴椭圆的标准方程为＋＝1.

三              、解答题

17.求适合下列条件的椭圆的标准方程.

(1)长轴长是短轴长的5倍，且过点A(5,0).

(2)离心率e＝，焦距为12.

【答案解析】解：(1)若椭圆焦点在x轴上，

设其标准方程为＋＝1(a＞b＞0)，

由题意得解得

故所求椭圆的标准方程为＋y2＝1；

若焦点在y轴上，设其标准方程为＋＝1(a＞b＞0)，

由题意得解得

故所求椭圆的标准方程为＋＝1

综上所述，所求椭圆的标准方程为＋y2＝1或＋＝1.

(2)由e＝＝，2c＝12，得a＝10，c＝6，

∴b2＝a2﹣c2＝64.

当焦点在x轴上时，所求椭圆的标准方程为＋＝1；

当焦点在y轴上时，所求椭圆的标准方程为＋＝1.

综上所述，所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.

18.已知椭圆＋＝1上一点M的纵坐标为2.

(1)求M的横坐标；

(2)求过M且与＋＝1共焦点的椭圆的方程.

【答案解析】解：(1)把M的纵坐标代入＋＝1

得＋＝1，即x2＝9.∴x＝±3，

即M的横坐标为3或﹣3.

(2)对于椭圆＋＝1，

焦点在x轴上且c2＝9﹣4＝5，

故设所求椭圆的方程为＋＝1.

把M点的坐标代入得＋＝1，解得a2＝15.

故所求椭圆的方程为＋＝1.

19.分别求出满足下列条件的椭圆的标准方程.

(1)与椭圆＋＝1有相同的离心率且经过点(2，﹣)；

(2)已知点P在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且P到两焦点的距离分别为5,3，过P且与长轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点.

【答案解析】解：(1)由题意，设所求椭圆的方程为＋＝t1或＋＝t2(t1，t2＞0)，因为椭圆过点(2，﹣)，

所以t1＝＋＝2，或t2＝＋＝.

故所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.

(2)由于焦点的位置不确定，

所以设所求的椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)或＋＝1(a＞b＞0)，

由已知条件得解得a＝4，c＝2，所以b2＝12.

故椭圆方程为＋＝1或＋＝1.

20.求经过点A(，﹣2)和点B(﹣2，1)的椭圆的标准方程.

【答案解析】解法一：(1)当焦点在x轴上时，设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0).

依题意有解得

所以所求椭圆的方程为＋＝1.

(2)当焦点在y轴上时，设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0).

依题意有解得

因为a＜b，所以方程无解.故所求椭圆的方程为＋＝1.

解法二：设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)，

依题意有解得

所以所求椭圆的方程为＋＝1.