人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.4 圆的方程优秀测试题

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一、选择题
方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1=0表示圆，则实数a的取值范围是( )
A.(－∞，－2)∪(eq \f(2,3),+∞) B.(- eq \f(2,3),0) C.(－2,0) D.(-2,eq \f(2,3))
【答案解析】答案为：D.
解析：方程化简为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(a,2)))2＋(y＋a)2=1－a－eq \f(3a2,4)表示圆，则1－a－eq \f(3a2,4)＞0，解得－2＜a＜eq \f(2,3).]
圆(x－2)2＋y2=4关于直线y=eq \f(\r(3),3)x对称的圆的方程是( )
A.(x－eq \r(3))2＋(y－1)2=4 B.(x－eq \r(2))2＋(y－eq \r(2))2=4
C.x2＋(y－2)2=4 D.(x－1)2＋(y－eq \r(3))2=4
【答案解析】答案为：D.
解析：设所求圆的圆心为(a，b)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(b,2)＝\f(\r(3),3)×\f(a＋2,2)，,\f(b,a－2)＝－\r(3)，))∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝1，,b＝\r(3)，))∴圆的方程为(x－1)2＋(y－eq \r(3))2=4.]
以点(2，－1)为圆心且与直线3x－4y＋5＝0相切的圆的方程为( )
A.(x－2)2＋(y＋1)2＝3 B.(x＋2)2＋(y－1)2＝3
C.(x－2)2＋(y＋1)2＝9 D.(x＋2)2＋(y－1)2＝9
【答案解析】答案为：C
解析：因为圆心(2，－1)到直线3x－4y＋5＝0的距离d＝eq \f(|3×2－4×－1＋5|,\r(32＋－42))＝3，所以圆的半径为3，即圆的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝9.
两条直线y＝x＋2a，y＝2x＋a的交点P在圆(x－1)2＋(y－1)2＝4的内部，则实数a的取值范围是( )
A.(－eq \f(1,5),1) B.(－∞，－eq \f(1,5))∪(1，＋∞)
C.[－eq \f(1,5),1) D.(－∞，－eq \f(1,5)]∪[1，＋∞)
【答案解析】答案为：A
解析：联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝x＋2a，,y＝2x＋a，))解得P(a,3a)，
因为点P在圆内，所以(a－1)2＋(3a－1)2＜4，所以－eq \f(1,5)＜a＜1.
方程|x|－1= eq \r(1－（y－1）2)所表示的曲线是( )
A.一个圆 B.两个圆 C.半个圆 D.两个半圆
【答案解析】答案为：D；
解析：由题意得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(（|x|－1）2＋（y－1）2＝1，,|x|－1≥0，))
即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(（x－1）2＋（y－1）2＝1，,x≥1))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(（x＋1）2＋（y－1）2＝1，,x≤－1.))
故原方程表示两个半圆.
若点M(3，0)是圆x2＋y2－8x－4y＋10=0内一点，则过点M(3，0)的最长的弦所在的直线方程是( )
A.x＋y－3=0 B.x－y－3=0 C.2x－y－6=0 D.2x＋y－6=0
【答案解析】答案为：C
解析：由题意，过M(3，0)的最长的弦所在的直线为过点M(3，0)的直径，
x2＋y2－8x－4y＋10=0的圆心为(4，2)，故所求直线方程为y－0=2(x－3)，
即2x－y－6=0.
已知点P在圆x2＋y2＝5上，点Q(0，－1)，则线段PQ的中点的轨迹方程是( )
A.x2＋y2－x＝0 B.x2＋y2＋y－1＝0
C.x2＋y2－y－2＝0 D.x2＋y2－x＋y＝0
【答案解析】答案为：B
解析：设P(x0，y0)，PQ中点的坐标为(x，y)，则x0＝2x，y0＝2y＋1，代入圆的方程即得所求的方程是4x2＋(2y＋1)2＝5，化简得x2＋y2＋y－1＝0.故选B.
圆x2＋y2－2x－2y＋1=0上的点到直线x－y=2距离的最大值是( )
A.1＋eq \r(2) B.2 C.1＋eq \f(\r(2),2) D.2＋2eq \r(2)
【答案解析】答案为：A.
解析：将圆的方程化为(x－1)2＋(y－1)2=1，圆心坐标为(1,1)，半径为1，
则圆心到直线x－y=2的距离d=eq \f(|1－1－2|,\r(2))=eq \r(2)，
故圆上的点到直线x－y=2距离的最大值为d＋1=eq \r(2)＋1，选A.]
已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1和两点A(－m,0)，B(m,0)(m＞0)，若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则m的最大值为( )
A.7 B.6 C.5 D.4
【答案解析】答案为：B
解析：根据题意，画出示意图，如图所示，
则圆心C的坐标为(3,4)，半径r＝1，且|AB|＝2m，因为∠APB＝90°，
连接OP，易知|OP|＝eq \f(1,2)|AB|＝m.要求m的最大值，即求圆C上的点P到原点O的最大距离.因为|OC|＝eq \r(32＋42)＝5，所以|OP|max＝|OC|＋r＝6，即m的最大值为6.
如果圆(x－a)2＋(y－a)2=8上总存在到原点的距离为eq \r(2)的点，则实数a的取值范围是( )
A.(－3，－1)∪(1,3) B.(－3,3)
C.[－1,1] D.[－3，－1]∪[1,3]
【答案解析】答案为：D.
解析：圆(x－a)2＋(y－a)2=8的圆心(a，a)到原点的距离为|eq \r(2)a|，半径r=2eq \r(2)，
由圆(x－a)2＋(y－a)2=8上总存在点到原点的距离为eq \r(2)，
得2eq \r(2)－eq \r(2)≤|eq \r(2)a|≤2eq \r(2)＋eq \r(2)，∴1≤|a|≤3，解得1≤a≤3或－3≤a≤－1.
∴实数a的取值范围是[－3，－1]∪[1,3].故选D.]
若直线l：ax＋by＋1=0始终平分圆M：x2＋y2＋4x＋2y＋1=0的周长，则(a－2)2＋(b－2)2的最小值为( )
A.eq \r(5) B.5 C.2eq \r(5) D.10
【答案解析】答案为：B
解析：圆M的圆心为(－2，－1)，由题意知点M在直线l上，所以－2a－b＋1=0，
所以b=－2a＋1，所以(a－2)2＋(b－2)2=(a－2)2＋(－2a＋1－2)2=5a2＋5≥5.
过点P(1，1)的直线将圆形区域{(x，y)|x2＋y2≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为( )
A.x＋y－2=0 B.y－1=0 C.x－y=0 D.x＋3y－4=0
【答案解析】答案为：A
解析：两部分面积之差最大，即弦长最短，此时直线垂直于过该点的直径.
因为过点P(1，1)的直径所在直线的斜率为1，所以所求直线的斜率为－1，
方程x＋y－2=0.
二、填空题
一个圆与y轴相切，圆心在直线x－3y＝0上，且在直线y＝x上截得的弦长为2eq \r(7)，则该圆的方程为________.
【答案解析】答案为：(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9
解析：∵所求圆的圆心在直线x－3y＝0上，∴设所求圆的圆心为(3a，a)，
又所求圆与y轴相切，∴半径r＝3|a|又所求圆在直线y＝x上截得的弦长为2eq \r(7)，
圆心(3a，a)到直线y＝x的距离d＝eq \f(|2a|,\r(2))，∴d2＋(eq \r(7))2＝r2，即2a2＋7＝9a2，∴a＝±1.
故所求圆的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9.
已知在平面直角坐标系中，O(0，0)，A(2，4)，B(6，2)，则三角形OAB的外接圆的方程是__________．
【答案解析】答案为：x2＋y2－6x－2y=0
解析：法一：设三角形OAB的外接圆方程是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0，
依题意可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(F＝0，,4＋16＋2D＋4E＋F＝0，,36＋4＋6D＋2E＋F＝0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(F＝0，,D＝－6，,E＝－2，))
故三角形OAB的外接圆的方程是x2＋y2－6x－2y=0.
法二：因为直线OA的斜率 kOA=eq \f(4,2)=2，直线AB的斜率kAB=eq \f(2－4,6－2)=－eq \f(1,2)，kAB×kOA=2×（- eq \f(1,2)）=－1，所以三角形OAB是直角三角形，点A为直角顶点，OB为斜边，
因为|OB|=eq \r(36＋4)=eq \r(40)，故外接圆的半径r=eq \f(|OB|,2)=eq \f(\r(40),2)=eq \r(10)，又OB的中点坐标为(3，1)，
故三角形OAB的外接圆的标准方程为(x－3)2＋(y－1)2=10，
即x2＋y2－6x－2y=0.
已知点P(2,2)，圆C：x2＋y2－8y=0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点，则点M的轨迹方程为________.
【答案解析】答案为：(x－1)2＋(y－3)2=2.
解析：[圆C的方程可化为x2＋(y－4)2=16，所以圆心为C(0,4)，半径为4.
设M(x，y)，则eq \(CM,\s\up6(→))=(x，y－4)，eq \(MP,\s\up6(→))=(2－x,2－y).
由题设知eq \(CM,\s\up6(→))·eq \(MP,\s\up6(→))=0，故x(2－x)＋(y－4)(2－y)=0.即(x－1)2＋(y－3)2=2.
由于点P在圆C的内部，所以点M的轨迹方程是(x－1)2＋(y－3)2=2.]
已知点M是直线3x+4y-2=0上的动点,点N为圆(x+1)2+(y+1)2=1上的动点,则|MN|的最小值是 .
【答案解析】答案为：0.8；解析：圆心(-1,-1)到点M的距离的最小值为点(-1,-1)到直线3x+4y-2=0的距离为1.8,故点N到点M的距离的最小值为1.8-1=0.8.
三、解答题
已知过原点的动直线l与圆C1：x2＋y2－6x＋5＝0相交于不同的两点A，B.
(1)求圆C1的圆心坐标；
(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程.
【答案解析】解：(1)把圆C1的方程化为标准方程得(x－3)2＋y2＝4，
∴圆C1的圆心坐标为C1(3,0).
(2)设M(x，y)，∵A，B为过原点的直线l与圆C1的交点，且M为AB的中点，
∴由圆的性质知：MC1⊥MO，∴eq \(MC1,\s\up6(→))·eq \(MO,\s\up6(→))＝0.
又∵eq \(MC1,\s\up6(→))＝(3－x，－y)，eq \(MO,\s\up6(→))＝(－x，－y)，
∴由向量的数量积公式得x2－3x＋y2＝0.
易知直线l的斜率存在，∴设直线l的方程为y＝mx，
当直线l与圆C1相切时，d＝eq \f(|3m－0|,\r(m2＋1))＝2，解得m＝±eq \f(2\r(5),5).
把相切时直线l的方程代入圆C1的方程化简得9x2－30x＋25＝0，
解得x＝eq \f(5,3).当直线l经过圆C1的圆心时，M的坐标为(3,0).
又∵直线l与圆C1交于A，B两点，M为AB的中点，∴eq \f(5,3)∴点M的轨迹C的方程为x2－3x＋y2＝0，其中eq \f(5,3) 若直线y=x＋b与曲线y=eq \r(4－x2)有公共点，试求b的取值范围.
【答案解析】解：如图，在坐标系内作出曲线y=eq \r(4－x2)(半圆).
当直线y=x＋b与半圆y=eq \r(4－x2)相切时，eq \f(|b|,\r(2))=2，
所以b=2eq \r(2).
当直线y=x＋b过(2，0)时，b=－2.
直线l1：y=x－2，直线l2：y=x＋2eq \r(2).
当直线l：y=x＋b夹在l1与l2之间(包括l1，l2)时，l与曲线y=eq \r(4－x2)有公共点，
所以截距b的取值范围为：[－2，2eq \r(2)].
设圆的方程为x2＋y2=4，过点M(0,1)的直线l交圆于点A、B，O是坐标原点，点P为AB的中点，当l绕点M旋转时，求动点P的轨迹方程.
【答案解析】解：设点P的坐标为(x，y)、A(x1，y1)、B(x2，y2).
因为A、B在圆上，所以xeq \\al(2,1)＋yeq \\al(2,1)=4，xeq \\al(2,2)＋yeq \\al(2,2)=4，
两式相减得xeq \\al(2,1)－xeq \\al(2,2)＋yeq \\al(2,1)－yeq \\al(2,2)=0，
所以(x1－x2)(x1＋x2)＋(y1－y2)(y1＋y2)=0.
当x1≠x2时，有x1＋x2＋(y1＋y2)·eq \f(y1－y2,x1－x2)=0，①
并且eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(x1＋x2,2)，,y＝\f(y1＋y2,2)，,\f(y－1,x)＝\f(y1－y2,x1－x2)，))②
将②代入①并整理得x2＋(y－eq \f(1,2))2=eq \f(1,4).③
当x1=x2时，点A、B的坐标为(0,2)、(0，－2)，这时点P的坐标为(0,0)也满足③.
所以点P的轨迹方程为x2＋(y－eq \f(1,2))2=eq \f(1,4).
已知圆C：(x-3)2+(y-4)2=1,点A（-1，0），B（1，0），点P为圆上动点，
求d=|PA|2+|PB|2的最大、最小值及对应的P点坐标.
【答案解析】解：若设P（x0,y0）,
则d=|PA|2+|PB|2=(x0+1)2+y02+(x0-1)2+y02=2(x02+y02)+2,
欲求d的最值，只需求ω=x02+y02的最值，
即求圆C上的点到原点距离平方的最值，
故过原点O与圆心C的直线与圆的两个交点P1，P2即为所求.
设过O，C两点的直线交⊙C于P1、P2两点，
则ωmin=（|OC|-1）2=16=|OP1|2，此时dmin=2×16+2=34,P1( SKIPIF 1 < 0 );
ωmax=(|OC|+1)2=36=|OP2|2,此时，dmax=2×36+2=74,P2( SKIPIF 1 < 0 ).
在平面直角坐标系xOy中,已知圆P在x轴上截得的线段长为,在y轴上截得的线段长为.
(1)求圆心P的轨迹方程;
(2)若P点到直线y=x的距离为,求圆P的方程.
【答案解析】解析：
已知M为圆C：x2＋y2－4x－14y＋45=0上任意一点，且点Q(－2,3).
(1)求|MQ|的最大值和最小值；
(2)若M(m，n)，求eq \f(n－3,m＋2)的最大值和最小值.
【答案解析】解：(1)由圆C：x2＋y2－4x－14y＋45=0，
可得(x－2)2＋(y－7)2=8，
所以圆心C的坐标为(2,7)，半径r=2eq \r(2).
又|QC|=eq \r(2＋22＋7－32)=4eq \r(2)＞2eq \r(2).
所以点Q在圆C外，所以|MQ|max=4eq \r(2)＋2eq \r(2)=6eq \r(2)，
|MQ|min=4eq \r(2)－2eq \r(2)=2eq \r(2).
(2)可知eq \f(n－3,m＋2)表示直线MQ的斜率，
设eq \f(n－3,m＋2)=k，则直线MQ的方程为y－3=k(x＋2)，即kx－y＋2k＋3=0，
因为直线MQ与圆C有交点，
所以eq \f(|2k－7＋2k＋3|,\r(1＋k2))≤2eq \r(2)，可得2－eq \r(3)≤k≤2＋eq \r(3)，
所以eq \f(n－3,m＋2)的最大值为2＋eq \r(3)，最小值为2－eq \r(3).