人教A版 (2019)选择性必修 第一册第三章 圆锥曲线的方程3.1 椭圆精练

第三章　3.1.1

A级——基础过关练

1．已知a＝，c＝2，则该椭圆的标准方程为(　　)

A．＋＝1

B．＋＝1或＋＝1

C．＋y2＝1

D．＋y2＝1或x2＋＝1

【答案】D　【解析】由a2＝b2＋c2，得b2＝13－12＝1，分焦点在x轴和y轴上写标准方程，可知选D．

2．椭圆＋＝1的焦点坐标为(　　)

A．(0，±3) B．(±3,0)

C．(0，±5) D．(±4,0)

【答案】A　【解析】根据椭圆方程可知焦点在y轴上，且c2＝25－16＝9，所以焦点坐标是(0，±3)．

3．已知椭圆＋＝1的一个焦点为(2,0)，则椭圆的方程是(　　)

A．＋＝1 B．＋＝1

C．x2＋＝1 D．＋＝1

【答案】D　【解析】由题意知a2－2＝4，所以a2＝6，所以所求椭圆的方程为＋＝1.

4．已知椭圆＋＝1(a>5)的两个焦点为F1，F2，且|F1F2|＝8，弦AB过点F1，则△ABF2的周长为(　　)

A．10 B．20

C．2 D．4

【答案】D　【解析】因为a>5，所以焦点在x轴上．因为|F1F2|＝8，所以a2＝b2＋c2＝41.故△ABF2的周长为4a＝4.

5．如图，椭圆＋＝1上的点M到焦点F1的距离为2，N为MF1的中点，则|ON|(O为坐标原点)的值为________．

【答案】4　【解析】由|MF1|＝2，得|MF2|＝8，又因为ON是△F1MF2的中位线，所以|ON|＝4.

6．方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，实数m的取值范围是________．

【答案】(1,3)∪(－3，－1)　【解析】根据题意得0<|m|－1<2，所以1<|m|<3，所以m∈(1,3)∪(－3，－1)．

7．方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是________．

【答案】(－∞，－1)　【解析】根据题意得3－a>4，所以a<－1，所以a∈(－∞，－1)．

8．已知椭圆的方程为＋＝1，若C为椭圆上一点，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，并且|CF1|＝2，则|CF2|＝________.

【答案】8　【解析】根据椭圆的定义，椭圆上的点到两焦点的距离之和为10，因为|CF1|＝2，所以|CF2|＝8.

9．已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A(3，4)，点B(，2)，求椭圆C的方程．

解：依题意，可设椭圆C的方程为mx2＋ny2＝1，

从而解得

故椭圆C的方程为＋＝1.

10．已知椭圆的两焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，P为椭圆上一点，且2|F1F2|＝|PF1|＋|PF2|.

(1)求此椭圆方程；

(2)若点P满足∠F1PF2＝120°，求△PF1F2的面积．

解：(1)由已知得|F1F2|＝2，所以|PF1|＋|PF2|＝4＝2a，

所以a＝2，所以b2＝a2－c2＝4－1＝3，

所以椭圆的标准方程为＋＝1.

(2)在△PF1F2中，由余弦定理得

|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos 120°，

即4＝(|PF1|＋|PF2|)2－|PF1||PF2|，

所以4＝(2a)2－|PF1||PF2|＝16－|PF1||PF2|，

所以|PF1||PF2|＝12，

所以S△F1PF2＝|PF1||PF2|sin 120°＝×12×＝3.

B级——能力提升练

11．在△ABC中，B(－2,0)，C(2,0)，A(x，y)，给出△ABC满足的条件，就能得到动点A的轨迹方程，下表给出了一些条件及方程：

则满足条件①②③的点A的轨迹方程按顺序分别是(　　)

A．C3，C1，C2 B．C2，C1，C3

C．C1，C3，C2 D．C3，C2，C1

【答案】A　【解析】如图，在平面直角坐标系中，因为B(－2,0)，C(2,0)，若①△ABC周长为10，则|AB|＋|AC|＝6>4＝|BC|，所以点A的轨迹为以B，C为焦点，长轴长为6的椭圆(去除与x轴的交点)，方程为＋＝1(y≠0)；若②△ABC的面积为10，设A到BC所在直线的距离为d，则×|BC|×d＝10，即×4d＝10，d＝5，所以|y|＝5，y2＝25，所以点A的轨迹方程为y2＝25；若③△ABC中，∠A＝90°，则|OA|＝2，即＝2，x2＋y2＝4(y≠0)．所以满足条件①②③的点A的轨迹方程按顺序分别是C3，C1，C2.

12．(多选)已知椭圆＋＝1的两个焦点F1，F2，M是椭圆上一点，且|MF1|－|MF2|＝1，则△MF1F2一定不是(　　)

A．钝角三角形 B．直角三角形

C．锐角三角形 D．等边三角形

【答案】ACD　【解析】由椭圆定义知|MF1|＋|MF2|＝2a＝4，且|MF1|－|MF2|＝1，所以|MF1|＝，|MF2|＝，又|F1F2|＝2c＝2，所以有|MF1|2＝|MF2|2＋|F1F2|2，因此∠MF2F1＝90°，△MF1F2为直角三角形．

13．直线l：2x－3y＋12＝0与x轴、y轴分别交于A，B两点，则以A为焦点，经过B点的椭圆的标准方程是______________．

【答案】＋＝1　【解析】由题意可知A(－6,0)，B(0，4)，因为椭圆以A为焦点，所以c＝6，且焦点在x轴上，所以b2＝a2－36.设椭圆方程为＋＝1，把B点坐标代入，得＋＝1，所以a2＝52，b2＝16，所以椭圆方程为＋＝1.

14．在平面直角坐标系Oxy中，已知△ABC顶点A(－4,0)和C(4,0)，顶点B在椭圆＋＝1上，则＝____________.

【答案】　【解析】由题意知|AC|＝8，|AB|＋|BC|＝10.所以＝＝＝.

15．已知椭圆的中心在原点，两焦点F1，F2在x轴上，且过点A(－4,3)．若F1A⊥F2A，求椭圆的标准方程．

解：设所求椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．

设焦点F1(－c,0)，F2(c,0)．

因为F1A⊥F2A，所以·＝0.

而＝(－4＋c,3)，＝(－4－c,3)，

所以(－4＋c)·(－4－c)＋32＝0，所以c2＝25，即c＝5，

所以F1(－5,0)，F2(5,0)．

所以2a＝|AF1|＋|AF2|＝＋＝＋＝4，

所以a＝2，所以b2＝a2－c2＝(2)2－52＝15，

所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.

16．已知P是椭圆＋y2＝1上的任意一点，F1，F2为椭圆的两焦点．

(1)求|PF1|·|PF2|的最大值；

(2)求|PF1|2＋|PF2|2的最小值．

解：(1)因为椭圆方程为＋y2＝1，

所以a＝2，b＝1，所以c＝，即|F1F2|＝2.

又因为|PF1|＋|PF2|＝2a＝4，

所以|PF1|·|PF2|≤2＝2＝4，

当且仅当|PF1|＝|PF2|＝2时取“＝”，此时点P是短轴顶点，所以|PF1|·|PF2|的最大值为4.

(2)因为|PF1|2＋|PF2|2≥2|PF1|·|PF2|，

所以2(|PF1|2＋|PF2|2)≥|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|＝(|PF1|＋|PF2|)2，

所以|PF1|2＋|PF2|2≥(|PF1|＋|PF2|)2＝×16＝8，

当且仅当|PF1|＝|PF2|＝2时取“＝”．

所以|PF1|2＋|PF2|2的最小值为8.

C级——探究创新练

17．已知点P(6,8)是椭圆＋＝1(a>b>0)上一点，F1，F2为椭圆的两焦点，若·＝0，则椭圆的方程是________；sin∠PF1F2的值为________．

【答案】＋＝1　　【解析】因为·＝0，所以－(c＋6)(c－6)＋64＝0，所以c＝10，所以F1(－10,0)，F2(10,0)，所以2a＝|PF1|＋|PF2|＝＋＝12，所以a＝6，b2＝80.所以椭圆方程为＋＝1.如图，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，则|PM|＝8，|F1M|＝10＋6＝16，所以|PF1|＝＝＝8，所以sin∠PF1F2＝＝＝.

18．设F1，F2分别是椭圆＋y2＝1的左、右焦点，B为椭圆上的点且坐标为(0，－1)．

(1)若C为椭圆上异于B的一点，且＝λ，求λ的值；

(2)设P是该椭圆上的一个动点，求△PBF1的周长的最大值．

解：(1)设C(x0，y0)，B(0，－1)，F1(－，0)，

由＝λ得x0＝，y0＝－.

又＋y＝1，所以＋2＝1，

化简得λ2＋6λ－7＝0，

解得λ＝－7或λ＝1.因为点C异于B点，所以λ＝－7.

(2)因为|PF1|＋|PB|＝4－|PF2|＋|PB|≤4＋|BF2|，

所以△PBF1的周长≤4＋|BF2|＋|BF1|＝8，

所以当P点位于直线BF2与椭圆的交点处时，△PBF1的周长最大，最大值为8.