18.2 特殊的平行四边形 第四课时-2022-2023学年八年级数学下册课件（人教版）

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18.2 特殊的平行四边形第4课时目录课前导入新课精讲学以致用课堂小结课前导入情景导入菱形的性质：(1)菱形具有平行四边形的一切性质；(2)菱形的四条边都相等；(3)菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；新课精讲探索新知1知识点由对角线的位置关系判定菱形 同学们想一想，我们在学习平行四边形的判定和矩形的判定时，我们首先想到的第一种方法是什么？那么类比着它们，菱形的第一种判定方法是什么？根据定义得：一组邻边相等的平行四边形是菱形.探索新知一组邻边相等还有其它的方法吗？探索新知 用一长一短两根细木条，在它们的中点处固定一个小钉，做成一个可以转动的十字，四周围上一根橡皮筋，做成一个四边形. 转动木条，这个四边形什么时候变成菱形?猜想一：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。探索新知证明：判定一：对角线互相垂直的平行四形是菱形.DCBA已知：在 ABCD 中有对角线AC⊥BD，且相交于点O求证： ABCD 是菱形∵四边形ABCD 是平行四边形. ∴BO=DO又∵AO=AO，∠AOD=∠AOB∴△AOD ≌ △AOB. ∴AD=AB∴ ABCD 是菱形O探索新知对角线互相垂直的平行四边形是菱形.提示：此方法包括两个条件 ——(1)是一个平行四边形；(2)两条对角线互相垂直.对角线互相垂直且平分的四边形是菱形.探索新知例1 如图，□ ABCD 的对角线AC，BD 相交于点O，且 AB=5，AO=4，BO=3.求证： □ ABCD 是菱形.∵AB =5，AO =4，BO =3，∴AB 2=AO 2+BO 2.∴△OAB 是直角三角形， AC⊥BD. ∴□ABCD 是菱形.证明：探索新知证明一个四边形是菱形的方法： 若已知要证的四边形的对角线互相垂直，则要考虑证明这个四边形是平行四边形．典题精讲1如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分构成的四边形ABCD 是一个菱形吗？为什么？四边形ABCD 是一个菱形．理由：由题意易得AB＝BC＝CD＝AD，所以四边形ABCD 是菱形．解：典题精讲2 如图，四边形 ABCD 是轴对称图形，且直线 AC 是对称轴，BD与AC 交于点O，AB∥CD，则下列结论：①AC⊥BD；②AD∥ BC；③四边形 ABCD 是菱形；④△ABD ≌ △CDB.其中正确的是____________(只填写序号). ①②③④探索新知2知识点由边的数量关系判定菱形 我们知道，菱形的四条边相等. 反过来，四条边相等的四边形是菱形吗?思考探索新知例2 如图，在四边形ABCD 中，AD∥BC，AB＝CD， 点E，F，G，H 分别是AD，BD，BC，AC 的中 点．试说明：四边形EFGH 是菱形．由于点E，F，G，H 分别是AD，BD，BC，AC 的中点，可知EH，HG，GF，FE 分别是△ACD，△ABC，△BCD，△ABD 的中位线，又∵AB＝CD，∴EH＝HG＝GF＝FE，根据“四条边相等的四边形是菱形”可得四边形EFGH 是菱形． 导引：探索新知∵点E，H 分别为AD，AC 的中点，∴EH 为△ACD 的中位线，∴EH＝ CD.同理可证：EF＝ AB，FG＝ CD，HG＝ AB.∵AB＝CD，∴EH＝EF＝FG＝HG，∴四边形EFGH 是菱形．解：探索新知 有较多线段相等的条件时，我们可考虑通过证明四条边相等来证明这个四边形是菱形．注意：本例也可以通过先证四边形EFGH 是平行四边形，再证一组邻边相等，只不过步骤复杂一点，读者不妨试一试．探索新知要证明一个四边形是菱形，一般先证明它是平行四边形，再证明它的一组邻边相等或对角线互相垂直．例3 如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，AD 平分∠BAC 交BC 于点D，CH⊥AB 于点H，交AD 于点F，DE⊥AB 于点E， 那么四边形CDEF 是菱形吗？说说你的理由．导引：探索新知四边形CDEF 是菱形．理由如下：∵CH⊥AB，DE⊥AB，∴CF∥DE，∠4＋∠5＝90°.∵∠ACB＝90°，∴∠2＋∠3＝90°，DC⊥AC.又∵AD 平分∠BAC，DE⊥AB，∴∠3＝∠4，DC＝DE，∴∠2＝∠5.又∵∠1＝∠5，∴∠1＝∠2.∴CF＝CD，∴CF＝DE，即CF DE.∴四边形CDEF 是平行四边形．又∵DC＝DE，∴四边形CDEF 是菱形．解：探索新知判定菱形的方法：①若用对角线进行判定：先证明四边形是平行四边形，再证明对角线互相垂直，或直接证明四边形的对角线互相垂直平分；②若用边进行判定：先证明四边形是平行四边形，再证明一组邻边相等，或直接证明四边形的四条边都相等．典题精讲一个平行四边形的一条边长是9，两条对角线的长分别是12和 ，这是一个特殊的平行四边形吗？为什么？求出它的面积.1这是一个特殊的平行四边形，是菱形．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝9，BD＝12，AC＝所以OB＝OD＝6，OA＝OC＝解：典题精讲因为62＋( )2＝92，即OB 2＋OA 2＝AB 2，所以△AOB 是直角三角形，所以AO⊥BO，即AC⊥BD，所以平行四边形ABCD 是菱形．S菱形ABCD＝ AC·BD＝ ×6 ×12＝36 .典题精讲2 如图，四边形ABCD 的对角线AC，BD 互相垂直，则下列条件能判定四边形ABCD 为菱形的是(　　)A．BA＝BC B．AC，BD互相平分C．AC＝BD D．AB∥CDB典题精讲3 如图，在▱ABCD 中，对角线AC，BD 相交于点O，添加下列条件不能判定▱ABCD 是菱形的只有(　　)A．AC⊥BD B．AB＝BC C．AC＝BD D．∠1＝∠2C典题精讲4如图，将▱ABCD 沿AE 翻折，使点B 恰好落在AD上的点F 处，则下列结论不一定成立的是(　　)A．AF＝EF B．AB＝EF C．AE＝AF D．AF＝BEC典题精讲5如图，在△ABC 中，点D 是边BC 上的点(与B，C 两点不重合)，过点D 作DE∥AC，DF∥AB，分别交AB，AC 于E，F 两点，下列说法正确的是(　　)A．若AD⊥BC，则四边形AEDF 是矩形B．若AD 垂直平分BC，则四边形AEDF 是矩形C．若BD＝CD，则四边形AEDF 是菱形D．若AD 平分∠BAC，则四边形AEDF 是菱形D典题精讲6如图，四边形ABCD 的四边相等，且面积为120 cm2，对角线AC ＝24 cm，则四边形ABCD 的周长为 (　　)A．52 cm　 B．40 cm C．39 cm D．26 cm A易错提醒下列命题：①四边都相等的四边形是菱形；②两组邻边分别相等的四边形是菱形；③对角线互相垂直的平行四边形是菱形；④对角线相等的四边形是菱形；⑤一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形．其中正确的是__________(填序号)．①③⑤易错提醒易错点：臆造菱形的判定方法导致出错.①②③⑤错解：②是最容易出错的，两组邻边分别相等的四边形不一定是菱形，如图，AB＝AD，BC＝CD，但四边形ABCD 不是菱形．判定菱形时，要区分是在四边形还是平行四边形的基础上进行判定的，要注意两者的区别与联系．诊断：学以致用小试牛刀1如图，在△ABC 中，AD 是角平分线，DE ∥AC 交AB 于点E，DF ∥AB交AC 于点F. 如果AE＝4 cm，那么四边形AEDF 的周长为(　　)A．12 cm B．16 cm C．20 cm D．22 cmB小试牛刀2如图，分别以Rt△ABC 的斜边AB 和直角边AC 为边向△ABC 外作等边三角形ABD 和等边三角形ACE，F 为AB 的中点，DE 与AB 交于点G，EF 与AC 交于点H，∠BAC＝30°.给出以下结论：①EF⊥AC；　　　②四边形ADFE 为菱形；③AD＝4AG； ④FH＝ BD.其中正确的结论是(　　)A．①②③　 B．①②④　 C．①③④　 D．②③④C小试牛刀3 如图，四边形ABCD 是平行四边形，点E 是边CD 上一点，且BC＝EC，CF⊥BE 交AB 于点F，P 是EB 延长线上一点，下列结论：①BE 平分∠CBF；②CF 平分∠DCB；③BC＝FB；④PF＝PC，其中正确结论的个数为(　　)A．1 B．2 C．3 D．4D小试牛刀如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，点D，E 分别是边 BC，AB 上的中点，连接DE 并延长至点F，使EF＝2DE， 连接CE，AF. (1)求证：AF＝CE； (2)当∠B＝30°时，试判断四边形ACEF 的形状并说明理由．小试牛刀(1)证明：∵点D，E 分别是边BC，AB上的中点， ∴DE∥AC，且DE＝ AC. ∴AC＝2DE. ∵EF＝2DE， ∴EF＝AC，又∵EF∥AC， ∴四边形ACEF 是平行四边形． ∴AF＝CE.(2)解：四边形ACEF 是菱形．理由如下： ∵在Rt△ABC 中，E 为AB 的中点，∴EC＝ AB. ∵∠B＝30°，∴AC＝ AB. ∴AC＝EC. ∵四边形ACEF 是平行四边形， ∴四边形ACEF 是菱形．小试牛刀如图，在矩形ABCD 中，∠ABD、∠CDB 的平分线 BE、DF 分别交边AD、BC 于点E、F. (1)求证：四边形BEDF 是平行四边形； (2)当∠ABE 为多少度时，四边形BEDF 是菱形？请说明理由．小试牛刀(1)∵四边形ABCD 是矩形， ∴AB∥DC、AD∥BC， ∴∠ABD＝∠CDB. ∵BE 平分∠ABD、DF 平分∠BDC， ∴∠EBD＝ ∠ABD，∠FDB＝ ∠BDC. ∴∠EBD＝∠FDB. ∴BE∥DF. 又∵AD∥BC， ∴四边形BEDF 是平行四边形．证明：小试牛刀(2)当∠ABE＝30°时，四边形BEDF 是菱形． 理由：∵BE 平分∠ABD， ∴∠ABD＝2∠ABE＝60°，∠EBD＝∠ABE＝30°. ∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠A＝90°. ∴∠EDB＝90°－∠ABD＝30°. ∴∠EDB＝∠EBD＝30°. ∴EB＝ED. 又∵四边形BEDF 是平行四边形， ∴四边形BEDF 是菱形．解：小试牛刀如图，在平行四边形ABCD 中，边AB 的垂直平分线 交AD 于点E，交CB 的延长线于点F，连接AF，BE. (1)求证：△AGE ≌ △BGF； (2)试判断四边形AFBE 的形状，并说明理由．小试牛刀(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD∥BC. ∴∠AEG＝∠BFG. ∵EF 垂直平分AB， ∴AG＝BG. 在△AGE 和△BGF 中， ∴△AGE ≌ △BGF (AAS)．(2)解：四边形AFBE 是菱形，理由如下： ∵△AGE ≌ △BGF，∴AE＝BF. ∵AD∥BC，∴四边形AFBE 是平行四边形． 又∵EF⊥AB，∴四边形AFBE 是菱形．小试牛刀如图①，将一张矩形纸片ABCD 沿着对角线BD 向上折 叠，顶点C 落到点E 处，BE 交AD 于点F. (1)求证：△BDF 是等腰三角形； (2)如图②，过点D 作DG∥BE，交BC 于点G，连接FG 交BD 于点O. ①判断四边形BFDG 的形状，并说明理由； ②若AB＝6，AD＝8，求FG 的长．小试牛刀(1)由折叠得，△BDC ≌ △BDE， ∴∠DBC＝∠DBE. 又∵四边形ABCD 是矩形， ∴AD∥BC，∴∠DBC＝∠FDB， ∴∠DBE＝∠FDB，∴DF＝BF， ∴△BDF 是等腰三角形．证明：小试牛刀(2)①四边形BFDG 是菱形．理由如下： ∵四边形ABCD 是矩形， ∴FD∥BG. ∵DG∥BE， ∴四边形BFDG 是平行四边形． ∵DF＝BF， ∴四边形BFDG 是菱形．解：小试牛刀②∵四边形ABCD 是矩形，∴∠A＝90°.∴BD＝ ＝10.∵四边形BFDG 是菱形，∴GF⊥BD，FG＝2OF，OB＝ BD＝5.设DF＝BF＝x，则AF＝AD－DF＝8－x，在Rt△ABF 中，AB 2＋AF 2＝BF 2，即62＋(8－x )2＝x 2，解得：x＝ . ∴FB＝ .在Rt△FOB 中，FO＝ ，∴FG＝2FO＝ .课堂小结课堂小结一组邻边相等对角线互相垂直四条边相等五种判定方法四边形菱形的判定方法：同学们，下节课见！