18.2 特殊的平行四边形 第三课时-2022-2023学年八年级数学下册课件（人教版）

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18.2 特殊的平行四边形第3课时目录课前导入新课精讲学以致用课堂小结课前导入情景导入平行四边形的性质：平行四边形的对边平行；平行四边形的对边相等；平行四边形的对角相等；平行四边形的邻角互补；平行四边形的对角线互相平分；温故而知新：新课精讲探索新知1知识点菱形的定义 在平行四边形中，如果内角大小保持不变仅改变边的长度，能否得到一个特殊的平行四边形？ 平行四边形 菱形探索新知有一组 的 叫做邻边相等 平行四边形 ADCB∵四边形ABCD是平 行四边形 AB=BC∴四边形ABCD是菱形菱形. 探索新知例1 已知：如图，在△ABC 中，CD 平分∠ACB 交AB 于点D，DE∥AC 交BC 于点E，DF∥BC 交AC 于 点F. 四边形DECF 是菱形吗？为什么？因为DE∥FC，DF∥EC，所以四边形DECF 为平行四边形，再根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形求证即可．导引：探索新知四边形DECF 是菱形．理由如下：∵DE∥FC，DF∥EC，∴四边形DECF 为平行四边形． 由AC∥DE，知∠2＝∠3.∵CD 平分∠ACB，∴∠1＝∠2，∴∠1＝∠3，∴DE＝EC，∴平行四边形DECF 为菱形(有一组邻边相等的平行四边形是菱形)．解：探索新知 本题考查了菱形的定义，菱形的定义也可以作为菱形的判定方法．典题精讲1如图，若要使平行四边形ABCD 成为菱形，则需要添加的条件是(　　)A．AB＝CD B．AD＝BCC．AB＝BC D．AC＝BDC典题精讲2如图，在△ABC 中，AB≠AC，D 是BC 上一点，DE∥AC 交AB 于点E，DF∥AB 交AC 于点F，要使四边形AEDF 是菱形，只需添加的条件是(　　)A．AD⊥BC B．∠BAD＝∠CADC．BD＝DC D．AD＝BDB探索新知2知识点菱形的边的性质 菱形具有平行四边形的所有性质．此外，菱形还具有哪些特殊性质呢? 根据菱形的轴对称性，你发现菱形的四条边具有什么大小关系?问 题菱形的四条边都相等.探索新知例2 如图所示，菱形ABCD 中，∠B＝60°，AB＝2，E、F 分别是BC、CD 的中点，连接AE、EF、AF，则△AEF 的周长为( ) A． B． C． D．3 在菱形ABCD 中，因为∠B＝60°，连接AC，则△ABC 是等边三角形，又因为E 分别是BC 的中点，所以AE 垂直于BC，因此AE＝ ，所以△AEF 的周长为 ，故选B.B分析：探索新知 在菱形中作辅助线经常连接对角线，构造三角形来做题，能够迎刃而解.典题精讲1边长为3 cm的菱形的周长是(　　)A．6 cm B．9 cm C．12 cm D．15 cmC2如图，在菱形ABCD 中，AB＝4，∠B＝60°，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，连接EF，则△AEF 的面积是(　　)A．4 B．3 C．2 D.B探索新知3知识点菱形的对角线的性质 因为菱形是平行四边形，所以它具有平行四边形的所有性质.由于它的一组邻边相等，它是否具有一般平行四边形不具有的一些特殊性质呢？思考菱形的两条对角线AC 与BD 之间具有什么位置关系?探索新知 对于菱形，我们仍然从它的对角线等方面进行研究. 可以发现并证明(请你自己完成证明)，菱形还有以下性质： 菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.探索新知问 题菱形的面积如何计算呢？菱形的面积有两种计算方法：一种是底乘以高的积；另一种是对角线乘积的一半.所以在求菱形的面积时，要灵活运用使计算简单.探索新知由于菱形的四条边都相等，所以要求其周长就要先求出其边长．由菱形的性质可知，其对角线互相垂直平分，因此可以在直角三角形中利用勾股定理来进行计算．例3 如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于 点O，BD＝12 cm，AC＝6 cm.求菱形的周长．导引：探索新知∵四边形ABCD 是菱形，∴AC⊥BD，AO＝ AC，BO＝ BD.∵AC＝6 cm，BD＝12 cm，∴AO＝3 cm，BO＝6 cm. 在Rt△ABO 中，由勾股定理， 得AB＝ ∴菱形的周长＝4AB解：探索新知 菱形的对角线将菱形分成四个全等的直角三角形，我们通常将菱形问题中求相关线段的长转化为求直角三角形中相关线段的长，再利用勾股定理来计算．探索新知如图，菱形花坛ABCD 的边长为20 m，∠ABC=60°，沿着菱形的对角线修建了两条小路AC 和BD. 求两条小路的长(结果保留小数点后两位)和花坛的面积(结果保留小数点后一位).例4 探索新知∵花坛ABCD 的形状是菱形，∴AC⊥BD，∠ABO = ∠ABC = × 60°= 30°. 在Rt△OAB 中，AO = AB = ×20=10，∴花坛的两条小路长AC = 2AO =20 (m)， BD = 2BO=20 ≈34. 64 (m). 花坛的面积S 四边形ABCD=4×S △OAB = AC·BD=200 ≈346. 4 (m2).解：探索新知菱形的面积有三种计算方法：(1)将其看成平行四边形，用底与高的积来求；(2)对角线分得的四个全等直角三角形面积之和；(3)两条对角线乘积的一半．说明：读者可利用(1)(2)两种方法试一试；注意应用(3)这种方法时不要忽视“一半”．典题精讲1四边形ABCD 是菱形，对角线AC，BD 相交于点O，且AB = 5，AO = 4. 求AC 和BD 的长.如图所示，因为四边形ABCD 是菱形，所以AC⊥BD，且AO＝CO，OB＝OD.又因为AB＝5，AO＝4，所以在Rt△AOB 中，OB＝所以BD＝2OB＝2×3＝6，AC＝2AO＝2×4＝8.解：典题精讲2已知菱形的两条对角线的长分别是6和8，求菱形的周长和面积.如图，由已知得，在菱形ABCD 中，AC＝8，BD＝6.所以OA＝OC＝4，OB＝OD＝3.又由题意知AC⊥BD，所以在Rt△OAB 中，AB＝又因为AB＝BC＝CD＝AD，所以菱形的周长为AB＋BC＋CD＋AD＝4AB＝4×5＝20，菱形的面积为 AC·BD＝ ×8×6＝24.解：典题精讲3已知菱形的周长为4 ，两条对角线的和为6，则菱形的面积为(　　)A．2 B. C．3 D．4D4如图，菱形ABCD 的对角线AC，BD 的长分别为6 cm，8 cm，则这个菱形的周长为(　　)A．5 cm B．10 cm C．14 cm D．20 cmD探索新知4知识点菱形的对称性 我们已经知道菱形是特殊的平行四边形，因此菱形是中心对称图形，想一想 菱形是不是轴对称图形？如果是轴对称图形，对称轴各几条？菱形是轴对称图形，对称轴有两条.探索新知 菱形是轴对称图形，它有两条对称轴. 对称轴是分别经过两组对角顶点的两条直线．探索新知例5 如图①，在菱形ABCD 中，E，F 分 别是CB，CD上的点，且BE＝DF. (1)求证：AE＝AF. (2)若∠B＝60°，点E，F 分 别是BC，CD 的中点，求证：△AEF 为等边三角形.(1)要证AE＝AF，只需证△AEB ≌ △AFD，由BE＝DF 及菱形的相关性质进行证明即可．(2)如图②，要证△AEF 为等边三角形，由AE＝AF 知，只需证∠EAF＝60°即可，要证∠EAF＝60°，只需证∠1＝∠2＝30°即可，这可由菱形及等边三角形相关知识证出．导引：探索新知(1)∵四边形ABCD 是菱形， ∴AB＝AD，∠B＝∠D. 又∵BE＝DF， ∴△ABE ≌ △ADF，∴AE＝AF.(2)如图②，连接AC. ∵四边形ABCD 是菱形，∴AB＝BC. 又∵∠B＝60°，∴△ABC 为等边三角形． ∴∠BAC＝60°. ∵E 为BC 的中点，∴∠1＝ ∠BAC＝30°. 同理∠2＝30°，∴∠EAF＝60°. 又∵AE＝AF，∴△AEF 为等边三角形．证明：探索新知 菱形的每条对角线把菱形分成两个全等的等腰三角形(特殊时为两个全等的等边三角形)，两条对角线把菱形分成四个全等的直角三角形．所以有关菱形的一些证明与计算问题常常与特殊的三角形的有关问题综合在一起．典题精讲1菱形是轴对称图形，其对称轴的条数为(　　)A．2条 B．4条 C．6条 D．8条A2下列性质中菱形不一定具有的性质是(　　)A．对角线互相平分B．对角线互相垂直C．对角线相等D．既是轴对称图形又是中心对称图形C易错提醒在菱形ABCD 中，∠A＝30°.在同一平面内，以对角线BD 为底边作顶角为120°的等腰三角形BDE，则∠EBC 的度数为______________．45°或105°易错点：考虑问题不全导致漏解.易错提醒 此题易因考虑不全而出错．本题考查了菱形和等腰三角形的性质及分类讨论思想，解题的关键是能够根据题意正确地画出符合题意的图形，求出相关的角度．顶角为120°的等腰三角形BDE (BD为底边)，点E 可能在△ABD 内，也可能在△CBD 内，所以要分情况讨论．学以致用小试牛刀1如图，在边长为6的菱形ABCD 中，∠DAB＝60°，以点D 为圆心，菱形的高DF 为半径画弧，交AD 于点E，交CD 于点G，则图中阴影部分的面积是(　　)A．18 －9π B．18－3πC．9 －D．18 －3πA小试牛刀2如图，菱形ABCD 的边AB＝8，∠B＝60°，P 是AB上一点，BP＝3，Q是CD 边上一动点，将梯形APQD 沿直线PQ 折叠，A 的对应点为A′. 当CA′的长度最小时，CQ 的长为(　　)A．5 B．7 C．8 D.B小试牛刀3求证：菱形的两条对角线互相垂直．已知：如图，四边形ABCD 是菱形，对角线AC，BD 交于点O. 求证：AC⊥BD.以下是排乱的证明过程：①又BO＝DO；②∴AO⊥BD，即AC⊥BD；③∵四边形ABCD 是菱形；④∴AB＝AD.证明步骤正确的顺序是(　　)A．③→②→①→④ B．③→④→①→②C．①→②→④→③ D．①→④→③→②B小试牛刀如图，在▱ABCD 中，BC＝2AB＝4，点E，F 分别是BC， AD 的中点． (1)求证：△ABE ≌ △CDF； (2)当四边形AECF 为菱形时，求出该菱形的面积．小试牛刀(1)证明：∵四边形ABCD 为平行四边形， ∴AB＝CD，∠B＝∠D，BC＝AD. ∵E，F 分别是BC，AD 的中点， ∴BE＝DF，∴△ABE ≌ △CDF.(2)解：由题易知AB＝BE＝2.当四边形AECF 为菱形时， AE＝EC＝BE＝2. ∴△ABE 为等边三角形． 如图，过点A作AM⊥BE 于M， 则BM＝1， ∴AM＝ . ∴菱形AECF 的面积为2× ＝2 .小试牛刀如图，在矩形ABCD 中，AB＝6，BC＝4，过对角线 BD 中点O 的直线分别交AB，CD 边于点E，F. (1)求证：四边形BEDF 是平行四边形； (2)当四边形BEDF 是菱形时，求EF 的长．小试牛刀(1)∵四边形ABCD 是矩形，O 是BD 的中点， ∴∠A＝90°，AD＝BC＝4，AB∥DC，OB＝OD， ∴∠OBE＝∠ODF， 在△BOE 和△DOF 中， ∴△BOE ≌ △DOF (ASA)． ∴EO＝FO. ∴四边形BEDF 是平行四边形．证明：小试牛刀(2)当四边形BEDF 是菱形时，BD⊥EF，BE＝DE. 设BE＝x，则DE＝x，AE＝6－x， 在Rt△ADE 中，DE 2＝AD 2＋AE 2， ∴x2＝42＋(6－x)2，解得：x＝ ， ∵BD＝ ， ∴BO＝ BD＝ .∵BD⊥EF， ∴EO＝ . ∴EF＝2EO＝ .解：小试牛刀如图，在菱形ABCD 中，对角线AC，BD 相交于点O， 过点D 作对角线BD 的垂线交BA 的延长线于点E. (1)求证：四边形ACDE 是平行四边形； (2)若AC＝8，BD＝6，求△ADE 的周长．小试牛刀(1)证明：∵四边形ABCD 是菱形， ∴AB∥CD，AC⊥BD. ∵DE⊥BD，∴DE∥AC. ∴四边形ACDE 是平行四边形．(2)解：∵四边形ABCD 是菱形， AC＝8，BD＝6， ∴AO＝4，DO＝3. ∴CD＝AD＝5. ∵四边形ACDE 是平行四边形， ∴AE＝CD＝5，DE＝AC＝8. ∴△ADE 的周长为AD＋AE＋DE＝5＋5＋8＝18.小试牛刀如图，四边形ABCD 是菱形，点E 为对角线AC 上一点， 连接DE 并延长交AB 的延长线于点F. 连接CF，BD，BE. (1)求证：∠AFD＝∠EBC； (2)若E 为△BCD 的重心，求∠ACF 的度数．小试牛刀(1) ∵四边形ABCD 为菱形， ∴AB∥CD，DC＝BC，∠DCE＝∠BCE. 又∵CE＝CE， ∴△DCE ≌ △BCE (SAS)． ∴∠EBC＝∠EDC. 又∵AB∥CD，∴∠AFD＝∠EDC. ∴∠AFD＝∠EBC.证明：小试牛刀(2)如图，设DF 交BC 于点P，AC 交BD 于点O， ∵E 为△BCD 的重心， ∴P 为BC 的中点．∴BP＝CP. 又∵∠CDP＝∠BFP， ∠CPD＝∠BPF， ∴△CDP ≌ △BFP (AAS)．∴DP＝FP. ∴四边形BFCD 是平行四边形． ∴FC∥BD. ∵四边形ABCD 为菱形， ∴AC⊥BD. ∴∠AOB＝90°. ∴∠ACF＝∠AOB＝90°.解：课堂小结课堂小结1．菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 2．菱形的性质： (1)它具有平行四边形的一切性质. (2)菱形的四条边相等. (3)菱形的对角线互相垂直， 并且一条对角线平分 一组对角.同学们，下节课见！