人教版八年级上册14.3.1 提公因式法精品教案

14.3.1 提公因式法 教学设计

一、教学目标：

1.理解因式分解的意义和概念及其与整式乘法的区别和联系.

2.理解并掌握提公因式法并能熟练地运用提公因式法分解因式.

二、教学重、难点：

重点：用提公因式法分解因式.

难点：如何确定多项式中的公因式以及提取公因式注意事项.

三、教学过程：

问题引入

比一比，看谁算得快

(1)已知：a=46，b=54，x=6，求ax2+bx2的值；=3600
(2)已知：a=101，b=99，求a2-b2的值. =400

你能说说算得快的原因吗？

解：(1)ax2+bx2=x2(a+b)=36×(46+54)=3600

(2)a2-b2=(a+b)(a-b)=(101+99)(101-99)=200×2=400

    我们知道，利用整式的乘法运算，有时可以将几个整式的乘积化为一个多项式的形式. 反过来，在式的变形中，有时需要将一个多项式写成几个整式的乘积的形式.

知识精讲

探究：请把下列多项式写成整式的乘积的形式：

(1) x2+x=__________；(2) x2-1=__________.

因式分解

    我们把一个多项式化成了几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.

因式分解与整式乘法是方向相反的变形，即

典例解析

例1.下列由左边到右边的变形，属于因式分解的是（     ）

A．               B． 

C．           D．

【分析】解：A．由左边到右边的变形属于因式分解，故本选项符合题意；

B．，原式等式两边不相等，即从等式的左边到右边的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；

C．从等式的左边到右边的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；

D．从等式的左边到右边的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；

故选：A．

【点睛】因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解的右边是两个或几个因式积的形式，整式乘法的右边是多项式的形式．

【针对练习】下列各式从左边到右边的变形是因式分解的是（  ）

A． 

B． 

C． 

D．

思考：观察下列多项式有何共同特点？
ab+ac；     3x2+x；    mb2+nb+b.

    多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式. 如：pa+pb+pc的公因式是p.

说出下列各多项式的公因式：
(1) ma+mb；_____       (2) 4kx-8ky；_____
(3) 5y3+20y2；_____     (4) a2b-2ab2+ab. _____

正确找出多项式的公因式的步骤：

1.定系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数.

2.定字母：字母取多项式各项中都有的相同的字母.

3.定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母的最低次数.    

例2.(1)多项式中各项的公因式是（  ）

A．              B．           C．             D．

【分析】解：在多项式中，各系数的最大公因式为5，相同字母的最低次幂为，则各项的公因式是．故选：C．

(2)式子，，中的公因式是（　　）

A．  B． C．  D．

【分析】解：因为5a2b(b−a)＝−5a2b(a−b)，−120a3b3(a2−b2)＝−120a3b3(a＋b)(a−b)，所以式子15a3b3(a−b)，5a2b(b−a)，−120a3b3(a2−b2)中的公因式是5a2b(b−a)．故选：A．

【针对练习】1．与的公因式为（     ）

A．       B．      C．       D．

2．多项式的公因式是（     ）

A．     B．     C．     D．

3．多项式2xmyn-1﹣4xm-1yn（m，n均为大于1的整数）各项的公因式是（　  ）

A．4xm-1yn-1 B．2xm-1yn-1            C．2xmyn        D．4xmyn

提公因式法

ma+mb+mc=m(a+b+c)

 公因式 提公因式法

    如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.

例3.把8a3b2 + 12ab3c分解因式.

分析：8与12的最大公约数是___；相同字母有___和___；a的最低指数___，b的最低指数___；公因式是_____.

解：8a3b2+12ab3c

=4ab2·2a2+4ab2·3bc

=4ab2(2a2+3bc)

如果提出公因式4ab，另一个因式是否还有公因式？2a2b+3b2c

如何检查因式分解是否正确？

可用整式乘法来检验因式分解是否正确.

例4.把下列名式分解因式.

(1) 2a(b+c)-3(b+c)    (2) 3x2-6xy+x

解：(1) 2a(b+c)-3(b+c)=(b+c)(2a-3)
(2) 3x2-6xy+x=x(3x-6y+1)   (注：1不能漏掉)

【点睛】提公因式法步骤（分两步）

 第一步：找出公因式；

 第二步：提取公因式，将多项式化为两个因式的乘积.公因式既可以是一个单项式的形式，也可以是一个多项式的形式.可用整式乘法来检验因式分解是否正确.

【针对练习】把下列各式分解因式：

(1) ax+ay    (2) 3mx-6my    (3) 8m2n+2mn    (4) 12xyz-9x2y2

(5) 2a(y-z)-3b(z-y)    (6) p(a2+b2)-q(a2+b2)

解：(1) ax+ay=a(x+y)

(2) 3mx-6my=3m(x-2y)

(3) 8m2n+2mn=2mn(4m+1)

(4) 12xyz-9x2y2=3xy(4z-3xy)

(5) 2a(y-z)-3b(z-y)=2a(y-z)+3b(y-z)=(y-z)(2a+3b)

(6) p(a2+b2)-q(a2+b2)=(a2+b2)(p-q)

例5.计算：

(1)39×37－13×91；       (2)29×20.21＋72×20.21＋13×20.21－20.21×14.

解：(1)原式＝3×13×37－13×91

＝13×(3×37－91)

＝13×20

＝260；

(2)原式＝20.21×(29＋72＋13－14)

＝2021.

【点睛】在计算求值时，若式子各项都含有公因式，用提取公因式的方法可使运算简便．

例6.已知，那么代数式的值是（     ）

A．2000        B．－2000       C．2001     D．－2001

【分析】解：∵，

∴，

∴

，

故选：B．

课堂小结

1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？

【设计意图】培养学生概括的能力。使知识形成体系，并渗透数学思想方法。

达标检测

1．下列因式分解结果正确的是（　　）

A． B．

C． D．

2．多项式4ab2+16a2b2﹣12a3b2c的公因式是（　　）

A．4ab2c B．ab2          C．4ab2       D．4a3b2c

3.已知多项式3x2+mx+n分解因式的结果为(3x+2)(x-1)，则m,n的值分别为（　　）

A. m=1, n=-2    B. m=-1, n=-2    C. m=2,n=-2   D. m=-2，n=-2

4.把5（a－b）＋m（b－a）提公因式后一个因式是（a－b），则另一个因式是（      ）

A．5－m B．5＋m       C．m－5      D．－m－5

5．计算的结果为（      ）

A．2021    B．20210           C．202100             D．2021000

6．相邻边长为a，b的矩形，若它的周长为20，面积为24，则的值为（      ）

A．480            B．240           C．120          D．100

7．一个两位数，将它的十位数字与个位数字对换，这两个两位数的和一定被_____整除．

8．已知方程，则代数式的值是_______．

9．已知，则多项式的值为________．

10．若，则等于______.

11．因式分解：

(1) ;  (2);  (3)  (4)

12．因式分解：

(1);                (2) (2x+1)(3x-2)－.

13．先因式分解，再计算求值：

，其中．

14．已知，求的值．

15．阅读理解，并解答下面的问题：

拆项法原理：在多项式乘法运算中，常经过整理、化简，通常将几个同类项合并为一项，或相互抵消为零．反过来，在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项（拆项）．

例：分解因式：＋4x＋3

解：原式＝＋x＋3x＋3把4x分成x和3x，

＝（＋x）＋（3x＋3）将原式分成两组

＝x（x＋1）＋3（x＋1）对每一组分别提取公因式

＝（x＋3）（x＋1）继续提公因式

请类比上面的示例，分解因式：＋5x＋6

16．阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：

1+x+x(x+1)+x(x+1)2=(1+x)[1+x+x(x+1)]

=(1+x)2(1+x)

=(1+x)3

(1)上述分解因式的方法是____________，共应用了______次.

(2)若分解1+x+x(x+1)+x(x+1)2+···+ x(x+1)2004，则需应用上述方法______次，结果是_______.

(3)分解因式：1+x+x(x+1)+x(x+1)2+···+ x(x+1)n(n为正整数).

【参考答案】

1. B
2. C
3. B
4. A
5. C
6. B
7. 11
8. -10
9. 2017
10. 2018

11.（1）解：原式=

（2）解：原式=

（3）解：原式=

（4）解：原式=

12.(1)解：

．

（2）解：（2x+1）（3x-2）－

=（2x+1）（3x-2-2x-1）

=（2x+1）（x-3）

13.解：

当时，

原式．

14.解：∵6x−3y−1＝0，xy＝2，

∴2x−y＝，

∴当2x−y＝，xy＝2时，

原式＝（xy）3•（2x−y）

＝23×

＝．

15.解：原式=＋2x＋3x＋6

．

16.（1）提公因式法，2；（2）2004，(x+1)2005；（3）分解因式：1+x+x（x+1）+x（x+1）2···+x（x+1）n（n为正整数）的结果是：（x+1）n+1．

四、教学反思：

本节中要给学生留出自主的空间，然后引入稍有层次的例题，让学生进一步感受因式分解与整式的乘法是逆过程，从而可用整式的乘法检查错误. 本节课在对例题的探究上，提倡引导学生合作交流，使学生发挥群体的力量，以此提高教学效果.