高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第五章 三角函数5.5 三角恒等变换第3课时教学设计

第3课时　两角和与差的正切公式

两角和与差的正切公式

1．已知tan α＋tan β＝2，tan(α＋β)＝4，则tan αtan β等于(　　)

A．2　　　　B．1　　　　C.　　　　D．4

C　[∵tan(α＋β)＝＝4，且tan α＋tan β＝2，

∴＝4，解得tan αtan β＝.]

2．求值：tan＝________.

－2＋　[tan＝－tan＝－tan

＝－＝－

＝－2＋.]

3．已知tan α＝2，则tan＝________.

－3　[tan＝＝＝－3.]

4.＝________.

　[原式＝tan(75°－15°)＝tan 60°＝.]

两角和与差的正切公式的正用

【例1】　(1)已知α，β均为锐角，tan α＝，tan β＝，则α＋β＝________.

(2)如图，在△ABC中，AD⊥BC，D为垂足，AD在△ABC的外部，且BD∶CD∶AD＝2∶3∶6，则tan∠BAC＝________.

[思路点拨]　(1)先用公式T(α＋β)求tan(α＋β)，再求α＋β.

(2)先求∠CAD，∠BAD的正切值，再依据tan∠BAC＝tan(∠CAD－∠BAD)求值．

(1)　(2)　[(1)∵tan α＝，tan β＝，

∴tan(α＋β)＝＝＝1.

∵α，β均为锐角，

∴α＋β∈(0，π)，

∴α＋β＝.

(2)∵AD⊥BC且BD∶CD∶AD＝2∶3∶6，

∴tan∠BAD＝＝，

tan∠CAD＝＝，

tan∠BAC＝tan(∠CAD－∠BAD)

＝

＝

＝.]

1．公式T(α±β)的结构特征和符号规律：

(1)结构特征：公式T(α±β)的右侧为分式形式，其中分子为tan α与tan β的和或差，分母为1与tan αtan β的差或和．

(2)符号规律：分子同，分母反．

2．利用公式T(α＋β)求角的步骤：

(1)计算待求角的正切值．

(2)缩小待求角的范围，特别注意隐含的信息．

(3)根据角的范围及三角函数值确定角．

1．(1)已知tanα－＝，则tan α＝________.

(2)已知角α，β均为锐角，且cos α＝，tan(α－β)＝－，则tan β＝________.

(1)　(2)3　[(1)因为tanα－＝，

所以tan α＝tan

＝＝＝.

(2)因为cos α＝，α为锐角，所以sin α＝，tan α＝，

所以tan β＝tan[α－(α－β)]＝＝＝3.]

两角和与差的正切公式的逆用

【例2】　(1)＝________.

(2)＝________.

[思路点拨]　注意特殊角的正切值和公式T(α±β)的结构，适当变形后逆用公式求值．

(1)　(2)－1　[(1)原式＝

＝tan(45°＋15°)

＝tan 60°＝.

(2)原式＝

＝

＝tan(30°－75°)＝－tan 45°＝－1.]

公式Tα±β的逆用

一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换.

如

要特别注意

2．已知α、β均为锐角，且sin 2α＝2sin 2β，则(　　)

A．tan(α＋β)＝3tan(α－β)

B．tan(α＋β)＝2tan(α－β)

C．3tan(α＋β)＝tan(α－β)

D．3tan(α＋β)＝2tan(α－β)

A　[∵sin 2α＝2sin 2β，

∴sin[(α＋β)＋(α－β)]＝2sin[(α＋β)－(α－β)]，

∴sin(α＋β)cos(α－β)＋cos(α＋β)sin(α－β)

＝2sin(α＋β)cos(α－β)－2cos(α＋β)sin(α－β)，

∴sin(α＋β)cos(α－β)＝3cos(α＋β)sin(α－β)，

两边同除以cos(α－β)cos(α＋β)得

tan(α＋β)＝3tan(α－β)．]

两角和与差的正切公式的变形运用

[探究问题]

1．两角和与差的正切公式揭示了tan αtan β与哪些式子的关系？

提示：揭示了tan αtan β与tan α＋tan β，tan αtan β与tan α－tan β之间的关系．

2．若tan α、tan β是关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，b2－4ac≥0)的两个根，则如何用a、b、c表示tan(α＋β)?

提示：tan(α＋β)＝＝＝－.

【例3】　(1)tan 67°－tan 22°－tan 67°tan 22°＝________.

(2)已知△ABC中，tan B＋tan C＋tan Btan C＝，且tan A＋tan B＝tan Atan B－1，试判断△ABC的形状．

[思路点拨]　(1)看到tan 67°－tan 22°与tan 67°tan 22°想到将tan(67°－22°)展开变形，寻找解题思路．

(2)先由关于角A，B的等式求出tan(A＋B)得角A＋B，然后求角C并代入关于角B，C的等式求角B，最后求角A，判断△ABC的形状．

(1)1　[∵tan 67°－tan 22°

＝tan(67°－22°)(1＋tan 67°tan 22°)

＝tan 45°(1＋tan 67°tan 22°)

＝1＋tan 67°tan 22°，

∴tan 67°－tan 22°－tan 67°tan 22°

＝1＋tan 67°tan 22°－tan 67°tan 22°＝1.]

(2)[解]　∵tan A＋tan B＝tan Atan B－1，

∴(tan A＋tan B)＝tan Atan B－1，

∴＝－，∴tan(A＋B)＝－.

又0＜A＋B＜π，∴A＋B＝，∴C＝.

∵tan B＋tan C＋tan Btan C＝，tan C＝，

∴tan B＋＋tan B＝，tan B＝，

∴B＝，∴A＝，∴△ABC为等腰钝角三角形．

1．将例3(1)中的角同时增加1°结果又如何？

[解]　∵tan 45°＝tan(68°－23°)＝，

∴1＋tan 68°tan 23°＝tan 68°－tan 23°，

即tan 68°－tan 23°－tan 68°tan 23°＝1.

2．能否为例3(1)和探究1归纳出一个一般结论？若能，试证明．

[解]　一般结论：若α－β＝45°(α，β≠k×180°＋90°，k∈Z)，则tan α－tan β－tan αtan β＝1.

证明：∵tan 45°＝tan(α－β)＝，

∴1＋tan αtan β＝tan α－tan β，

即tan α－tan β－tan αtan β＝1.

1．整体意识：若化简的式子中出现了“tan α±tan β”及“tan α·tan β”两个整体，常考虑tan(α±β)的变形公式．

2．熟知变形：两角和的正切公式的常见四种变形：

(1)tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)；

(2)1－tan αtan β＝；

(3)tan α＋tan β＋tan α·tan β·tan(α＋β)＝tan(α＋β)；

(4)tan α·tan β＝1－.

提醒：当一个式子中出现两角正切的和或差时，常考虑使用两角和或差的正切公式．

1．公式T(α±β)与S(α±β)、C(α±β)的一个重要区别，就是前者角α、β、α±β都不能取kπ＋ (k∈Z)，而后两者α、β∈R，应用时要特别注意这一点．

2．注意公式的变形应用．

如：tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，1－tan αtan β＝，tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)，1＋tan αtan β＝等.

1．思考辨析

(1)存在α，β∈R，使tan(α＋β)＝tan α＋tan β成立．(　　)

(2)对任意α，β∈R，tan(α＋β)＝都成立．(　　)

(3)tan(α＋β)＝等价于tan α＋tan β＝tan(α＋β)·(1－tan αtan β)．(　　)

[提示]　(1)√.当α＝0，β＝时，tan(α＋β)＝tan＝tan 0＋tan ，但一般情况下不成立．

(2)×.两角和的正切公式的适用范围是α，β，α＋β≠kπ＋(k∈Z)．

(3)√.当α≠kπ＋(k∈Z)，β≠kπ＋(k∈Z)，α＋β≠kπ＋(k∈Z)时，由前一个式子两边同乘以1－tan αtan β可得后一个式子．

[答案]　(1)√　(2)×　(3)√

2．若tan β＝3，tan(α－β)＝－2，则tan α＝(　　)

A.　　　　B．－　　　　C．1　　　　D．－1

A　[tan α＝tan[(α－β)＋β]＝＝＝.]

3．若tan＝3，则tan α的值为________．

　[tan α＝tan

＝

＝

＝

＝

＝.]

4．已知cos α＝，cos β＝，其中α，β都是锐角，求tan(α＋β)的值．

[解]　因为α，β都是锐角，

所以sin α＝＝，

sin β＝＝，

tan α＝＝2，tan β＝＝，

所以tan(α＋β)＝＝－2.