高中数学高考第3节 第1课时 两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式 教案

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1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
(1)sin(α±β)＝sin αcs β±cs αsin β；
(2)cs(α±β)＝cs αcs β∓sin αsin β；
(3)tan(α±β)＝eq \f(tan α±tan β,1∓tan αtan β).
2．二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)sin 2α＝2sin αcs α；
(2)cs 2α＝cs2α－sin2α＝2cs2α－1＝1－2sin2α；
(3)tan 2α＝eq \f(2tan α,1－tan2α).
3．辅助角公式
eq \O([常用结论])
1．公式的常用变式
tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)；
sin 2α＝eq \f(2sin αcs α,sin2α＋cs2α)＝eq \f(2tan α,1＋tan2α)；
cs 2α＝eq \f(cs2α－sin2α,cs2α＋sin2α)＝eq \f(1－tan2α,1＋tan2α).
2．降幂公式
sin2α＝eq \f(1－cs 2α,2)；
cs2α＝eq \f(1＋cs 2α,2)；
sin αcs α＝eq \f(1,2)sin 2α.
3．升幂公式
1＋cs α＝2cs2eq \f(α,2)；
1－cs α＝2sin2eq \f(α,2)；
1＋sin α＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin \f(α,2)＋cs \f(α,2)))eq \s\up20(2)；
1－sin α＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin \f(α,2)－cs \f(α,2)))eq \s\up20(2).
4．半角正切公式
tan eq \f(α,2)＝eq \f(sin α,1＋cs α)＝eq \f(1－cs α,sin α).
一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．( )
(2)公式asin x＋bcs x＝eq \r(a2＋b2)sin(x＋φ)中φ的取值与a，b的值无关．( )
(3)cs θ＝2cs2eq \f(θ,2)－1＝1－2sin2eq \f(θ,2).( )
(4)当α是第一象限角时，sin eq \f(α,2)＝eq \r(\f(1－cs α,2)).( )
[答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)×
二、教材改编
1．已知cs α＝－eq \f(3,5)，α是第三象限角，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))为( )
A.eq \f(\r(2),10) B．－eq \f(\r(2),10)
C.eq \f(7\r(2),10) D．－eq \f(7\r(2),10)
A [∵cs α＝－eq \f(3,5)，
α是第三象限角，
∴sin α＝－eq \r(1－cs2α)＝－eq \f(4,5).
∴cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))＝eq \f(\r(2),2)(cs α－sin α)＝eq \f(\r(2),2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)＋\f(4,5)))
＝eq \f(\r(2),10).故选A.]
2．sin 347°cs 148°＋sin 77°cs 58°＝ .
eq \f(\r(2),2) [sin 347°cs 148°＋sin 77°cs 58°
＝sin(270°＋77°)cs(90°＋58°)＋sin 77°cs 58°
＝(－cs 77°)·(－sin 58°)＋sin 77°cs 58°
＝sin 58°cs 77°＋cs 58°sin 77°
＝sin(58°＋77°)＝sin 135°＝eq \f(\r(2),2).]
3．计算：sin 108°cs 42°－cs 72°·sin 42°＝ .
eq \f(1,2) [原式＝sin(180°－72°)cs 42°－cs 72°sin 42°
＝sin 72°cs 42°－cs 72°sin 42°＝sin(72°－42°)
＝sin 30°＝eq \f(1,2).]
4．tan 20°＋tan 40°＋eq \r(3)tan 20°tan 40°＝ .
eq \r(3) [∵tan 60°＝tan(20°＋40°)＝eq \f(tan 20°＋tan 40°,1－tan 20°tan 40°)，
∴tan 20°＋tan 40°＝tan 60°(1－tan 20°tan 40°)
＝eq \r(3)－eq \r(3)tan 20°tan 40°，
∴原式＝eq \r(3)－eq \r(3)tan 20°tan 40°＋eq \r(3)tan 20°tan 40°＝eq \r(3).]
5．若tan α＝eq \f(1,3)，tan(α＋β)＝eq \f(1,2)，则tan β＝ .
eq \f(1,7) [tan β＝tan[(α＋β)－α]＝eq \f(tanα＋β－tan α,1＋tanα＋βtan α)＝eq \f(\f(1,2)－\f(1,3),1＋\f(1,2)×\f(1,3))＝eq \f(1,7).]
第1课时 两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式
考点1 公式的直接应用
(1)使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征．
(2)使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值．
1.(2019·全国卷Ⅱ)已知α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，2sin 2α＝cs 2α＋1，则sin α＝( )
A.eq \f(1,5) B.eq \f(\r(5),5)
C.eq \f(\r(3),3) D.eq \f(2\r(5),5)
B [由二倍角公式可知4sin αcs α＝2cs2α.
∵α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，∴cs α≠0，
∴2sin α＝cs α，∴tan α＝eq \f(1,2)，∴sin α＝eq \f(\r(5),5).故选B.]
2．已知sin α＝eq \f(3,5)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，tan(π－β)＝eq \f(1,2)，则tan(α－β)的值为( )
A．－eq \f(2,11) B.eq \f(2,11)
C.eq \f(11,2) D．－eq \f(11,2)
A [∵α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，∴tan α＝－eq \f(3,4)，又tan β＝－eq \f(1,2)，
∴tan(α－β)＝eq \f(tan α－tan β,1＋tan α·tan β)
＝eq \f(－\f(3,4)＋\f(1,2),1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,4))))＝－eq \f(2,11).]
3．(2019·太原模拟)若α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，且sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,6)))＝eq \f(1,3)，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,3)))＝ .
eq \f(2\r(6)＋1,6) [由于角α为锐角，且sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,6)))＝eq \f(1,3)，
则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,6)))＝eq \f(2\r(2),3)，
则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,3)))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,6)))－eq \f(π,6)
＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,6)))cs eq \f(π,6)＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,6)))sin eq \f(π,6)
＝eq \f(2\r(2),3)×eq \f(\r(3),2)＋eq \f(1,3)×eq \f(1,2)＝eq \f(2\r(6)＋1,6).]
4．计算eq \f(sin 110°sin 20°,cs2155°－sin2155°)的值为 ．
eq \f(1,2) [eq \f(sin 110°sin 20°,cs2155°－sin2155°)＝eq \f(sin 70°sin 20°,cs 310°)
＝eq \f(cs 20°sin 20°,cs 50°)＝eq \f(\f(1,2)sin 40°,sin 40°)＝eq \f(1,2).]
两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广，可用α，β的三角函数表示α±β的三角函数，在使用两角和与差的三角函数公式时，特别要注意角与角之间的关系，完成统一角和角与角转换的目的．
考点2 公式的逆用与变形用
公式的一些常用变形
(1)sin αsin β＋cs(α＋β)＝cs αcs β；
(2)cs αsin β＋sin(α－β)＝sin αcs β；
(3)1±sin α＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin \f(α,2)±cs \f(α,2)))eq \s\up20(2)；
(4)sin 2α＝eq \f(2sin αcs α,sin2α＋cs2α)＝eq \f(2tan α,tan2α＋1)；
(5)cs 2α＝eq \f(cs2α－sin2α,cs2α＋sin2α)＝eq \f(1－tan2α,1＋tan2α)；
(6)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)；
(7)asin α＋bcs α＝eq \r(a2＋b2)sin(α＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(tan φ＝\f(b,a))).
公式的逆用
(1)化简eq \f(sin 10°,1－\r(3)tan 10°)＝ .
(2)在△ABC中，若tan Atan B＝tan A＋tan B＋1，则cs C＝ .
(1)eq \f(1,4) (2)eq \f(\r(2),2) [(1)eq \f(sin 10°,1－\r(3)tan 10°)＝eq \f(sin 10°cs 10°,cs 10°－\r(3)sin 10°)＝eq \f(2sin 10°cs 10°,4\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)cs 10°－\f(\r(3),2)sin 10°)))＝eq \f(sin 20°,4sin30°－10°)＝eq \f(1,4).
(2)由tan Atan B＝tan A＋tan B＋1，可得eq \f(tan A＋tan B,1－tan Atan B)＝－1，
即tan(A＋B)＝－1，又A＋B∈(0，π)，
所以A＋B＝eq \f(3π,4)，则C＝eq \f(π,4)，cs C＝eq \f(\r(2),2).]
(1)逆用公式的关键是准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式，同时，要注意公式成立的条件和角之间的关系．
(2)tan αtan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan(α＋β)(或tan(α－β))三者中可以知二求一，且常与一元二次方程根与系数的关系结合命题．
(3)重视sin αcs β，cs αsin β，cs αcs β，sin αsin β的整体应用．
公式的变形用
(1)化简eq \f(sin235°－\f(1,2),cs 10°cs 80°)＝ .
(2)化简sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,6)))＋sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))－sin2α的结果是 ．
(1)－1 (2)eq \f(1,2) [(1)eq \f(sin235°－\f(1,2),cs 10°cs 80°)＝eq \f(\f(1－cs 70°,2)－\f(1,2),cs 10°sin 10°)＝eq \f(－\f(1,2)cs 70°,\f(1,2)sin 20°)＝－1.
(2)原式＝eq \f(1－cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α－\f(π,3))),2)＋eq \f(1－cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,3))),2)－sin2α
＝1－eq \f(1,2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α－\f(π,3)))＋cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,3)))－sin2α
＝1－cs 2α·cs eq \f(π,3)－sin2α
＝1－eq \f(cs 2α,2)－eq \f(1－cs 2α,2)
＝eq \f(1,2).]
注意特殊角的应用，当式子中出现eq \f(1,2)，1，eq \f(\r(3),2)，eq \r(3)等这些数值时，一定要考虑引入特殊角，把“值变角”构造适合公式的形式．
1.设a＝cs 50°cs 127°＋cs 40°cs 37°，b＝eq \f(\r(2),2)(sin 56°－cs 56°)，c＝eq \f(1－tan239°,1＋tan239°)，则a，b，c的大小关系是( )
A．a＞b＞c B．b＞a＞c
C．c＞a＞b D．a＞c＞b
D [由两角和与差的正、余弦公式及诱导公式，可得a＝cs 50°cs 127°＋cs 40°cs 37°＝cs 50°cs 127°＋sin 50°sin 127°＝cs(50°－127°)＝cs(－77°)＝cs 77°＝sin 13°，b＝eq \f(\r(2),2)(sin 56°－cs 56°)＝eq \f(\r(2),2)sin 56°－eq \f(\r(2),2)cs 56°＝sin(56°－45°)＝sin 11°，c＝eq \f(1－tan239°,1＋tan239°)＝eq \f(1－\f(sin239°,cs239°),1＋\f(sin239°,cs239°))＝cs239°－sin239°＝cs 78°＝sin 12°.因为函数y＝sin x，x∈0，eq \f(π,2)为增函数，所以sin 13°＞sin 12°＞sin 11°，所以a＞c＞b.]
2．(2019·福州模拟)eq \r(3)cs 15°－4sin215°cs 15°＝( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(\r(2),2)
C．1 D.eq \r(2)
D [法一：eq \r(3)cs 15°－4sin215°cs 15°＝eq \r(3)cs 15°－2sin 15°·2sin 15°cs 15°＝eq \r(3)cs 15°－2sin 15°·sin 30°＝eq \r(3)cs 15°－sin 15°＝2cs (15°＋30°)＝2cs 45°＝eq \r(2).故选D.
法二：因为cs 15°＝eq \f(\r(6)＋\r(2),4)，sin 15°＝eq \f(\r(6)－\r(2),4)，所以eq \r(3)cs 15°－4sin215°·cs 15°＝eq \r(3)×eq \f(\r(6)＋\r(2),4)－4×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(6)－\r(2),4)))2×eq \f(\r(6)＋\r(2),4)＝eq \f(\r(6)＋\r(2),4)×(eq \r(3)－2＋eq \r(3))＝eq \f(\r(6)＋\r(2),4)×(2eq \r(3)－2)＝eq \r(2).故选D.]
3．已知α＋β＝eq \f(π,4)，则(1＋tan α)(1＋tan β)＝ .
2 [(1＋tan α)(1＋tan β)＝tan α＋tan β＋tan αtan β＋1
＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)＋tan αtan β＋1
＝1－tan αtan β＋tan αtan β＋1
＝2.]
考点3 公式的灵活运用
三角公式应用中变“角”与变“名”问题的解题思路
(1)角的变换：发现各个角之间的关系：拆角、凑角、互余、倍半、互利(包括非特殊角与特殊角、已知角与未知角)，熟悉角的变换技巧及半角与倍角的相互转化，如：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，40°＝60°－20°，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))＝eq \f(π,2)，eq \f(α,2)＝2×eq \f(α,4)等．
(2)名的变换：明确各个三角函数名称之间的联系，常常用到同角关系、诱导公式，把正弦、余弦化为正切，或者把正切化为正弦、余弦．
三角公式中角的变换
(1)设α，β都是锐角，且cs α＝eq \f(\r(5),5)，sin(α＋β)＝eq \f(3,5)，则cs β＝ .
(2)已知cs(75°＋α)＝eq \f(1,3)，则cs(30°－2α)的值为 ．
(1)eq \f(2\r(5),25) (2)eq \f(7,9) [(1)依题意得sin α＝eq \r(1－cs2α)＝eq \f(2\r(5),5)，
因为sin(α＋β)＝eq \f(3,5)＜sin α且α＋β＞α，
所以α＋β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，所以cs(α＋β)＝－eq \f(4,5).
于是cs β＝cs[(α＋β)－α]
＝cs(α＋β)cs α＋sin(α＋β)sin α
＝－eq \f(4,5)×eq \f(\r(5),5)＋eq \f(3,5)×eq \f(2\r(5),5)＝eq \f(2\r(5),25).
(2)cs(75°＋α)＝sin(15°－α)＝eq \f(1,3)，
所以cs(30°－2α)＝1－2sin2(15°－α)＝1－eq \f(2,9)＝eq \f(7,9).]
(1)解决三角函数的求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示．①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；②当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系．
(2)常见的配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝eq \f(α＋β,2)－eq \f(α－β,2)，α＝eq \f(α＋β,2)＋eq \f(α－β,2)，eq \f(α－β,2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(β,2)))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(α,2)＋β))等．
三角公式中名的变换
(1)化简：eq \f(1＋sin θ＋cs θ\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin \f(θ,2)－cs \f(θ,2))),\r(2＋2cs θ))(0＜θ＜π)；
(2)求值：eq \f(1＋cs 20°,2sin 20°)－sin 10°eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,tan 5°)－tan 5°)).
[解] (1)由θ∈(0，π)，得0＜eq \f(θ,2)＜eq \f(π,2)，∴cs eq \f(θ,2)＞0，
∴eq \r(2＋2cs θ)＝eq \r(4cs2\f(θ,2))＝2cs eq \f(θ,2).
又(1＋sin θ＋cs θ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin \f(θ,2)－cs \f(θ,2)))
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2sin \f(θ,2)cs \f(θ,2)＋2cs2\f(θ,2)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin \f(θ,2)－cs\f(θ,2)))
＝2cs eq \f(θ,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin2\f(θ,2)－cs2\f(θ,2)))
＝－2cs eq \f(θ,2)cs θ.
故原式＝eq \f(－2cs \f(θ,2)cs θ,2cs \f(θ,2))＝－cs θ.
(2)原式＝eq \f(2cs210°,2×2sin 10°cs 10°)－sin 10°eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(cs 5°,sin 5°)－\f(sin 5°,cs 5°)))
＝eq \f(cs 10°,2sin 10°)－sin 10°·eq \f(cs25°－sin25°,sin 5°cs 5°)
＝eq \f(cs 10°,2sin 10°)－sin 10°·eq \f(cs 10°,\f(1,2)sin 10°)
＝eq \f(cs 10°,2sin 10°)－2cs 10°＝eq \f(cs 10°－2sin 20°,2sin 10°)
＝eq \f(cs 10°－2sin30°－10°,2sin 10°)
＝eq \f(cs 10°－2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)cs 10°－\f(\r(3),2)sin 10°)),2sin 10°)
＝eq \f(\r(3)sin 10°,2sin 10°)＝eq \f(\r(3),2).
1.(2019·石家庄模拟)已知tan θ＋eq \f(1,tan θ)＝4，则cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))＝( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(1,3)
C.eq \f(1,4) D.eq \f(1,5)
C [由tan θ＋eq \f(1,tan θ)＝4，得eq \f(sin θ,cs θ)＋eq \f(cs θ,sin θ)＝4，即eq \f(sin2θ＋cs2θ,sin θcs θ)＝4，∴sin θcs θ＝eq \f(1,4)，∴cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))＝eq \f(1＋cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2θ＋\f(π,2))),2)＝eq \f(1－sin 2θ,2)＝eq \f(1－2sin θcs θ,2)＝eq \f(1－2×\f(1,4),2)＝eq \f(1,4).]
2．已知α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，且cs α＝eq \f(1,7)，cs(α＋β)＝－eq \f(11,14)，则sin β＝ .
eq \f(\r(3),2) [由已知可得sin α＝eq \f(4\r(3),7)，sin(α＋β)＝eq \f(5\r(3),14)，
∴sin β＝sin[(α＋β)－α]
＝sin(α＋β)·cs α－cs(α＋β)sin α
＝eq \f(5\r(3),14)×eq \f(1,7)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(11,14)))×eq \f(4\r(3),7)＝eq \f(\r(3),2).]
3.eq \f(cs 10°－\r(3)cs－100°,\r(1－sin 10°))＝ .(用数字作答)
eq \r(2) [eq \f(cs 10°－\r(3)cs－100°,\r(1－sin 10°))＝eq \f(cs 10°＋\r(3)cs 80°,\r(1－cs 80°))
＝eq \f(cs 10°＋\r(3)sin 10°,\r(2)·sin 40°)＝eq \f(2sin10°＋30°,\r(2)·sin 40°)＝eq \r(2).]