人教A版 (2019)必修 第一册5.5 三角恒等变换第3课时教学设计及反思

5.5.1两角和与差的正弦、余弦、正切公式（第3课时）

(人教A版普通高中教科书数学必修第一册第五章)

一、教学目标

1. 经历从和角公式推导二倍角公式的过程，体会公式各个公式间的内在联系，认识整个公式体系的生成过程，发展学生逻辑推理素养．

2.掌握并运用二倍角公式，及其变形形式，，能正确运用二倍角公式进行证明、化简、求值；通过综合运用公式，掌握思想方法，来发展学生逻辑推理能力、分析问题，解决问题能力、数学运算素养．

二、教学重难点

1.二倍角公式的推导及灵活运用.

2. 二倍角的相对性.

三、教学过程

1.复习回顾

活动：让学生默写两角和与差的正弦、余弦、正切公式，并请同学回想并回答公式的推导过程以及描述几个公式之间的联系。

【活动预设】学生大体能正确默写六个公式，对于公式的推理及六个公式之间的联系可能需要老师引导回顾。

2.新知探究

问题1：你能利用推导出的公式吗？你能用不同的方法推出这些公式吗？

【活动预设】学生独立进行推导，教师巡视并收集学生的不同证法，或请学生将不同的证法列举在黑板上．

【预设的答案】这里不同的证法主要体现在两个方面：一是推导的依据具有多样性，例如可以将中替换为推得，也可以由中的替换为，而推导公式时，可以从出发，也可以由合作推出；二是推导的顺序具有多样性，学生可以自行设计三个二倍角公式的证明顺序，由于推导其中最后一个公式时可以借助已推出的两个公式，因此不同的顺序可能会导致最后一步有所差异．

．

三个公式分别简记为，，．

【设计意图】给学生一定的自由度，由学生自己制定计划，并完成二倍角公式的证明．

问题2：如果要求二倍角的余弦公式()中仅含的正弦或仅含余弦，那么你能得到怎样的结论？

【活动预设】学生独立进行推导．

【预设的答案】，．

【设计意图】引导学生发现公式的两种变形形式，为下一课时半角公式做好铺垫．

教师讲授：以上五个公式都叫做二倍角公式，或倍角公式．倍角公式给出了任意角的三角函数与的三角函数之间的关系．这里的“倍角”专指“二倍角”，遇到“三倍角”等名词时，“三”字等不可省去．此外，这里的“倍角”是一种相对的概念.不仅“”是“”的二倍角，而且 “”是“”的二倍角，  “”是“”的二倍角， “”是“”的二倍角.

问题3：从和角公式、差角公式、倍角公式的推导过程可以发现，这些公式之间存在紧密的逻辑联系，你能设计一张结构图描述它们之间的推出关系吗？

【活动预设】学生进行归纳整理，作出结构图，然后小组交流，最后教师挑选一到两组学生面向全班交流展示.

【预设的答案】

以上关系仅供参考，其中公式的分布及箭头流向的方式并不唯一，也不必完全画出，但所有公式中，起点一定是，其它的每一个公式都至少有一个指向它的箭头．

【设计意图】培养学生总结反思的学习习惯，促使学生对3个课时推导出的所有公式进行简单回顾梳理，并感悟公式作为所有公式推导的起源具有特殊意义．

3.典型例题

例5 已知求sin 4α，cos 4α，tan 4α的值．

【预设的答案】.

【设计意图】向学生渗透分析问题的常规方法，即分析化简已知条件，明确待求目标，寻找办法拉近二者之间的距离．加强理解“倍”是描述两个数量之间关系的，是的二倍，是的二倍，是的二倍，这里蕴含着换元思想．

例2 在△ABC中，cos A=，tan B=2，求tan(2A+2B)的值．

【预设的答案】

【设计意图】此题具有一定的综合性，也是和角公式与倍角公式的综合应用问题．由于对2A+2B与A，B的之间关系的看法不同会产生不同的解题思路．不过，它们都是对倍角、和角关系的联合运用，本质上没有区别．此外，在三角形的背景下研究问题，常常伴随着一些隐含条件，如0＜A＜π，A+B+C=π等．凭借本题目，教师可抓住机会提醒学生对此类信息多加关注．

4.总结提升

问题4：结合例题的求解过程，请你思考，利用三角恒等变形公式解决求值问题时，我们应该重点关注其中哪些方面？

【活动预设】学生进行归纳、思考并回答．

【预设的答案】角的差异，三角函数名称等．

【设计意图】挖掘两道经典例题中蕴含的数学思想方法，总结运用三角恒等变形公式化简、求值、证明问题的思维过程和注意要点.进一步体会公式的灵活运用.

问题5：回顾本节课的内容，你能正确写出二倍角公式吗？你在认识和使用这些公式时有哪些心得体会？

【活动预设】学生进行归纳、思考并回答．

【预设的答案】公式中的二倍角和单倍角分别用与表示，但是使用公式时，它们也可以是与，与等，形式非常灵活；余弦二倍角公式有三种形式：，在使用它们的时候，需要结合题目特征进行选择；我们在解决三角恒等变换问题的时候，往往要从角度差异、函数名称差异、代数式结构差异等方面对已知条件和待求结论寻找差异，然后再根据这些差异选择适当的公式进行变形求解．

【设计意图】回顾反思，使学生在头脑中形成思维网络．

四、课外作业

课本P223—课后练习