【培优分阶练】高中数学(人教A版2019)必修第一册 3.2.2《函数的奇偶性》培优分阶练（含解析）

3.2.2 函数的奇偶性 课后培优练培优第一阶——基础过关练一、单选题1.已知f(x)=ax2+bx是定义在[a-1,2a]上的偶函数，那么a+b的值是(　　)A．-13 B．13 C．-12 D．12答案 B解析 依题意得：f(-x)=f(x)，∴b=0，又 a-1=-2a，∴a=13，∴a+b=13．故选：B．2.下列说法正确的是(　　)A．若一个函数的定义域关于坐标原点对称，则这个函数为奇函数B．若一个函数为偶函数，则它的定义域关于坐标原点对称C．若一个函数的定义域关于坐标原点对称，则这个函数为偶函数D．若函数f(x)的定义域为R，且f(0)=0，则f(x)是奇函数答案 B解析 奇偶函数的定义域一定关于原点对称，但定义域关于原点对称的函数不一定具有奇偶性，如y=x+1．由此可判断A、C项错误，B项正确．奇函数若在原点处有定义，则f(0)=0，反之不一定成立，如y=x2，因此D项错误．故选B．3.函数f(x)=3-x2x的图象关于(　　)A．原点对称 B．轴对称 C．y轴对称 D．直线y=x对称答案 A解析 根据题意，f(x)=3-x2x，有f(-x)=-3-x2x，则有f(-x)=-f(x)，其图象关于原点对称，故选：A．4.如果奇函数f(x)在区间[1,5]上是减函数，且最小值为6，那么f(x)在区间[-5,-1]上是(　　)A．减函数且最大值为-6 B．增函数且最大值为6 C．减函数且最小值为-6 D．增函数且最小值为6答案 A解析 当-5≤x≤-1时1≤-x≤5，∴f(-x)≥6，即-f(x)≥6．从而f(x)≤-6，又奇函数在原点两侧的对称区间上单调性相同，故f(x)在[-5,-1]是减函数．故选：A．5.若偶函数f(x)在(-∞,-1]上是减函数，则 (　　)A．f(-32)0时，-x<0，代入函数在(-∞,0)上的解析式，即得f(-x)=-x(1-x)，∵f(x)是奇函数，∴f(x)=-f(-x)=x(1-x).四、解答题10.已知f(x)，g(x)分别是R上的奇函数和偶函数，且f(x)+g(x)=3x2-x+1，试求f(x)和g(x)的表达式．答案 f(x)=－x，g(x)=3x2+1解析 以－x代替条件等式中的x，则有f(-x)+g(-x)=3x2+x+1，又f(x)，g(x)分别是R上的奇函数和偶函数，故-f(x)+g(x)=3x2+x+1．又f(x)+g(x)=3x2-x+1，联立可得fx=-x，g(x)=3x2+1．11.已知函数f(x)=ax+b1+x2是定义域为(－1,1)上的奇函数，且a>0．(1)用定义证明：函数f(x)在(－1,1)上是增函数；(2)若实数t满足f(2t－1)+f(t－1)<0，求实数t的范围．答案 (1)略 (2) (0,23)解析 (1)∵函数f(x)=ax+b1+x2是定义域为(－1,1)上的奇函数，∴f(0)=b1=0，∴b=0，∴fx=ax1+x2 任取x1,x2∈(-1,1)，且x10，-10，1+x12>0，1+x22>0，∴函数f(x)在(-1,1)上是增函数． (2)∵f(2t-1)+f(t-1)<0，∴f2t-1<-f(t-1)，∵函数f(x)=ax+b1+x2是定义域为(-1,1)上的奇函数，且a>0．∴f(2t-1)0的解集为(　　)A．{x|-32} C．{x|-33} D．{x|-10，所以(x-1)与f(x-1)同号，由图象可得-20，且x1+x2<-2，则f-x1 与 f-x2的大小关系是( )A. f-x1>f-x2 B．f-x12+x2>2，y=f(x)在[1,+∞)上为增函数，所以f-x1>f2+x2=f-x2.4.已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)为增函数，且f(3)=0，那么不等式xf(x)<0的解集是(　　)A．(-3,-1)∪(1,3) B．(-3,0)∪(3,+∞) C．(-3,0)∪(0,3) D．(-∞,-3)∪(0,3)答案 C解析 ∵f(x)为奇函数，且在(0,+∞)上是增函数，f(3)=0，∴f(3)=-f(-3)=0，在(-∞,0)内是增函数∴x f(x)<0则 x>0f(x)<0=f(3)或 x<0f(x)>0=f(-3)根据在(-∞,0)和(0,+∞)内是都是增函数，解得x∈(-3,0)∪(0,3)故选：C．5.若函数f(x)=(1-x2)(x2+ax-5)的图象关于直线x=0对称，则f(x)的最大值是(　　)A．-4 B．4 C．4或-4 a．不存在答案 B解析 由函数f(x)=1-x2x2+ax-5的图象关于直线x=0对称，知f(x)是偶函数，∴f(-x)=f(x)，即1-x2x2-ax-5=1-x2x2+ax-5，整理得2axx2-1=0总成立，得a=0，∴f(x)=1-x2x2-5，令x2=t(t≥0)，则y=(1-t)(t-5)=-t2+6t-5=-(t-3)2+4，∴当t=3时，y有最大值4，即f(x)的最大值是4．故选：B．二、多选题 6. 若函数f(x+1)(x∈R)是奇函数，g(x)=x⋅f(x)是奇函数，则下列选项一定正确的是（　　）A. 函数f(x)图象关于点(1,0)对称 B. 函数f(x)的周期为1C. f(2021)=0 D. f(2022)=0答案 AC解析 因为g(x)=x⋅f(x)是奇函数，所以g(-x)=-g(x)，即-x⋅f(-x)=-x⋅f(x)，所以f(-x)=f(x)，f(x)是偶函数，因为f(x+1)是奇函数，所以函数f(x+1)图像关于点(0,0)对称，所以函数f(x)图像关于点(1,0)对称，因此选项A正确，f(x+4)=f[(x+3)+1]=-f[-(x+3)+1]=-f(-x-2)=-f(x+2)=-[-f(x)]=f(x)，所以f(x)是周期函数，最小正周期为4，故选项B错误因此f(2021)=f(1)=0，故选项C正确，f(2022)=f(2)不一定为0，故选项D错误，故选：AC．三、填空题 7.函数f(x)=4-x2|x+3|-3的图象关于 对称．答案 原点解析 要使函数有意义，则4-x2≥0|x+3|-3≠0，即(x-2)(x+2)<0，解得-20的解集为 . 答案 (13,+∞)解析 函数f(x)为奇函数，且函数f(x)为增函数，则不等式f(2x)+f(x-1)>0等价为f(2x)>-f(x-1)=f(1-x)，则2x>1-x，得3x>1，得x>13，即不等式的解集为(13,+∞).四、解答题10.若函数f(x)的定义域是R，且对任意x,y∈R，都有fx+y=fx+f(y)成立．试判断f(x)的奇偶性．答案 奇函数解析 在fx+y=fx+f(y)中，令x=y=0，得f(0+0)=f(0)+f(0)，∴f(0)=0.再令y=-x，则f(x-x)=f(x)+f(-x)，即f(x)+f(-x)=0，∴f-x=-f(x)，故f(x)为奇函数．11.已知定义在R奇函数f(x)=2x-a2x+b．(1)求a,b的值； (2)判断并证明f(x)在R上的单调性； (3)求该函数的值域．答案 (1) &a=1&b=1 (2) f(x)在R上是增函数 (3) (-1,1)解析 (1)因为f(x)是R上的奇函数，所以&f(0)=0&f(-1)=-f(1)，即&1-a1+b=0&12-a12+b=-2-a2+b，解得&a=1&b=1；(2)由(1)知f(x)=2x-12x+1，设x1,x2∈R，且 x10，所以fx1-fx2<0，即fx10，得2x+1>1，所以0<22x+1<2，所以-1<1-22x+1<1，即-1