初中北师大版4 平行线的性质教学课件ppt
展开平行线的性质平行线的性质与判定的关系
1.定理：两直线平行，同位角相等. （1）已知：如图1，直线AB//CD，∠1和∠2是直线AB，CD被直线 EF截出的同位角. 求证：∠1 = ∠2.
如果∠1≠∠2，AB与CD的位置关系会怎样呢？
证明：假设∠1≠∠2，那么我们可以 过点M作直线GH，使∠EMH= ∠2，如图2所示. 根据“同位角相等，两直线平行”， 可知GH//CD. 又因为AB// CD，这样经过点M 存在两条直线AB和GH都与直线 CD平行. 这与基本事实“过直线外一点有 且只有一条直线与这条直线平行” 相矛盾. 这说明∠1≠∠2的假设不成立，所以∠1=∠2.
（2）性质1：两条平行直线被第三条直线所截，同 位角相等． 简称：两直线平行，同位角相等． 表达方式：如图，因为a∥b，(已知) 所以∠1＝∠2.(两直线平行，同 位角相等)
特别提醒根据平行线的性质，可以确定两个角之间的相等或互补关系，进而得到其他角之间的关系.同位角相等、内错角相等和同旁内角互补是由平行线的性质所得的结论，所以它们成立的前提是“两直线平行”.
如图，若AB∥CD，且∠1＝∠2，试判断AM与CN的位置关 系，并说明理由．导引：AM与CN的位置关系很显然是平行的，要说明AM∥CN，可考 虑说明∠EAM＝∠ECN.因为∠1＝∠2，所以只需说明∠EAB ＝∠ACD即可，由于“两直线平行，同位角相等”，所以根 据AB∥CD即可得出∠EAB＝∠ACD. 解：AM∥CN. 理由：∵AB∥CD(已知)， ∴∠EAB＝∠ACD(两直线平行，同位角相等)． 又∵∠1＝∠2(已知)， ∴∠MAE＝∠NCA(等式性质)． ∴AM∥CN(同位角相等，两直线平行)．
当题目已知条件中出现两直线平行时，要考虑是否出现了相等的角． 平行线和角的大小关系是紧密联系在一起的，由平行线可以得到相等的角，反过来又可以由相等的角得到新的一组平行线，这种由角的大小关系与直线的位置关系的相互转化在解题中会经常涉及．
1 如图，AB∥CD，BC平分∠ABD. 若∠C＝40°， 则∠D的度数为( ) A．90° B．100° C．110° D．120°
2.定理：两直线平行，内错角相等. （1）已知：如图，直线l1//l2，∠1和∠2是直 线l1，l2被直线l截出的内错角. 求证：∠1= ∠2. 证明：∵l1//l2（已知）， ∴∠1=∠3（两直线平行，同位角相等）. 又∵∠2=∠3 （对顶角相等）， ∴∠l=∠2 (等量代换）.
（2）性质2：两条平行直线被第三条直线所截，内错角 相等． 简称：两直线平行，内错角相等． 表达方式：如图，因为a∥b (已知) ， 所以∠1＝∠2 (两直线平行，内错角相等) . 要点精析：两直线平行是前提，只有在这个前提下 才有内错角相等．
如图，已知AE∥BC，∠B＝∠C， AE是∠DAC 的平分线吗？若是，请写出证明过程；若不是， 请说明理由.导引：紧扣平行线的性质定理得出角的数量关系， 进而证明角相等． 解： AE是∠DAC 的平分线． 证明如下：∵AE∥BC(已知)， ∴∠DAE＝∠B(两直线平行，同位角相等)， ∠CAE＝∠C(两直线平行，内错角相等)， 又∵∠B＝∠C(已知)，∴∠DAE＝∠CAE (等量代换)， ∴AE是∠DAC 的平分线（角平分线的定义）．
求证两角相等，首先观察两角的位置（是否 为同位角、内错角等），然后选择合适的性质定理.若无法直接证得两角相等，则分析由已知条件可得到哪些结论，再探寻这些结论与所求角的关系，关系找到后，问题即可解答.
如图，直线a∥b，∠1＝75°，∠2＝ 35°，则∠3的度数是( ) A．75° B．55° C．40° D．35°
3.定理：两直线平行，同旁内角互补. 性质3：两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角 互补． 简称：两直线平行，同旁内角互补． 表达方式：如图，因为a∥b (已知) ， 所以∠1+∠2=180°(两直线平行，同旁内角 互补) .
如图，如果AB∥DF，DE∥BC，且∠1＝65°，那么你能 说出∠2，∠3，∠4的度数吗？为什么？导引：由DE∥BC，可得∠1＝∠4，∠1＋∠2＝ 180°；由DF∥AB，可得∠3＝∠2，从 而得出∠2，∠3，∠4的度数．解： ∵DE∥BC(已知)， ∴∠4＝∠1＝65°(两直线平行，内错角相等)， ∠2＋∠1＝180°(两直线平行，同旁内角互补)． 即∠2＝180°－∠1＝180°－65°＝115°. 又∵DF∥AB(已知)，∴∠3＝∠2(两直线平行，同位角相等)． ∴∠3＝115°(等量代换)．
1．求角的度数的基本思路：根据平行线的判定由角的 数量关系得到直线的位置关系，根据平行线的性质 由直线的位置关系得到角的数量关系，通过上述相 互转化，从而找到所求角与已知角之间的关系．2．两直线平行时，应联想到平行线的三个性质，由两 条直线平行的位置关系得到两个相关角的数量关系， 由角的关系求相应角的度数．
4.定理：平行于同一条直线的两条直线平行. （1）已知：如图，b//a，c//a，∠1，∠2，∠3是直线a，b， c被直线d截出的同位角. 求证：b//c. 证明：∵b//a (已知）， ∴∠2=∠1(两直线平行，同位角相等）. ∵c//a（已知）, ∴∠3=∠1（两直线平行，同位角相等）. ∴∠2 = ∠ 3（等量代换）. ∴b//c（同位角相等，两直线平行）.
一般地，我们有如下的定理： 定理 平行于同一条直线的两条直线平行.
1 如图，已知AB∥DE，∠ABC＝70°， ∠CDE＝140°，则∠BCD为( ) A．20° B．30° C．40° D．70°2 如图，AB∥EF，CD⊥EF，∠BAC＝50°， 则∠ACD＝( ) A．120° B．130° C．140° D．150°
平行线的性质与判定的关系
平行线的判定与平行线的性质的区别：①平行线的判定是根据两角的数量关系得到两条直线 的位置关系，而平行线的性质是根据两条直线的位 置关系得到两角的数量关系；②平行线的判定的条件是平行线的性质的结论，而平 行线的判定的结论是平行线的性质的条件．
特别提醒平行线的判定与平行线的性质的区别：平行线的判定是根据两角的数量关系得到两条直线的位置关系，而平行线的性质是根据两条直线的位置关系得到两角的数量关系；平行线的判定的条件是平行线的性质的结论，而平行线的判定的结论是平行线的性质的条件.
如图，已知∠ABC与∠ECB互补，∠1＝∠2，则∠P与 ∠Q一定相等吗？说说你的理由．导引：如果∠P和∠Q相等，那么PB∥CQ，所以要判断∠P与 ∠Q是否相等，只需判断PB和CQ是否平行．要说明 PB∥CQ，可以通过说明∠PBC＝∠BCQ来实现，由于 ∠1＝∠2，只需说明∠ABC＝∠BCD即可． 解：∠P＝∠Q. 理由：∵∠ABC与∠ECB互补(已知)， ∴AB∥ED(同旁内角互补，两直线平行)．
∴∠ABC＝∠BCD(两直线平行，内错角相等)． ∵∠1＝∠2(已知)， ∴∠ABC－∠1＝∠BCD－∠2(等式的性质)， 即∠PBC＝∠BCQ. ∴PB∥CQ(内错角相等，两直线平行)． ∴∠P＝∠Q(两直线平行，内错角相等)．
一个数学问题的构成含有四个要素：题目的条件、解题的依据、解题的方法、题目的结论，如果题目所含的四个要素解题者已经知道或者结论虽未指明，但它是完全确定的，这样的问题就是封闭性的数学问题．
如图，直线a，b被直线c，d所截，若 ∠1＝∠2，∠3＝125°，则∠4的度数为( ) A．55° B．60° C．70° D．75°2 如图，已知AB∥CD，∠1＝30°，∠2＝90°，则∠3等 于( ) A．60° B．50° C．45° D．30°
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