专题04 平行四边形重点知识与基本图形讲义 八年级下册数学辅导讲义（人教版）

专题04 平行四边形重点知识与基本图形讲义

基本图形

（1）已知：AB∥CD，则S△ABC=S△ABD，S△ACE=S△BDE，S△ACD=S△BCD

S△CDE：S△ACE=S△BDE：S△ABE=DE：AE

（2）已知：DE∥BC，BE平分∠ABC，则：∠1=∠3=∠2，BD=DE

（3）已知：DE∥BC，CE平分∠ACG，则：∠1=∠3=∠2，CF=EF

（4）已知：ABCD为平行四边形，E是AD上任一点，则：SABCD=2S△BCE

（5）平行四边形ABCD对角线交于点O，则

且，任意过点O的直线均平分平行四边形ABCD的面积

（6）平面直角坐标系内的平行四边形坐标规律

若以点A（xA，yA），B（xB，yB），C（xC，yC），D（xD，yD）为顶点的四边形为平行四边形，且AC，BD为对角线，则xA+ xC= xB+ xD；yA+ yC= yB+yD.

典例解析

1.【平行四边形判定】

【例1】（2021·重庆沙坪坝区期末）下列条件中能判定四边形是平行四边形的是（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【变式1】（2021·山东烟台期末）如图，是的边延长线上一点，连接，，，交于点，添加以下条件，不能判定四边形为平行四边形的是（　　　）

A． B． C． D．

2.【平行四边形存在性】

【例2】（2019·浙江杭州月考）已知平行四边形，对角线、，则该平行四边形四条边中最长边a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【变式2】（2020·浙江杭州期末）平行四边形一边的长是，则这个平行四边形的两条对角线长可以是（    ）

A．或 B．或 C．或 D．或

3.【利用平行四边形性质计算】

【例3】（2021·吉林长春市）如图所示，在平行四边形ABCD中，已知AD=5cm，AB=3cm，AE平分∠BAD交BC边于点E，则EC等于（     ）

A．2 cm B．3 cm C．4 cm D．5 cm

【变式3】（2020·浙江杭州月考）如图在中，对角线相交于点O，与的周长相差3，，那么为（     ）

A．5 B．8 C．11或5 D．11或14

【例4】（2021·山西晋城期末）如图，在中，，对角线与相交于点，交于，若的周长为12cm，则的周长是（   ）

A． B． C． D．无法确定

【变式4】（2020·浙江八年级月考）如图，四边形是平行四边形，P是上一点，且和分别平分和．如果，，则的面积等于（    ）．

A．24 B．30 C． D．

【例5】在面积为15的平行四边形中，过点A作垂直于直线于点E，作垂直于直线于点F，若，，则的值为（    ）

A． B．

C．或 D．或

【变式5】（2021·山东临沂）如图，在中，、的平分线BE、CF分别与AD相交于点E、F，BE与CF相交于点G，若，，BC＝10，，则BE的长为（        ）

A． B．8 C． D．10

4.【中位线相关】

【例6】（2021·山东威海期末）如图，在中，，．，分别是，的中点，，为上的动点，且．连接，，则图中阴影部分的面积和为______．

【变式6-1】如图，在四边形中，与不平行，，分别是，的中点，，．对于的长，给出了四种猜测：

①；②；③；④．猜测正确的是（______）

A．①    B．②    C．③    D．④

【变式6-2】（2021·山东烟台市期末）如图，在中，平分，于点，交BC于点F，点是的中点，若，，则的长为______．

5.【坐标系内平行四边形存在性问题】

【例7】（2020·浙江杭州期末）已知在直角坐标系中有A､B､C､D四个点，其中A，B，C三个点的坐标分别为．若以A､B､C､D四个点为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标为_______．

6.【平行四边形判定与性质综合应用】

【例8】在平行四边形ABCD中，E，F分别是AB，DC上的点，且AE＝CF，连接DE，BF，AF．

（1）求证：四边形DEBF是平行四边形；

（2）若AF平分∠DAB，AE＝3，DE＝4，BE＝5，求AF的长．

【变式8-1】（2021·山东烟台期末）如图，的对角线、交于点，，分别是、的中点．

（1）求证：四边形是平行四边形；

（2）若，，，求的长度．

【变式8-2】（2021·重庆渝中区期末）已知：在平行四边形ABCD中，点E、F分别在AD和BC上，点G、H在对角线AC上，且BF=DE，AH=CG，连接FH、HE、BG、FG．

（1）求证：FG=EH．

（2）若EG平分∠AEH，FH平分∠CFG，FG//AB，∠ACD=68°，∠GFH=35°，求∠GHF的度数．

【变式8-3】（2021·烟台期末）在中，，点在边所在的直线上，过点作交直线于点，交直线于点．

（1）当点在边上时，如图①，求证：．

（2）当点在边的延长线上时，如图②，线段，，之间的数量关系是_____，为什么？

（3）当点在边的反向延长线上时，如图③，线段，，之间的数量关系是____（不需要证明）．

7.【与中点有关综合证明】

【例9】（2021·淄博期末）如图，在中，，中线，相交于点，点，分别为，的中点．

（1）求证：，；

（2）若，，求四边形的面积．

【例10】（2021·驻马店期末）如图1，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD=AE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点．

（1）观察猜想

图1中，线段PM与PN的数量关系是________，位置关系是________；

（2）探究证明

把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN，BD，CE，判断△PMN的形状，并说明理由；

【变式9】（2021·福建漳州月考）如图①，在四边形中，，P是对角线的中点，M是的中点，N是的中点．

(1)求证：．

（结论应用）

（2）如图②，在上边题目的条件下，延长上图中的线段交的延长线于点E，延长线段交的延长线于点F.求证：．

（3）若（1）中的，则的大小为__________．