专题06 特殊平行四边形重点知识讲义 八年级下册数学辅导讲义（人教版）

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专题06 特殊平行四边形重点知识讲义


性质
判定
矩形
①边——两组对边分别平行且相等；
②角——每个角都是90°；
③对角线——两条对角线相等且互相平分.

①有一个角是90°的平行四边形是矩形；
②对角线相等的平行四边形是矩形；
③有三个角90°的四边形是矩形.
菱形
①边——两组对边分别平行且相等，邻边相等；
②角——两组对角分别相等；
③对角线——两条对角线垂直且互相平分，每条对角线平分一组对角.
①一组邻边相等的平行四边形是菱形；
②对角线垂直的平行四边形是菱形；
③四条边相等的四边形是菱形.
正方形
四条边都相等；
四个角都是90°；
对角线相等且互相垂直平分；
每条对角线平分一组对角；
正方形的中点四边形是正方形；
矩形四个角平分线所成的四边形是正方形.
四边相等，有三个角是直角的四边形是正方形；
一组邻边相等的矩形是正方形；
一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形；
有一个角是直角的菱形是正方形；
对角线相等的菱形是正方形；
对角线互相垂直的矩形是正方形；
对角线互相垂直平分且相等的平行四边形是正方形.

几个结论
1. 平行四边形对角线与边关系

AC2+BD2=2（AB2+BC2）
思考：在证明含有线段平分的关系时，考虑勾股定理，而勾股定理离不开直角三角形，故而需要作垂线构造直角三角形.
理由：过A，D分别作AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，
则AC2+BD2=AE2+CE2+BF2+DF2
= AE2+（BC－BE）2+（BC+CF）2+DF2
=AE2+BC2－2BC·BE+BE2+BC2+2BC·CF+CF2+DF2
= AE2+BC2+BE2+BC2+CF2+DF2
=2（AB2+BC2）
2. 对角线互相垂直四边形

四边形ABCD对角线，AC⊥BD，
结论：S=AC·BD
AB2+CD2=BC2+AD2
3. 中点四边形
任意四边形中点四边形均为平行四边形
对角线垂直的四边形的中点四边形为矩形
对角线相等的四边形的中点四边形为菱形
对角线垂直且相等的四边形的中点四边形为正方形
4. 三角形一边的中线等于这边的一半，则该三角形为直角三角形.

由图，知∠ACB=x+y=90°.
5. 正方形中的“蝴蝶”

四边形ABCD为正方形，BN⊥AM，则BN=AM.
典例解析
1.【特殊四边形判定】
【例1】（2021·重庆渝中区月考）下列命题中，是真命题的是（　　　）
A．对角线相等的平行四边形是菱形 B．一组邻边相等的四边形是菱形
C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D．四个角相等的四边形是菱形
【答案】C.
【解析】解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，A错误；
B、一组邻边相等的平行四边形是菱形，B错误；
C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，C正确；
D、四个角相等的四边形是矩形，D错误；
故答案为：C．
【变式1-1】下列命题中，正确的是（ ）
A．两邻边相等的四边形是菱形
B．一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形
C．对角线垂直且一组邻边相等的四边形是菱形
D．对角线垂直的四边形是菱形
【答案】B.
【解析】解：两邻边相等的平行四边形是菱形，故A错误；
一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形，故B正确；
对角线垂直且一组邻边相等的四边形不一定是菱形，比如筝形，故C错误；
对角线垂直的平行四边形是菱形，故D错误；
故答案为：B．
【例2】（2020·银翔实验中学月考）下列四个命题中，假命题是（ ）
A．对角线互相平分的四边形是平行四边形
B．对角线互相垂直平分的四边形是矩形
C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
D．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形
【答案】B.
【解析】A、对角线互相平分的四边形是平行四边形，是真命题；
B、对角线相等且平分的四边形是矩形，原命题是假命题；
C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，是真命题；
D、对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，是真命题；
故答案为：B．
【变式2-1】（2020·河南开封期末）下列命题中，真命题是（ ）
A．一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形
B．有一个角是直角的四边形是矩形
C．一组邻边相等且对角线互相垂直的四边形是菱形
D．有一个角是直角且对角线互相垂直平分的四边形是正方形
【答案】D.
【解析】A.一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形或等腰梯形，错误；
B.有一个角是直角的平行四边形是矩形，错误；
C.一组邻边相等且对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，错误；
D.有一个角是直角且对角线互相垂直平分的四边形是正方形，正确.
故答案为：D．
【变式2-2】（2020·河南驻马店期末）下列说法正确的个数是（ ）
①对角线互相垂直或有一组邻边相等的矩形是正方形；
②对角线相等或有一个角是直角的菱形是正方形；
③对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形；
④对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D.
【解析】解：①对角线互相垂直或有一组邻边相等的矩形是正方形，正确；②对角线相等或有一个角是直角的菱形是正方形，正确；③对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，正确；④对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，正确；
故答案为：D．
【例3】（2020·石家庄市期中）如图，在△ABC中，点D是边BC上的点（与B、C两点不重合），过点D作DE//AC，DF//AB，分别交AB、AC于E、F两点，下列说法错误的是（ ）

A．四边形AEDF是平行四边形
B．若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是菱形
C．若AB⊥AC，则四边形AEDF是矩形
D．若BD=CD，则四边形AEDF是正方形
【答案】D.
【解析】解：∵DE//AC，DF//AB，
∴四边形AEDF是平行四边形，故A正确；
若AD平分∠BAC，则∠EAD=∠FAD，
又∵∠EAD=∠FDA，
∴∠FAD=∠FDA
∴FA=FD，
∴平行四边形AEDF是菱形，故B正确；
∵AB⊥AC，
∴平行四边形AEDF是矩形，故C正确；
若BD＝CD，则四边形AEDF不一定是正方形；选项D错误．
故答案为：D．
【变式3-1】（2021·上海月考）已知四边形是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ）
A．当时，四边形是菱形
B．当时，四边形是菱形
C．当时，四边形是矩形
D．当时，四边形是正方形
【答案】D.
【解析】解：根据邻边相等的平行四边形是菱形，A叙述正确；
根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，B叙述正确；
根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，C叙述正确；
根据对角线相等的平行四边形是矩形，D叙述错误，符合题意；
故答案为：D．
【变式3-2】（2021·辽宁铁岭市期末）如图，点O为矩形的对称中心，，点E从点B出发（不含点B）沿向点C运动，移动到点C停止，延长交于点F，则四边形形状的变化依次为（ ）

A．平行四边形→菱形→正方形→矩形 B．平行四边形→正方形→菱形→矩形
C．平行四边形→菱形→平行四边形→矩形 D．平行四边形→正方形→平行四边形→矩形
【答案】C.
【解析】解：连接BD

∵点O为矩形ABCD的对称中心，
∴BD经过点O，OD=OB，
∵AD∥BC，
∴∠FDO=∠EBO，
∴△DFO≌△BEO，
∴DF=BE，
∵DF∥BE，
∴四边形BEDF是平行四边形，
观察图形可知，四边形AECF形状的变化依次为平行四边形→菱形→平行四边形→矩形．
故答案为：C．
【例4】（2021·广东模拟）如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D，F分别是AC，AB的中点，CE∥DB，BE∥DC．
（1）求证：四边形DBEC是菱形；
（2）若AD＝5，DF＝2，求四边形DBEC面积．

【答案】（1）见解析；（2）.
【解析】（1）证明：∵CE∥DB，BE∥DC，
∴四边形DBEC为平行四边形．
∵Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D是AC的中点，
∴CD=BD=AC，
∴平行四边形DBEC是菱形；
（2）∵点D，F分别是AC，AB的中点，AD=5，DF=2，
∴DF是△ABC的中位线，AC=2AD=10，S△BCD=S△ABC
∴BC=2DF=4．
∵∠ABC=90°，
∴AB=，
∵平行四边形DBEC是菱形，
∴S四边形DBEC=2S△BCD=S△ABC=AB•BC=．
【变式4-1】（2021·山东济宁市）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．
（1）求证：△AEF≌△DEB；
（2）证明四边形ADCF是菱形．

【答案】见解析.
【解析】解：（1）∵AF∥BC，
∴∠AFE=∠DBE，
∵E是AD的中点，
∴AE=DE，
∵∠AEF=∠DEB
∴△AEF≌△DEB；
（2）由（1）可知，AF=BD，
∵D是BC的中点，
∴BD=CD，
∴AF=CD，
∵AF∥CD，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵△ABC为直角三角形，
∴AD=CD，
∴四边形ADCF是菱形．
【例5】（2021·湖南娄底市）如图，已知平行四边形ABCD，若M，N是BD上两点，且BM＝DN，AC＝2OM，
（1）求证：四边形 AMCN 是矩形；
（2）△ABC 满足什么条件，四边形AMCN是正方形，请说明理由．

【答案】见解析.
【解析】（1）证明：四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
∵BM=DN，
∴OB-BM=OD-DN，即OM=ON，
∴四边形AMCN是平行四边形，
∴MN=2OM，
∵ AC=2OM，
∴MN=AC，
∴四边形AMCN是矩形；
（2）当AB=BC时，四边形AMCN是正方形；
∵AB=BC，四边形ABCD是平行四边形，
∴ 四边形ABCD是菱形，
∴ AC⊥BD，
∴AC⊥MN，
由（1）可知四边形ABCD是矩形，
∴四边形ABCD是正方形；
【变式5-1】（2020·赣州市期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线m//AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线m于点E，垂足为点F，连接CD、BE．
（1）求证：CE＝AD；
（2）当点D是AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；
（3）若点D是AB中点，则当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECD是正方形？

【答案】见解析．
【解析】（1）证明：∵直线m//AB，
∴EC//AD．
∵∠ACB＝90°，
∴BC⊥AC．
又∵DE⊥BC，
∴DE//AC．
∵EC//AD，DE//AC，
∴四边形ADEC是平行四边形，
∴CE＝AD．
（2）当点D是AB中点时，四边形BECD是菱形．
证明：∵D是AB中点，
∴DB＝DA，
又∵直线m//AB，CE＝AD，
∴DB＝CE，DB//CE，
∴四边形BDCE是平行四边形，
又∵DE⊥BC，
∴四边形BECD是菱形，
（3）当∠A的大小是45°时，四边形BECD是正方形．
证明：∵D是AB中点，
∴DB＝DA，
又∵直线m//AB，CE＝AD，
∴DB＝CE，DB//CE，
∴四边形BDCE是平行四边形，
∵DE⊥BC，
∴四边形BECD是菱形，
∴BC平分∠EBD，
∵∠A＝45°，
∴∠CBA＝45°，
∴∠EBD＝90°，
∴菱形BECD是正方形．
【变式5-2】（2020·四川广安市期末）如图，在中，点O是边上的一个动点，过点O作直线，设交的角平分线于点E，交的外角的平分线于点F，连接．
（1）求证：；
（2）当点O运动到何处时，四边形是矩形？并证明你的结论．
（3）在（2）的条件下，满足什么条件时，四边形是正方形？并说明理由．

【答案】见解析．
【解析】（1）证明：∵MN∥BC
∴∠3=∠2．
又∵CF平分∠ACG，
∴∠1=∠2，
∴∠1=∠3，
∴OC=OF，
同理，OC=OE，
∴OE=OF．

（2）解：当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形，
证明如下：当点O运动到AC的中点时，OA=OC．
又∵OE=OF，
∴四边形AECF是平行四边形，
由（1）可知，OC=OF，
∴AC=EF，
∴四边形AECF是矩形．
（3）在（2）的条件下，∠ACB=90°时，四边形AECF是正方形．
理由：由（2）知，当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形．
∵MN∥BC，
∴∠AOE=∠ACB，
当∠ACB=90°时，∠AOE=90°，即AC⊥EF，
∴四边形AECF是正方形．
2.【特殊四边形性质应用】
【例6】（2020·吉水县期末）如图，边长为3的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转30°后得到正方形EFCG，EF交AD于点H，那么DH的长是_____．

【答案】.
【解析】解：连接CH，
∵四边形ABCD，四边形EFCG都是正方形，
∴∠F＝∠D＝90°，
∴△CFH与△CDH都是直角三角形，
在Rt△CFH与Rt△CDH中，
∵，
∴△CFH≌△CDH（HL）．
∴∠DCH＝∠DCF＝（90°﹣30°）＝30°．
在Rt△CDH中，CD＝3，
∴DH＝．
故答案为：．

【变式6-1】（2021·重庆南开中学月考）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于O点，E，F分别是AB，BC边上的中点，连接EF．若，，则菱形ABCD的周长为（　　　）

A． B．16 C． D．32
【答案】C.
【解析】解：∵E，F分别是AB，BC边上的中点，EF＝，
∴AC＝2EF＝，
∵四边形ABCD是菱形，BD=8，
∴AC⊥BD，OA＝AC＝，OB＝BD＝4，
∴AB＝＝，
∴菱形ABCD的周长为：＝．
故答案为：C．
【变式6-2】（2021·四川成都市期中）如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，以斜边AB为边向外作正方形ABDE，连接CE，则CE的长为（　　）

A．5 B． C．3 D．
【答案】C.
【解析】解：过E作EF⊥AC，交CA的延长线于F，

∵四边形ABDE为正方形，
∴∠BAE＝90°，AE＝AB，
∵∠EAF+∠AEF＝90°，∠EAF+∠BAC＝90°，
∴∠AEF＝∠BAC，
在△AEF和△BAC中，
，
∴△AEF≌△BAC（AAS），
∴EF＝AC＝AF＝BC＝3，
在Rt△ECF中，EF＝3，FC＝FA+AC＝3+3＝6，
根据勾股定理得：CE＝．
故答案为：C．
【例7】（2020·渠县期末）如图，在中，，为的中线，过点作于点，过点作的平行线，交的延长线于点，在的延长线上截取，连接，．若，，则四边形的周长为______．

【答案】20.
【解析】解：∵AG∥BD，BD=FG，
∴四边形BGFD是平行四边形，
∵CF⊥BD，
∴CF⊥AG，
又∵点D是AC中点，
∴BD=DF=AC，
∴四边形BGFD是菱形，
设GF=x，则AF=13-x，AC=2x，
在Rt△AFC中，由勾股定理可得：36+（13-x）2=（2x）2，
解得：x=5，即GF=5
∴四边形BDFG的周长=4GF=20．
故答案为：20．
【例8】（2021·沭阳县月考）如图，在四边形ABCD中，AC=BD=6，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，则EG2+FH2的值为（　 ）

A．9 B．18 C．36 D．48
【答案】C.
【解析】解：连接EF、FG、GH、EH，设EG和FH交于点O，
∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，
∴EF∥AC，HG∥AC，EF＝AC，FG＝BD，
∴EF∥HG，

同理：EH∥FG，
∴四边形EFGH为平行四边形，
∵AC＝BD，
∴EF＝FG，
∴平行四边形EFGH为菱形，
∴EG⊥FH，EG＝2OG，FH＝2OH，
∴EG2＋FH2＝（2OE）2＋（2OH）2＝4（OE2＋OH2）＝4EH2＝4×（BD）2＝62＝36；
故答案为：C．
【例9】（2020·四川广安市期末）如图，O是菱形的对角线的交点，E，F分别是的中点给出下列结论：①；②四边形也是菱形；③四边形的面积大小等于；④；⑤是轴对称图形．其中正确的结论有（ ）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C.
【解析】解：∵E、F分别是OA、OC的中点．
∴AE＝OE．
∵S△ADEAE×ODOE×OD＝S△EOD
∴S△ADE＝S△EOD ①正确．
∵四边形ABCD是菱形，E，F分别是OA，OC的中点．
∴EF⊥OD，OE＝OF．
∵OD＝OB．
∴四边形BFDE是菱形．②正确
∵菱形ABCD的面积AC×BD．
∵E、F分别是OA、OC的中点．
∴EFAC．
∴菱形ABCD的面积＝EF×BD．③正确
由已知可求得∠FDO＝∠EDO，而无法求得∠ADE＝∠EDO．④不正确
∵EF⊥OD，OE＝OF，OD＝OD．
∴△DEO≌△DFO．
∴△DEF是轴对称图形．⑤正确
∴正确的结论有四个，分别是①②③⑤，
故答案为：C．
【例10】（2020·浙江杭州月考）如图，菱形的边长为，且，E是中点，P点在上，则的最小值为_______．

【答案】.
【解析】解：在菱形ABCD中，点A、C关于BD对称，AB=BC，连接AE，与BD的交点即为所求作的点P，

∵∠ABC= 60°，AB=BC，
∴△ABC是等边三角形，
∵AB=BC=4，点E是BC的中点，
∴BE=2，
∴AE⊥BC，
∴AE==，
即PE+PC的最小值为，
故答案为：．
【例11】（2020·广东惠州市期末）如图，在矩形中，点为对角线的中点，过点作交于点，交于点，连接，．

（1）求证：四边形是菱形；
（2）连接，若，，求的长．
【答案】见解析．
【解析】证明：（1）∵O是AC的中点，且EF⊥AC，
∴AF＝CF，AE＝CE，OA＝OC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠AFO＝∠CEO，
在△AOF和△COE中，
，
∴△AOF≌△COE（AAS），
∴AF＝CE，
∴AF＝CF＝CE＝AE，
∴四边形AECF是菱形；
（2）如图，连接BO，

∵AB＝4，AF＝AE＝EC＝5，
∴BE＝，
∴BC＝8，
∴AC＝，
∵AO＝CO，∠ABC＝90°，
∴BO＝AC＝2．
【变式11-1】（2021·山东潍坊市期末）如图，在四边形中，分别是的中点，分别是对角线的中点，依次连接连接．

（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）当时，与有怎样的位置关系？请说明理由；
（3）若，则 ．
【答案】（1）（2）见解析；（3）25.
【解析】证明：（1）∵E、G分别是AD、BD的中点，
∴EG∥AB，AB=2EG
同理可证：FH∥AB，AB=2HF
∴EG∥HF，EG=HF
∴四边形EGFH是平行四边形；
（2）GH⊥EF，
理由：∵G、F分别是BD、BC的中点，
∴FG=CD，
由（1）知GE=AB，
又∵AB=CD，
∴GE=GF
又四边形EGFH是平行四边形，
∴四边形EGFH是菱形，
∴GH⊥EF；
（3）由题意，EG∥AB，HF∥AB，GE=AB
∴EG∥HF，
同理，EH∥FG，GF=CD
∴四边形EGFH是平行四边形，
∵AB=CD，
∴GE=GF，
∴四边形EGFH是菱形，
∵∠ABD=20°，∠BDC=70°，EG∥AB，GF∥CD，
∴∠EGD=∠ABD=20°，∠BGF=∠BDC=70°，
∴∠DGF=180°-∠BGF=110°，
∴∠EGF=∠EGD+∠DGF=20°+110°=130°，
∴∠GEH=180°-∠EGF=50º，
∵FE平分∠GEH，
∴∠GEF=∠GEH=25°．
故答案为：25．
【例12】（2020·河南郑州月考）如图，在平行四边形中，是边上的高，将沿方向平移，使点与点重合，得．

（1）求证：；
（2）若，当______时，四边形是菱形；
（3）若，当______时，四边形是正方形．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）．
【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB=CD．
∵AE⊥BC，
∴CG⊥AD，AE=CG，
∴∠AEB=∠CGD=90°．
在Rt△ABE与Rt△CDG中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△CDG（HL），
∴BE=DG．
（2）当BC=AB时，四边形ABFG是菱形．
证明：∵AB∥GF，AG∥BF，
∴四边形ABFG是平行四边形．
∵Rt△ABE中，∠B=60°，
∴∠BAE=30°，
∴BE=AB，
∵BE=CF，BC=AB，
∴EF=AB．
∴AB=BF．
∴四边形ABFG是菱形．
故答案是：；
（3）BC=AB时，四边形AECG是正方形．
∵AE⊥BC，GC⊥CB，
∴AE∥GC，∠AEC=90°，
∵AG∥CE，
∴四边形AECG是矩形，
当AE=EC时，矩形AECG是正方形，
∵∠B=60°，
∴EC=AE=AB，BE=AB，
∴BC=AB．
故答案是：．
【变式12-1】（2020·渠县月考）如图所示，为的边上一动点，过点的直，设分别交的平分线及其外角平分线于点．

（1）求证：
（2）当点在何处时，四边形是矩形？
（3）在（2）的条件下，请在中添加条件，使四边形变为正方形，并说明你的理由．
【答案】见解析．
【解析】（1）证明：∵MN∥BC，
∴∠OEC=∠BCE，
∵CE平分∠ACB，
∴∠BCE=∠OCE，
∴∠OEC=∠OCE，
∴EO=CO，
同理：FO=CO，
∴EO=FO；
（2）解：当点O运动到AC的中点时，四边形CEAF是矩形； 理由如下：
由（1）得：EO=FO，
又∵O是AC的中点，
∴AO=CO，
∴四边形CEAF是平行四边形，
∵EO=FO=CO，
∴EO=FO=AO=CO，
∴EF=AC，
∴四边形CEAF是矩形；
（3）解：当点O运动到AC的中点时，且∠ACB为直角时，四边形AECF是正方形．
理由如下：
∵当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形，
∵MN∥BC∠ACB=90°，
∴∠AOE=∠ACB=90°，
∴AC⊥EF，
∴四边形AECF是正方形．
【例13】（2021·广东深圳期末）如图，在直角坐标系中，四边形OABC是矩形，OA＝8，OC＝6，点D是对角线AC的中点，过点D的直线分别交OA、BC边于点E、F．
（1）求证：四边形EAFC是平行四边形；
（2）当CE＝CF时，求EF的长；
（3）在条件（2）的情况下，P为x轴上一点，当以E，F，P为顶点的三角形为等腰三角形时，请求出点P的坐标．

【答案】（1）见解析；（2）；（3）点P的坐标为（8，0）或（，0）或（﹣，0）或（，0）.
【解析】（1）证明：∵四边形OABC是矩形，
∴BC∥OA，
∴∠FCD＝∠DAE，∠CFD＝∠AED，
∵D是AC的中点，
∴CD＝AD，
∴△CDF≌△ADE，
∴DF＝DE，
∴四边形EAFC是平行四边形；
（2）解：∵四边形EAFC是平行四边形，CE＝CF，
∴四边形EAFC是菱形，
∴CE＝EA，AC⊥EF，
设CE＝AE＝x，
∵OC2+OE2＝CE2，
∴62+（8﹣x）2＝x2，
∴x＝，
∴CE＝，
∵OA＝8，OC＝6，
∴AC＝＝＝10，
∴CD＝AC＝5，
∴ED＝＝＝，
∴EF＝2ED＝；
（3）由（2）可知，AE=CE=，OE=，
①若PE＝PF，点P与点A重合，
∴P（8，0），
②若EF＝EP＝，
当点P在x轴的正半轴上，OP＝OE+PE＝＝，
∴P（，0），
当点P在x轴的负半轴上，OP＝PE﹣OE＝＝，
∴P（﹣，0），
③若EF＝FP，过点F作FG⊥AE于点G，
则EG＝CF﹣OE＝﹣＝，
∴EP＝9，
∴OP＝OE+EP＝+9＝，
∴P（，0）．
综上可得，点P的坐标为（8，0）或（，0）或（﹣，0）或（，0）．

【变式13-1】（2021·广东佛山期末）如图，在中，，，．点从点出发沿方向以每秒2个单位长度的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以每秒1个单位长度的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点、 运动的时间是秒．过点作于点，连接、．
（1）请用含有的式子填空：______，______，______；
（2）是否存在某一时刻使四边形为菱形？如果存在，求出相应的值；如果不存在，说明理由；
（3）当为何值时，为直角三角形？请说明理由．

（备用图）
【答案】见解析．
【解析】解：（1）由题意知，AQ=t，
∵∠C=90°，AC=10，∠A=60，
∴∠B=30°，
∴AB=2AC=20，
∴AP=AB-BP=20-2t，
∵PM⊥BC，
∴∠PMB=90°，
∴PM=PB=t．
故答案为：AQ=t，AP=20－2t，PM=t．
（2）存在，理由如下：由（1）知，AQ=PM
∵AC⊥BC，PM⊥CB
∴AQ∥PM
∴四边形AQMP是平行四边形．
当AP=AQ时，四边形AQMP是菱形
即20-2t=t，解得：t=．
故当t=时四边形AQMP为菱形．
（3）①当∠MPQ=90°时，此时四边形CMPQ为矩形
在Rt△APQ中，∠A=60°，∠APQ=30°
∴AP=2AQ，即20-2t=2t，解得：t=5
②当∠MQP=90°时，
同理，AQ=2AP，
即t=2（20-2t），解得：t=8
③当∠PMQ=90°时，此种情况不存在．
综上所述，t=5或t=8时，△PQM为直角三角形．
【变式13-2】（2020·江苏泰州市月考）对于平面直角坐标系 xOy 中的线段 MN 及点 Q，给出如下定义：若点 Q 满足 QM=QN，则称点Q为线段MN的“中垂点”；当 QM=QN=MN 时，称点 Q为线段 MN 的“完美中垂点”．
(1)如图 1，A（4，0），在Q1（0，4）、Q2（2，-4）、Q3(1，)中，可以是线段 OA 的中垂点是 ；
(2)如图 2，点 A为x轴上一点，若点Q(2，2)为线段 OA 的“完美中垂点”，请求出线段 OQ 的“完美中垂点”的坐标；
(3)若点A为x轴正半轴上一点，点Q为线段 OA 的“完美中垂点”，点 P（0，m）在 y轴上，在线段 PA 上方画出线段 AP 的“完美中垂点”M，请问∠MQA的度数是否是一个定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．

【答案】(1)（2，-4）；(2)（4，0）或(-2，2)；(3)∠MQA =90，见解析.
【解析】解：(1)根据“中垂点”的定义得： QM=QN，
∴点Q在线段OA 的垂直平分线上，
∵O(0，0)，A(4，0)，
∴线段OA 的垂直平分线是：x=2，
在Q1（0，4）、Q2（2，-4）、Q3(1，)中，只有Q2（2，-4）符合题意，
∴可以是线段 OA 的中垂点是Q2（2，-4），
故答案为：Q2（2，-4）；
(2) ∵Q(2，2)，
∴OQ=4，
∵点Q(2，2)为线段 OA 的“完美中垂点”，
∴OA=QA=OQ=4，即A（4，0）为线段 OQ 的“完美中垂点”，
设线段 OQ 的另外一个“完美中垂点”为D，如图所示：

则OD=QD=OA=QA=OQ=4，
∴四边形AODQ为菱形，
∴DQ∥OA，
∴D (-2，2)，
∴线段 OQ 的“完美中垂点”的坐标为（4，0）或(-2，2)；
(3) ∠MQA的度数是一个定值，∠MQA =90°，
理由如下：
如图所示，点M为线段 AP 的“完美中垂点”，

∵点Q为线段 OA 的“完美中垂点”，
∴PA=PM=AM，OA=QA=OQ，
∴△OAQ和△PAM为等边三角形，
∴∠OAQ=∠PAM=60°，
∴∠OAP=∠QAM，
在△OAP和△QAM中，
，
∴△OAP≌△QAM(SAS)，
∴∠MQA=∠POA=90°．
【变式13-3】（2020·株洲市期中）如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝24cm，BC＝26cm动点P从点A出发沿AD方向向点D以1cm/s的速度运动，动点Q从点C出发沿着CB方向向点B以3cm/s的速度运动．点P，Q分别从点A和点C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点随之停止运动．

（1）经过多长时间，四边形PQCD是平行四边形？
（2）经过多长时间，四边形PQBA是矩形？
（3）若AB＝8，如果Q点的移动速度不变，要使PQBA是正方形，则P点移动速度是多少？
【答案】（1）6s；（2）s；（3）cm/s.
【解析】解：（1）∵PD∥CQ，
∴当PD＝CQ时，四边形PQCD是平行四边形，
设运动时间为t，PD=24-t，CQ=3t，
则24﹣t＝3t，解得t＝6，
∴经过6秒，四边形PQCD是平行四边形；
（2）∵AP∥BQ，∠B=90°，
∴当AP＝BQ时，四边形PQBA是矩形，
设运动时间为t，AP=t，BQ=26-3t
t＝26﹣3t，
解得t=，
∴经过秒，四边形PQBA是矩形；
（3）当BQ＝AB＝8时，四边形PQCD是正方形，
设运动时间为t，
26﹣3t＝8，解得t＝6，
∵PA＝6•VP＝8，
∴VP＝cm/s．