初中数学人教版八年级下册第十八章 平行四边形18.2 特殊的平行四边形18.2.1 矩形完美版课件ppt

教学目标

1.掌握矩形的定义和性质，理解矩形与平行四边形的区别与联系，会进行相关的推理.

2.会初步运用矩形的定义和性质来解决有关问题.

3.能推出直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质.

教学重难点

重点：矩形的性质.

难点：矩形的性质的灵活运用.

教学过程

导入新课

导入1：

师：前面我们学习了平行四边形，请同学们回忆平行四边形有哪些性质.

教师提示：从边、角、对角线的方面考虑.

学生思考回答.

平行四边形的对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分.

师：对于一类几何图形的研究，我们往往按照从一般到特殊的思路进行，比如研究三角形时，我们先研究一般三角形，再将三角形的有关要素特殊化，我们研究了把边特殊化得到的等腰三角形、把角特殊化得到的直角三角形，对于平行四边形的研究，我们也可以按照这个思路进行.

把平行四边形的一个角特殊化成直角，我们得到一个什么样的图形呢？

教师画图（板演）引入.

导入2：

教学时让一名学生台前演示，教师发指令，学生按指令完成动作.

教师指令：（1）请举起手中的平行四边形，另一名学生说出此图形的性质.

（2）给学生演示，根据四边形的不稳定性，轻轻拉动一个点，观察在拉动过程中，它一直是一个平行四边形吗？为什么？

（3）再次演示平行四边形的变动过程，当变动到一个角是直角时停止，让学生观察这是什么图形（如图1所示），引出本课题及矩形定义.

图1

探究新知

图2

活动1：矩形的定义.

有一个角是直角的平行四边形叫做矩形（通常也叫长方形）（如图2所示）.

活动2：矩形的性质.

（1）猜想矩形的性质

教师：因为矩形是特殊的平行四边形，所以它具有平行四边形的所有性质，由于它有一个角为直角，所以它应该还有哪些一般平行四边形不具有的性质呢？

对于矩形我们仍然从它的边、角和对角线等方面进行研究.鼓励学生大胆说出猜想，展现自我.

学生猜想1：矩形的四个角都是直角.

学生猜想2：矩形的对角线相等.

（2）证明学生对矩形性质的猜想，得到矩形的性质

教学时要对矩形的性质做板书，多媒体展示性质，让学生理解记忆矩形的性质，并和平行四边形的性质作比较.

猜想1：矩形的四个角都是直角.

分析：由矩形的定义，利用平行四边形对角相等、邻角互补可使问题得证.

在学生独立完成的基础上，小组内进行交流讨论，最后在教师的启发与引导下得出正确的结论.

图3

已知：如图3所示，四边形ABCD是矩形.

求证：∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°.

证明：∵ 四边形ABCD是矩形，

∴ 四边形ABCD是平行四边形.

不妨设∠A＝90°，

∴ ∠C＝∠A＝90°，∠B＝180°-∠A＝90°，∠D＝180°-∠A＝90°，

即矩形的四个角都是直角.

几何语言：如图3所示.

∵ 四边形ABCD是矩形，

∴ ∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°.

猜想2：矩形的对角线相等.

图4

已知：如图4所示，AC，BD是矩形ABCD的对角线.

求证：AC＝BD.

分析：可根据矩形的性质，通过证明三角形全等（SAS）来证明线段相等.

证明：∵ 四边形ABCD是矩形，

∴ AB＝DC，∠ABC＝∠DCB＝90°.

又∵ BC＝CB，∴ △ABC≌△DCB（SAS）.

∴ AC＝DB.

几何语言：如图4所示.

∵ AC，BD是矩形ABCD的对角线，∴ AC＝BD.

（3）探究直角三角形的一个特性

图5

如图5所示，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，我们观察Rt△ABC，BO是斜边AC上的中线，BO与AC有什么关系？

根据矩形的性质，我们知道BO＝BD＝AC.因此，我们得到直角三角形的一个性质：

直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.

几何语言：如图6所示.

在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，

∴ CD＝AB.

图6　　　　　　　图7

（4）探索矩形的对称性

矩形是轴对称图形吗？对称轴有几条？矩形是中心对称图形吗？

矩形既是轴对称图形，也是中心对称图形.对称轴是经过对边中点的直线（2条），对称中心是对角线的交点（如图7所示）.

新知应用

图8

例1　如图8所示，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠AOB＝60°，AB＝4.求矩形对角线的长.

分析：因为矩形是特殊的平行四边形，所以它具有对角线相等且互相平分的性质，根据矩形的这个特性和已知，可得△OAB是等边三角形，因此对角线的长度可求.

解：∵ 四边形ABCD是矩形，

∴ AC与BD相等且互相平分，∴ OA＝OB.

又∵ ∠AOB＝60°，∴ △OAB是等边三角形，

∴ OA＝AB＝4，∴ AC＝BD＝2OA＝2×4＝8.

小结：若矩形两条对角线的夹角是60°，则其中必有等边三角形.

图9

例2　已知：如图9所示，在矩形 ABCD中，边AB长为8 cm，对角线BD比AD边长4 cm.求AD的长及点A到BD的垂线段AE的长.

分析：因为矩形四个角都是直角，所以矩形中的计算经常要用到直角三角形的性质.此题利用方程的思想解决直角三角形中的计算问题，这是几何计算题中常用的方法.

解：设AD长为x cm，则对角线BD长为（x+4）cm.

在Rt△ABD中，由勾股定理，得x2+82＝（x+4）2，

解得x＝6.则AD长为6 cm.

利用三角形的面积公式，

可得AE·BD＝AD·AB，

即AE×（6+4）＝6×8，解得AE＝4.8 cm.

课堂小结

1.什么叫做矩形？

2.矩形的性质：

边的性质；

角的性质；

对角线的性质；

对称性.

3.直角三角形的性质.

布置作业

教材第53页练习第1，2，3题.

板书设计