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北师大版九年级上册数学：第1周末教案+强化（学生版）
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这是一份北师大版九年级上册数学：第1周末教案+强化（学生版），共8页。
九(上) 第二章 一元二次方程 （第一周周末教案 课时1）
第一节 认识一元二次方程
【知识梳理】
知识点一、 一元二次方程的定义
1. 方程：含有 未知数 的等式叫做方程；
一元一次方程：在一个整式方程（即分母中不含字母）中， 含有 一 个未知数，并且未知数的次数是 1 ， 这样的方程叫做一元一次方程.
一元二次方程：只含有 一 个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的 整式 方程叫做一元二次方程。
①该方程是一个整式方程；
一元二次方程的定义要把握三点 ②只含有一个未知数；
③化简之后，未知数的最高次数是2.
2. 一元二次方程的一般形式：（为常数，），其中ax2，bx2，c分别称为二次项、一次项和常数项，a，b分别称为二次项系数和一次项系数。
【例1】下列方程是一元二次方程的是( )
A. 3x2+=0 B. 2x﹣3y+1=0 C. (x﹣3)(x﹣2)=x2 D. (3x﹣1)(3x+1)=3
【例2】下列方程中，一元二次方程共有( )个. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
①x2﹣2x﹣1=0；②ax2+bx+c=0；③+3x﹣5=0；④﹣x2=0；⑤(x﹣1)2+y2=2；⑥(x﹣1)(x﹣3)=x2.
知识点二、 一元二次方程解的估算
1. 方程的解：使方程左右两边的值相等的 未知数的值 叫做方程的解.
解一元一次方程的一般步骤： 去分母 、 去括号 、 移项 、 合并同类项 、 系数化为1 .
一元二次方程的解： 一元二次方程的解(根)的意义：能使一元二次方程左右两边 相等的未知数的值 是一元二次方程的解.
【例3】已知x=﹣1是方程x2+mx+1=0的一个实数根，则m的值是( )A. 0 B. 1 C. 2 D. ﹣2
【例4】若方程ax2+bx+c=0(a≠0)满足a+b+c=0，则方程必有一根为( )A. 0 B. 1 C. ﹣1 D. ±1
2. 一元二次方程解的估算：依据代数式的值的求法，当某一x取值使得这个方程中的的值无限接近于0时，x的值即可看做一元一次方程的解.
点拨：①估算一元二次方程的解， 只是估算“解”的取值范围，比如在哪两个数之间；②当相邻的两个数， 一个使 ， 一个使 ，则一元二次方程的解就介于这两个数之间.认真观察代数式的特点和取值走向， 就能很快找到这样相邻的两个数.
【例5】 观察下列表格，一元二次方程x2-x-1.1=0最精确的一个近似解是（ ）A. 0.09 B. 1.1 C. 1.6 D. 1.7
知识点三、根据问题情境列一元二次方程
1. 列一元二次方程解实际问题：列方程最重要的是审题，只有透彻理解题意，才能恰当地 设出未知数 ，准确找出已知量与未知量之间的等量关系，正确地列出方程。列一元二次方程解应用题的一般步骤是：（1）审；（2）设；（3）列；（4）解；（5）验；（6）答。
注意：列一元二次方程解决实际问题时， 一定要检验， 看方程的解是否符合题意.
【例6】 如图所示，将一个边长为5的正方形两边减去宽为x的矩形，剩余部分的面积为16，可列出方程为 .
（例6）
第二节 用配方法求解一元二次方程
知识点四、用直接开平方法解一元二次方程
1. 完全平方公式：两数和（或差）的平方， 等于这两个数的平方和加上（或减去）它们乘积的两倍. 字母表述为： ； .
2. 平方根的意义：如果一个数的平方等于， 即， 那么这个数就叫做的平方根.一个正数的平方根有 两个 ， 它们 互为相反数 ， 零的平方根是 零 ， 负数 没有平方根 .
3. 直接开平方法解一元二次方程：形如的一元二次方程可利用平方根的定义用开平方的方法直接求解，这种解方程的方法叫直接开平方法。适合用直接开平方法解一元二次方程的三种类型：(1)(m≥0)；(2)(n≥0)；(3)(ab≥0且a≠0)。
点拨：直接开平方法解方程一般步骤：①把方程化成有一边是含有未知数的完全平方的形式，另一边是非负数的形式，即化成的形式.②直接开平方，得，.
【例7】方程(x﹣1)2=2的根是( )A. ﹣1，3 B. 1，﹣3 C. ， D. ，
知识点五、用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程
1. 配方法的步骤：①化二次项系数为1；②移项，使方程左边的二次项和一次项，右边为常数项；③要在方程两边各加上 一次项系数一半的平方 （注：一次项系数是带符号的）；④方程变形为的形式；⑤如果右边是非负数，就用直接开平方法解这个一元二次方程；如果右边是一个负数，则方程在实数范围内无解。
【例8】用配方法解方程(1)x2+4x﹣5=0. (2)2x2-1=x
【例9】多项式x2-6x+8的最小值为( )A. 8 B. 0 C. -1 D. -6
【习题精练】
1．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．x2+2x﹣y=3 B． C．（3x2﹣1）2﹣3=0 D．x2﹣8=x
2．关于x的一元二次方程（a﹣2）x2+x+a2﹣4=0的一个根是0，则a的值为（ ）
A．2 B．﹣2 C．2或﹣2 D．0菁
3．方程（x﹣2）2+4=0的解是（ ）
A．x1=x2=0 B．x1=2，x2=﹣2 C．x1=0，x2=4 D．没有实数根
4．用配方法解下列方程时，配方正确的是（ ）
A．方程x2﹣6x﹣5=0，可化为（x﹣3）2=4 B．方程y2﹣2y﹣2015=0，可化为（y﹣1）2=2015
C．方程a2+8a+9=0，可化为（a+4）2=25 D．方程2x2﹣6x﹣7=0，可化为
5．把方程2x2-6x-5=0化为（x+m）2=k的形式，则m ，k= 。
6．根据下表判断方程2x2+3x-5=0的正数解范围是 。
7．两个数的和为15，积为56，若设其中一个数为x，则可列方程为 。
8．解下列方程：
（1） （2）
（3） （4）
【提高训练】
☆1. 代数式x2﹣4x+5的最小值是 。
☆2. 若关于x的一元二次方程(m﹣1)x2+5x+m2﹣3m+2=0的一个根是0，则m的值是 .
【培优训练】
☆☆1．已知a是方程x2+x﹣2015=0的一个根，求的值。
☆☆2. 已知a，b，c是△ABC的三边，且满足a2+b2+c2-ab-bc-ca=0，试判断△ABC的形状。
九(上) 第二章 一元二次方程 （第一周周末教案 课时2）
第三节 用公式法求解一元二次方程
【知识梳理】
知识点一、用公式法解一元二次方程
1. 一元二次方程的一般形式：我们把（为常数,）称为一元二次方程的一般形式, 其中分别称为二次项、一次项和常数项,分别称为二次项系数和一次项系数.
2. 一般地, 对于一元二次方程（为常数,）, 当时, 它的根是：, 这个式子称为一元二次方程的求根公式.
知识点二、根的判别式的应用
1. 一元二次方程（）的根的情况可以由 来判定, 把 叫做一元二次方程（）的 根的判别式 ,通常由希腊字母“”来表示：①若 ,则方程有两个不相等的实数根；②若 ,则方程有两个相等的实数根；③若 ,则方程无实数根.
点拨：用求根公式求一元二次方程的解的方法,是解一元二次方程的万能公式。
步骤：①必须把一元二次方程化成一般式（）,以明确a、b、c的值；
②用的符号确定原方程是否有实数根；当时,把a、b、c的值代入公式求根；当时, 则方程没有实数根。
【例1】用公式法求解下列方程：(1) -x2-2x=2x+1； (2) x2-5=2(x+1)； (3)3x2-x+9=0.
【例2】一元二次方程2x2-3x+1=0的根的情况是( )
A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根
【例3】一元二次方程(1-k)x2-2x-1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 。
第四节 用因式分解法求解一元二次方程
知识点三、用因式分解法求解一元二次方程
1. 因式分解的概念：把一个 多项式 化成几个整式的 积 的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解.
2. 因式分解的方法：
（1）提公因式法：如果一个多项式的各项含有公因式, 那么就可以把这个公因式提出来, 从而将多项式化成两个因式乘积的形式, 这种因式分解的方法叫做提公因式法.
（2）运用公式法：平方差公式为= ；完全平方公式为 ,或 。
（3）十字相乘法：①先把一元二次方程化成一般式（）；②十字左边相乘等于 二次项系数 ，右边相乘等于 常数项 ，③交叉相乘再相加等于 一次项系数 ；④分解完成后，带上各项的系数横向写出分解的两个因式。四字诀“ 先拆再凑 ”（拆二次项、常数项，凑一次项）。
3. 分解因式法：分解因式法的理论依据是：若ab=0，则 a=0 或 b=0 。当一元二次方程的一边为0，而另一边易于分解成 两个因式的乘积 时，令每个因式分别为0，得到 两个一元一次方程 ，分别解之，得到的解就是原方程的解，这种解方程的方法称为分解因式法。
一般步骤：①先移项,将方程的右边化为零；②将方程左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零,得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程,它们的解就是原方程的解.
【例4】用因式分解法求下列方程：(1)x2+2x-3=0； (2)x2+3=3(x+1)； (3)2x2+3x=-1；
4. 选择适当方法解一元二次方程： 在解一元二次方程时，先特殊，再一般，即先考虑能否用开平方法和分解因式法，再考虑公式法或配方法。若无特殊说明，一般不使用配方法，但若二次项系数为1，一次项系数为偶数时，选择配方法也可。
【例5】用指定的方法解下列方程:(1)2x2-4x-1=0(用公式法) (2)(x-2)2=3(2-x) (因式分解法)
⑶2y2－3y－2＝0;(配方法) (4)x2+2x-15=0(十字相乘) (5)3x2+35x+50=0(十字相乘)
☆补充： 用整体换元的思想求解一元二次方程(了解)
(1)解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法. (2)我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现.
☆【例6】解下列方程(1)(x+1)2=6x+6. (2)(x-2)2-4(x-2)+3=0.
【习题精练】
1. 用公式法解方程6x﹣8=5x2时，a、b、c的值分别是( )
A. 5、6、﹣8 B. 5、﹣6、﹣8 C. 5、﹣6、8 D. 6、5、﹣8
2. 已知一元二次方程的两根分别为x1=3，x2=-4，则这个方程可能为（ ）
A. (x-3)（x+4）=0 B. （x+3）（x-4）=0 C. （x+3）（x+4）=0 D. (x-3)(x-4)=0
3. 方程x2﹣x﹣1=0的一个根是( )A. 1﹣ B. C. ﹣1+ D.
4. 关于x的方程x(x+6)=16解为( )A. x1=2，x2=2 B. x1=8，x2=﹣4 C. x1=﹣8，x2=2 D. x1=8，x2=﹣2
5. 方程x2﹣3x﹣5=0的根的情况是( )
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定是否有实数根
6. 一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2-7x+10=0的两根，则该等腰三角形的周长是( )
A. 12 B. 9 C. 13 D. 12或9
7. 方程x2﹣4x﹣12=0的解是 .
8.若一元二次方程（k﹣1）x2﹣4x﹣5=0有两不相等实数根，则k的取值范围是 ．
9. 用恰当的方法解下列方程：
(1)2x2-5x+1=0 (2)2x2-9x+8=0 (3)x2-2x=2x-4
(4)(3x+2)2=(5-2x)2 (5)(x+3)2+3(x+3)-4=0 (6)5x2-3x=x+1
【提高训练】
☆1. 三角形两边长分别为8和6，第三边的长是一元二次方程x2-16x+60=0的一个实数根，则该三角形的面积是（ ）
A. 24 B. 24或 C. 48 D.
☆2．关于x的方程（m﹣2）x2﹣2x+1=0有实数解，那么m的取值范围是（ ）
A．m≠2 B．m≤3 C．m≥3 D．m≤3且m≠2
☆3．已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．
（1）如果x=﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由．
【培优训练】
☆☆1. 若x2+3xy﹣2y2=0，那么= .
☆☆2．已知实数x满足，求的值．
第二章 一元二次方程（第一周 强化训练1）
一、选择题
1．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A、 B、 C、 D、
2．关于x的一元二次方程（a2﹣1）x2+x﹣2=0是一元二次方程，则a满足（ ）
A．a≠1 B．a≠﹣1 C．a≠±1 D．为任意实数优网版权所有
3. 用配方法解方程应该先变形为（ ）
A. B. C. D.
4. 方程(x+1)(x﹣3)=5的解是( )
A. x1=1，x2=﹣3 B. x1=4，x2=﹣2 C. x1=﹣1，x2=3 D. x1=﹣4，x2=2
5. 若关于x的一元二次方程x2﹣2x+kb+1=0有两个不相等的实数根，则一次函数y=kx+b的大致图象可能是( )
A. B. C. D.
6．三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程x2﹣6x+8=0的一个根，则这个三角形的周长是（）
A．9 B．11 C．13 D．11或13
7.若关于x的一元二次方程k2x2﹣（2k+1）x+1=0的两个实数根，则k的取值范围为（ ）
A． B． C． 且k≠0 D．且k≠0
二、填空题
8．将代数式x2+6x﹣3化为（x+p）2+q的形式是 。
9. 若代数式x2﹣8x+12的值是21，则x的值是 .
10．关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+3=0有实数根，则整数a的最大值是
11. 菱形的两条对角线是一元二次方程2x2-15x+16=0的两根，则该菱形的面积是 。
三、解答题
12. 解下列方程
（1）x2-2x=0; （2）x(2x+3)-2x-3=0;
（3）3（x-2）=5x（2-x）; （4）（5x-1）2=2
13. 已知关于x的一元二次方程(m-2)x2+2mx+m+3=0 有两个不相等的实数根. (1)求m的取值范围；(2)当m取满足条件的最大整数时，求方程的根.
【提高训练】
☆1．等腰△ABC的三边分别为a、b、c，其中a=5，若关于x的方程x2+（b+2）x+6﹣b=0有两个相等的实数根，则△ABC的周长是（ ）
A．9 B．12 C．9或12 D．不能确定
☆2．现定义运算“★”，对于任意实数a、b，都有a★b=a2﹣3a+b，如：3★5=32﹣3×3+5，若x★2=6，则实数x的值是 ．
☆3. 若关于x的方程2x(mx﹣4)=x2﹣6没有实数根，则m所取的最小整数是 。
【培优训练】
☆☆1. 已知（x2+y2）2-（x2+y2）-12=0，则（x2+y2）的值是（ ）
A．-3 B．4 C．-3或4 D．3或-4
☆☆2. 对于任意实数x， 多项式的值是一个（ ）
A. 正数 B. 负数 C. 非负数 D. 非正数
☆☆3. 已知关于x的一元二次方程x2-（2k+1）x+k2+k=0．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）若△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根．第三边BC的长为5，当△ABC是等腰三角形时，求k的值．
【附加题】
1. 若关于x的一元二次方程的常数项为0， 则的值为（ ）
A. B. -2 C. 2 D. 4
2. 用配方法解下列方程时，配方有错误的是（ ）
A. 化为 B．化为
C．化为 D．化为
3. 方程x2+4x=2的正根为（ ）
A. B. C. D.
4. 若， 则= .
5. 若， 则= .
☆6. 如果一个三角形的三边均满足方程x2-10x+25=0，则此三角形的面积是 .
☆☆7求证：不论a取何值，2a2-a+1的值总是一个正数．
九(上) 第二章 一元二次方程 （第一周周末教案 课时1）
第一节 认识一元二次方程
【知识梳理】
知识点一、 一元二次方程的定义
1. 方程：含有 未知数 的等式叫做方程；
一元一次方程：在一个整式方程（即分母中不含字母）中， 含有 一 个未知数，并且未知数的次数是 1 ， 这样的方程叫做一元一次方程.
一元二次方程：只含有 一 个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的 整式 方程叫做一元二次方程。
①该方程是一个整式方程；
一元二次方程的定义要把握三点 ②只含有一个未知数；
③化简之后，未知数的最高次数是2.
2. 一元二次方程的一般形式：（为常数，），其中ax2，bx2，c分别称为二次项、一次项和常数项，a，b分别称为二次项系数和一次项系数。
【例1】下列方程是一元二次方程的是( )
A. 3x2+=0 B. 2x﹣3y+1=0 C. (x﹣3)(x﹣2)=x2 D. (3x﹣1)(3x+1)=3
【例2】下列方程中，一元二次方程共有( )个. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
①x2﹣2x﹣1=0；②ax2+bx+c=0；③+3x﹣5=0；④﹣x2=0；⑤(x﹣1)2+y2=2；⑥(x﹣1)(x﹣3)=x2.
知识点二、 一元二次方程解的估算
1. 方程的解：使方程左右两边的值相等的 未知数的值 叫做方程的解.
解一元一次方程的一般步骤： 去分母 、 去括号 、 移项 、 合并同类项 、 系数化为1 .
一元二次方程的解： 一元二次方程的解(根)的意义：能使一元二次方程左右两边 相等的未知数的值 是一元二次方程的解.
【例3】已知x=﹣1是方程x2+mx+1=0的一个实数根，则m的值是( )A. 0 B. 1 C. 2 D. ﹣2
【例4】若方程ax2+bx+c=0(a≠0)满足a+b+c=0，则方程必有一根为( )A. 0 B. 1 C. ﹣1 D. ±1
2. 一元二次方程解的估算：依据代数式的值的求法，当某一x取值使得这个方程中的的值无限接近于0时，x的值即可看做一元一次方程的解.
点拨：①估算一元二次方程的解， 只是估算“解”的取值范围，比如在哪两个数之间；②当相邻的两个数， 一个使 ， 一个使 ，则一元二次方程的解就介于这两个数之间.认真观察代数式的特点和取值走向， 就能很快找到这样相邻的两个数.
【例5】 观察下列表格，一元二次方程x2-x-1.1=0最精确的一个近似解是（ ）A. 0.09 B. 1.1 C. 1.6 D. 1.7
知识点三、根据问题情境列一元二次方程
1. 列一元二次方程解实际问题：列方程最重要的是审题，只有透彻理解题意，才能恰当地 设出未知数 ，准确找出已知量与未知量之间的等量关系，正确地列出方程。列一元二次方程解应用题的一般步骤是：（1）审；（2）设；（3）列；（4）解；（5）验；（6）答。
注意：列一元二次方程解决实际问题时， 一定要检验， 看方程的解是否符合题意.
【例6】 如图所示，将一个边长为5的正方形两边减去宽为x的矩形，剩余部分的面积为16，可列出方程为 .
（例6）
第二节 用配方法求解一元二次方程
知识点四、用直接开平方法解一元二次方程
1. 完全平方公式：两数和（或差）的平方， 等于这两个数的平方和加上（或减去）它们乘积的两倍. 字母表述为： ； .
2. 平方根的意义：如果一个数的平方等于， 即， 那么这个数就叫做的平方根.一个正数的平方根有 两个 ， 它们 互为相反数 ， 零的平方根是 零 ， 负数 没有平方根 .
3. 直接开平方法解一元二次方程：形如的一元二次方程可利用平方根的定义用开平方的方法直接求解，这种解方程的方法叫直接开平方法。适合用直接开平方法解一元二次方程的三种类型：(1)(m≥0)；(2)(n≥0)；(3)(ab≥0且a≠0)。
点拨：直接开平方法解方程一般步骤：①把方程化成有一边是含有未知数的完全平方的形式，另一边是非负数的形式，即化成的形式.②直接开平方，得，.
【例7】方程(x﹣1)2=2的根是( )A. ﹣1，3 B. 1，﹣3 C. ， D. ，
知识点五、用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程
1. 配方法的步骤：①化二次项系数为1；②移项，使方程左边的二次项和一次项，右边为常数项；③要在方程两边各加上 一次项系数一半的平方 （注：一次项系数是带符号的）；④方程变形为的形式；⑤如果右边是非负数，就用直接开平方法解这个一元二次方程；如果右边是一个负数，则方程在实数范围内无解。
【例8】用配方法解方程(1)x2+4x﹣5=0. (2)2x2-1=x
【例9】多项式x2-6x+8的最小值为( )A. 8 B. 0 C. -1 D. -6
【习题精练】
1．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．x2+2x﹣y=3 B． C．（3x2﹣1）2﹣3=0 D．x2﹣8=x
2．关于x的一元二次方程（a﹣2）x2+x+a2﹣4=0的一个根是0，则a的值为（ ）
A．2 B．﹣2 C．2或﹣2 D．0菁
3．方程（x﹣2）2+4=0的解是（ ）
A．x1=x2=0 B．x1=2，x2=﹣2 C．x1=0，x2=4 D．没有实数根
4．用配方法解下列方程时，配方正确的是（ ）
A．方程x2﹣6x﹣5=0，可化为（x﹣3）2=4 B．方程y2﹣2y﹣2015=0，可化为（y﹣1）2=2015
C．方程a2+8a+9=0，可化为（a+4）2=25 D．方程2x2﹣6x﹣7=0，可化为
5．把方程2x2-6x-5=0化为（x+m）2=k的形式，则m ，k= 。
6．根据下表判断方程2x2+3x-5=0的正数解范围是 。
7．两个数的和为15，积为56，若设其中一个数为x，则可列方程为 。
8．解下列方程：
（1） （2）
（3） （4）
【提高训练】
☆1. 代数式x2﹣4x+5的最小值是 。
☆2. 若关于x的一元二次方程(m﹣1)x2+5x+m2﹣3m+2=0的一个根是0，则m的值是 .
【培优训练】
☆☆1．已知a是方程x2+x﹣2015=0的一个根，求的值。
☆☆2. 已知a，b，c是△ABC的三边，且满足a2+b2+c2-ab-bc-ca=0，试判断△ABC的形状。
九(上) 第二章 一元二次方程 （第一周周末教案 课时2）
第三节 用公式法求解一元二次方程
【知识梳理】
知识点一、用公式法解一元二次方程
1. 一元二次方程的一般形式：我们把（为常数,）称为一元二次方程的一般形式, 其中分别称为二次项、一次项和常数项,分别称为二次项系数和一次项系数.
2. 一般地, 对于一元二次方程（为常数,）, 当时, 它的根是：, 这个式子称为一元二次方程的求根公式.
知识点二、根的判别式的应用
1. 一元二次方程（）的根的情况可以由 来判定, 把 叫做一元二次方程（）的 根的判别式 ,通常由希腊字母“”来表示：①若 ,则方程有两个不相等的实数根；②若 ,则方程有两个相等的实数根；③若 ,则方程无实数根.
点拨：用求根公式求一元二次方程的解的方法,是解一元二次方程的万能公式。
步骤：①必须把一元二次方程化成一般式（）,以明确a、b、c的值；
②用的符号确定原方程是否有实数根；当时,把a、b、c的值代入公式求根；当时, 则方程没有实数根。
【例1】用公式法求解下列方程：(1) -x2-2x=2x+1； (2) x2-5=2(x+1)； (3)3x2-x+9=0.
【例2】一元二次方程2x2-3x+1=0的根的情况是( )
A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根
【例3】一元二次方程(1-k)x2-2x-1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 。
第四节 用因式分解法求解一元二次方程
知识点三、用因式分解法求解一元二次方程
1. 因式分解的概念：把一个 多项式 化成几个整式的 积 的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解.
2. 因式分解的方法：
（1）提公因式法：如果一个多项式的各项含有公因式, 那么就可以把这个公因式提出来, 从而将多项式化成两个因式乘积的形式, 这种因式分解的方法叫做提公因式法.
（2）运用公式法：平方差公式为= ；完全平方公式为 ,或 。
（3）十字相乘法：①先把一元二次方程化成一般式（）；②十字左边相乘等于 二次项系数 ，右边相乘等于 常数项 ，③交叉相乘再相加等于 一次项系数 ；④分解完成后，带上各项的系数横向写出分解的两个因式。四字诀“ 先拆再凑 ”（拆二次项、常数项，凑一次项）。
3. 分解因式法：分解因式法的理论依据是：若ab=0，则 a=0 或 b=0 。当一元二次方程的一边为0，而另一边易于分解成 两个因式的乘积 时，令每个因式分别为0，得到 两个一元一次方程 ，分别解之，得到的解就是原方程的解，这种解方程的方法称为分解因式法。
一般步骤：①先移项,将方程的右边化为零；②将方程左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零,得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程,它们的解就是原方程的解.
【例4】用因式分解法求下列方程：(1)x2+2x-3=0； (2)x2+3=3(x+1)； (3)2x2+3x=-1；
4. 选择适当方法解一元二次方程： 在解一元二次方程时，先特殊，再一般，即先考虑能否用开平方法和分解因式法，再考虑公式法或配方法。若无特殊说明，一般不使用配方法，但若二次项系数为1，一次项系数为偶数时，选择配方法也可。
【例5】用指定的方法解下列方程:(1)2x2-4x-1=0(用公式法) (2)(x-2)2=3(2-x) (因式分解法)
⑶2y2－3y－2＝0;(配方法) (4)x2+2x-15=0(十字相乘) (5)3x2+35x+50=0(十字相乘)
☆补充： 用整体换元的思想求解一元二次方程(了解)
(1)解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法. (2)我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现.
☆【例6】解下列方程(1)(x+1)2=6x+6. (2)(x-2)2-4(x-2)+3=0.
【习题精练】
1. 用公式法解方程6x﹣8=5x2时，a、b、c的值分别是( )
A. 5、6、﹣8 B. 5、﹣6、﹣8 C. 5、﹣6、8 D. 6、5、﹣8
2. 已知一元二次方程的两根分别为x1=3，x2=-4，则这个方程可能为（ ）
A. (x-3)（x+4）=0 B. （x+3）（x-4）=0 C. （x+3）（x+4）=0 D. (x-3)(x-4)=0
3. 方程x2﹣x﹣1=0的一个根是( )A. 1﹣ B. C. ﹣1+ D.
4. 关于x的方程x(x+6)=16解为( )A. x1=2，x2=2 B. x1=8，x2=﹣4 C. x1=﹣8，x2=2 D. x1=8，x2=﹣2
5. 方程x2﹣3x﹣5=0的根的情况是( )
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定是否有实数根
6. 一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2-7x+10=0的两根，则该等腰三角形的周长是( )
A. 12 B. 9 C. 13 D. 12或9
7. 方程x2﹣4x﹣12=0的解是 .
8.若一元二次方程（k﹣1）x2﹣4x﹣5=0有两不相等实数根，则k的取值范围是 ．
9. 用恰当的方法解下列方程：
(1)2x2-5x+1=0 (2)2x2-9x+8=0 (3)x2-2x=2x-4
(4)(3x+2)2=(5-2x)2 (5)(x+3)2+3(x+3)-4=0 (6)5x2-3x=x+1
【提高训练】
☆1. 三角形两边长分别为8和6，第三边的长是一元二次方程x2-16x+60=0的一个实数根，则该三角形的面积是（ ）
A. 24 B. 24或 C. 48 D.
☆2．关于x的方程（m﹣2）x2﹣2x+1=0有实数解，那么m的取值范围是（ ）
A．m≠2 B．m≤3 C．m≥3 D．m≤3且m≠2
☆3．已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．
（1）如果x=﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由．
【培优训练】
☆☆1. 若x2+3xy﹣2y2=0，那么= .
☆☆2．已知实数x满足，求的值．
第二章 一元二次方程（第一周 强化训练1）
一、选择题
1．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A、 B、 C、 D、
2．关于x的一元二次方程（a2﹣1）x2+x﹣2=0是一元二次方程，则a满足（ ）
A．a≠1 B．a≠﹣1 C．a≠±1 D．为任意实数优网版权所有
3. 用配方法解方程应该先变形为（ ）
A. B. C. D.
4. 方程(x+1)(x﹣3)=5的解是( )
A. x1=1，x2=﹣3 B. x1=4，x2=﹣2 C. x1=﹣1，x2=3 D. x1=﹣4，x2=2
5. 若关于x的一元二次方程x2﹣2x+kb+1=0有两个不相等的实数根，则一次函数y=kx+b的大致图象可能是( )
A. B. C. D.
6．三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程x2﹣6x+8=0的一个根，则这个三角形的周长是（）
A．9 B．11 C．13 D．11或13
7.若关于x的一元二次方程k2x2﹣（2k+1）x+1=0的两个实数根，则k的取值范围为（ ）
A． B． C． 且k≠0 D．且k≠0
二、填空题
8．将代数式x2+6x﹣3化为（x+p）2+q的形式是 。
9. 若代数式x2﹣8x+12的值是21，则x的值是 .
10．关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+3=0有实数根，则整数a的最大值是
11. 菱形的两条对角线是一元二次方程2x2-15x+16=0的两根，则该菱形的面积是 。
三、解答题
12. 解下列方程
（1）x2-2x=0; （2）x(2x+3)-2x-3=0;
（3）3（x-2）=5x（2-x）; （4）（5x-1）2=2
13. 已知关于x的一元二次方程(m-2)x2+2mx+m+3=0 有两个不相等的实数根. (1)求m的取值范围；(2)当m取满足条件的最大整数时，求方程的根.
【提高训练】
☆1．等腰△ABC的三边分别为a、b、c，其中a=5，若关于x的方程x2+（b+2）x+6﹣b=0有两个相等的实数根，则△ABC的周长是（ ）
A．9 B．12 C．9或12 D．不能确定
☆2．现定义运算“★”，对于任意实数a、b，都有a★b=a2﹣3a+b，如：3★5=32﹣3×3+5，若x★2=6，则实数x的值是 ．
☆3. 若关于x的方程2x(mx﹣4)=x2﹣6没有实数根，则m所取的最小整数是 。
【培优训练】
☆☆1. 已知（x2+y2）2-（x2+y2）-12=0，则（x2+y2）的值是（ ）
A．-3 B．4 C．-3或4 D．3或-4
☆☆2. 对于任意实数x， 多项式的值是一个（ ）
A. 正数 B. 负数 C. 非负数 D. 非正数
☆☆3. 已知关于x的一元二次方程x2-（2k+1）x+k2+k=0．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）若△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根．第三边BC的长为5，当△ABC是等腰三角形时，求k的值．
【附加题】
1. 若关于x的一元二次方程的常数项为0， 则的值为（ ）
A. B. -2 C. 2 D. 4
2. 用配方法解下列方程时，配方有错误的是（ ）
A. 化为 B．化为
C．化为 D．化为
3. 方程x2+4x=2的正根为（ ）
A. B. C. D.
4. 若， 则= .
5. 若， 则= .
☆6. 如果一个三角形的三边均满足方程x2-10x+25=0，则此三角形的面积是 .
☆☆7求证：不论a取何值，2a2-a+1的值总是一个正数．
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