【核心素养目标】2.2《配方法解一元二次方程》课件+教案
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2.2 配方法解一元二次方程
教学目标
1.经历配方法解一元二次方程的过程,获得解二元一次方程的基本技能.2.经历用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程的过程,体会其中的化归思想.3.能利用一元二次方程解决有关的实际问题,能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性,进一步培养分析问题、解决问题的意识和能力.
复习导入
1、如果一个数的平方等于9,则这个数是 , 若一个数的平方等于7,则这个数是 。 一个正数有几个平方根,它们具有怎样的关系? 2、用字母表示因式分解的完全平方公式。
±3
一个正数有两个平方根,它们互为相反数
新知讲解
在上一节的问题中,梯子底端滑动的距离x(m)满足方程x2+12x-15=0.我们已经求出了x的近似值,你能设法求出它的精确值吗?
新知讲解
你会解下列一元二次方程吗? 1.x2=5 2. 2x2+3=5 3.x2+2x+1=5 4.(x+6)2+72=102
(2)方程可化为x2=1,所以x1=1 , x2=-1.
观察这些方程都有什么特点?
新知讲解
等号一边是或者是可以化为完全平方式的形式,另一边是一个非负常数的形式.
对于这种类型的一元二次方程可以运用直接开平方法求解.
方程的特点
左边是完全平方式
右边是非负数
方程的形式: x2 = a (a≥0) 或 (mx+n) 2 = a (a≥0)
新知讲解
怎样解方程x2+12x-15=0?
怎样将这个方程化成上述方程的形式?
x2+12x-15=0
(x+m)2=n(n ≥0)
新知讲解
方位角和距离
将一次项12x改写成2·x·6,得x2+2·x·6=15
由此可以看出,为使左边成为完全平方式,只需在方程两边都加上62
即:x2+2·x·6+62=15+62, (x+6)2=51
x2+12x-15=0?
新知讲解
注意:解一元二次方程的思路是将方程转化为(x+m)2=n的形式,它的一边是一个完全平方式,另一边是一个常数,当n≥0时,两边同时开平方,转化为一元一次方程,便可求出它的根.
做一做
(1)x2 +12x + _____ = ( x + 6 )2 ;(2)x2 - 4x + _____ = ( x - ____ )2 ;(3)x2 + 8 x + ____ = ( x + ____ )2 .
36
4
2
4
上面等式的左边常数项和一次项系数有什么关系?
16
等式左边常数项是一次项系数的一半的平方.
对于形如 x2+ax 的式子如何配成完全平方式?
典例精析
例1、解方程x2+8x-9=0
解:移项,得x2+8x=9,
配方,得x2+8x+16=9+16,即 (x+4)2=25.
两边开平方,得x+4=±5,即 x+4=5 或 x+4=-5.∴x1=1,x2=-9.
我们通过配成完全平方式的方法得到了一元二次方程的根,这种解一元二次方程的方法称为配方法。
归纳总结
利用配方法解一元二次方程的步骤:
(1)移项:把常数项移到方程的右边;(2)配方:方程两边都加上一次项系数一半的平方;(3)变形:方程左边写成完全平方式,右边合并同类项;(4)开方:根据平方根的概念,将一元二次方程转化为两个一元一次方程;(5)求解:解一元一次方程;(6)定解:写出原方程的解.
新知讲解
观察下面两个一元二次方程的联系和区别: ① x2+8x-9=0; ② 3x2 +8x -3 = 0.
想一想怎么来解3x2 +8x -3 = 0.
典例精析
例2、解方程3x2+8x-3=0
在使用配方法过程中若二次项的系数不为1时,需要将二次项系数化为1后,再根据配方法步骤进行求解.
做一做
一个小球从地面以15m/s的初速度竖直向上弹出,它在空中的高度h (m)与时间 t (s)满足关系:h=15t - 5t2. 小球何时能达到10m高?
解:将 h = 10代入方程式中,得15t - 5t2 =10
两边同时除以-5,得 t2 - 3t = -2
所以在1s或2s时,小球可达10m高.
课堂练习
1. 用直接开平方法解下列一元二次方程,其中无实数根的方程为( )x2-1=0 B. x2=0 C. x2+4=0 D. -x2+3=02.一元二次方程x2-6x-6=0配方后化为( )A. (x-3)2=15 B. (x-3)2=3C. (x+3)2=15 D. (x+3)2=3
C
A
课堂练习
3. 若将方程x2+6x=7化为(x+m)2=16,则m= .
3
4.补全解方程2x2-4x-6=0的过程.移项,得____________________,二次项系数化为1,得____________________,配方,得____________________,整理,得____________________,开平方,得____________________,解得x1=________,x2=________.
2x2-4x=6
x2-2x=3
x2-2x+12=3+12
(x-1)2=4
x-1=±2
3
-1
课堂练习
课堂练习
(4)移项,得(1+x)2+2(1+x)=3.配方,得(1+x)2+2(1+x)+12=3+12.∴(1+x+1)2=4. ∴ x1=0,x2=-4.
巧将1+x看作整体进行配方,可达到简化的效果.
课堂练习
x=2,y=-3,z=2
课堂总结
配方法
方法
步骤
应用
求代数式的最值或证明
板书设计
一、配方法定义二、直接开平方法三、配方法解二元一次方程的步骤
课题:2.2 用配方法解二元一次方程
作业布置
教材第40页习题2.4 第1、2、3题
课程结束
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