北师大版九年级上册数学：第4周末教案+强化（学生版）

九(上) 第一章 特殊的平行四边形 （第四周周末教案 课时7）

第一节 菱形

【知识梳理】

相关知识链接：多边形及平行四边形

知识点一、菱形

【例1】如图，菱形ABCD的两条对角线相交于点O，若AC=6，BD=4，则菱形ABCD的周长是(    )

A. 24          B. 16       C.        D.

(例1)(例2)(例3)(例5)

【例2】如图，菱形ABCD的边长为4，∠ABC=60°，点E、F分别为AO、AB的中点，则EF的长度为(    )

A. 4         B. 3      C.        D.

【例3】如图，四边形ABCD是菱形，AC=8，DB=6，DH⊥AB于H，则DH等于(     )

A.      B.       C. 5        D. 4

【例4】已知一个菱形的周长是20cm，两条对角线的比是4：3，则这个菱形的面积是(     )

A. 12cm2  B. 96cm2  C. 48cm2  D. 24cm2

【例5】如图，在△ABC中，点D是BC的中点，点E、F分别在线段AD及其延长线上，且DE=DF. 下列条件使四边形BECF为菱形的是(    )A. BE⊥CE                            B. BF∥CE                            C. BE=CF                            D. AB=AC

第二节 矩形

知识点二、矩形

【例6】如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，已知下列6个条件：①AB∥DC；②AB=DC；③AC=BD；④∠ABC=90°；⑤OA=OC；⑥OB=OD．则不能使四边形ABCD成为矩形的是(      )A．①②③        B．②③④        C．②⑤⑥        D．④⑤⑥

(例6)(例7)

【例7】如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，对角线AC的垂直平分线分别交AD、AC于点E、O，连接CE，则CE的长为(     )

A．3                          B．3.5                          C．2.5                     D．2.8

【例8】. 如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的B′处，若AE=2，DE=6，∠EFB=60°，则矩形ABCD的面积是        .

(例8)

【习题精练】

1．下列说法正确的是（   ）

A．对角线互相垂直的四边形是菱形                 B．矩形的对角线互相垂直

C．一组对边平行的四边形是平行四边形             D．四边相等的四边形是菱形

2. 矩形具有而菱形不具有的性质是(     )

A．两组对边分别平行             B．对角线相等              C．对角线互相平分           D．两组对角分别相等

3. 如图，在△ABC中，点E，D，F分别在边AB，BC，CA上，且DE∥CA，DF∥BA．下列四个判断中，不正确的是(     )

A. 四边形AEDF是平行四边形                          B．如果∠BAC=90°，那么四边形AEDF是矩形

C．如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形        D．如果AD⊥BC，那么四边形AEDF是菱形

(3题)  (4题)(5题)(7题)

4．如图，在菱形ABCD中，∠BAD=100°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，E为垂足，连结DF，则∠CDF等于（    ）

A．60°                      B．50°                   C．30°                     D．20°

5. 如图，四边形ABCD和四边形AEFC是两个矩形，点B在EF边上，若矩形ABCD和矩形AEFC的面积分别是S1、S2的大小关系是(     )  A．S1＞S2                   B．S1=S2                        C．S1＜S2                    D．3S1=2S2

6. 菱形的两条对角线长为6和8,则菱形的边长为        ,面积为         .

7．如图，菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，且AC=8，BD=6，则菱形ABCD的高DH=      ．

8. 如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于O,过点O作直线EF⊥BD,分别交AD、BC于点E和点F,求证:四边形BEDF是菱形

（8题）

【提高训练】

☆9.如图，点O是矩形ABCD的中心，E是AB上的点沿CE折叠后，点B恰好与点O重合，若BC=6，则折痕CE的长为        。

（9题）(10题)

☆10．矩形ABCD中，AB=2，AD=1，点M在边CD上，若AM平分∠DMB，则DM的长是（    ）

A．                       B．                        C．                     D．

☆11 如图．在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,AE平分∠BAC,分别于BC、CD交于E、F,EH⊥AB于H．连接FH,求证:四边形CFHE是菱形．

(11题)

【培优训练】

☆☆12.如图所示,已知菱形ABCD的两条对角线分别为6和8,M,N分别是边BC,CD的中点,P是对角线BD上的一点,则PM+PN的最小值等于          .

(12题)

☆☆13.如图，在菱形ABCD中，F为对角线BD上一点，点E为AB延长线上一点，DF=BE，CE=CF．求证：

（1）△CFD≌△CEB；（2）∠CFE=60°．

(13题)

九(上) 第一章 特殊的平行四边形 （第四周周末教案 课时8）

第三节   正方形

【知识梳理】

知识点一、正方形的性质和判定

知识点二、中点四边形——看对角线的性质。

中点四边形的定义：顺次连接任意四边形各边中点所组成的四边形叫做中点四边形。

点拨：根据中位线的性质定理，我们可以知道中点四边形的一组邻边分别平行于原四边形的对角线，且等于对角线长的一半。所以对角线是一个“跳板”，新四边形只与原四边形的对角线有关，不用考虑原四边形的形状。也就是说中点四边形的形状取决于原四边形两条对角线的位置关系和数量关系。比如：当原四边形对角线相等时，新四边形的邻边相等；当原四边形对角线垂直，则新四边形的邻边垂直，常见的中点四边形可以归纳如下：

任意四边形：依次连接任意四边形的中点，得到平行四边形；

对角线垂直的四边形：依次连接菱形四边的中点，得到矩形；

对角线相等的四边形：依次连接矩形四边的中点，得到菱形；

对角线既垂直又相等的四边形：依次连接正方形四边的中点，得到正方形。

【例1】. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE=BF，添加一个条件，仍不能证明四边形BECF为正方形的是(      )A．BC=AC           B．CF⊥BF           C．BD=DF           D．AC=BF

(例1)(例3)

【例2】在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的条件是(     )

A．AC=BD，AB∥CD，AB=CD                       B．AD∥BC，∠A=∠C

C．AO=BO=CO=DO，AC⊥BD                        D．AO=CO，BO=DO，AB=BC

【例3】如图，ABCD是正方形，G是BC上(除端点外)的任意一点，DE⊥AG于点E，BF∥DE，交AG于点F．下列结论不一定成立的是(     )

A．△AED≌△BFA          B．DE-BF=EF          C．∠FBG=∠ADE          D．DE-BG=FG

【例4】顺次连接任意一个四边形、矩形、菱形、等腰梯形的四边中点，所得四边形依次是         、         、         、          .

【例5】 如图，AB是CD的垂直平分线，交CD于点M，过点M作ME⊥A C，MF⊥AD，垂足分别为E、F．

（1）求证：∠CAB=∠DAB；

（2）若∠CAD=90°，求证：四边形AEMF是正方形

（例5）

【例6】如图，在△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的角平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．（1）求证：EO=FO；（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论．

（例6）

【习题精练】

1. 正方形具有而菱形不一定具有的性质是（    ）

A. 四条边都相等       B. 对角线互相平分       C. 对角线相等       D. 对角线互相垂直

2. 在四边形ABCD中,O是对角线的交点,能判定这个四边形就是正方形的条件是（    ）

A. AC=BD,AB∥CD,AB=CD           B. AD∥BC,∠A=∠C         C. AO=BO=CO=DO,AC⊥BD        D. AO=CO,BO=DO,AB=BC

3. 如图,正方形ABCD的对角线AC上一点E,AF⊥BE于F,交BD于G,则下述结论中不成立的是（    ）

A. AG=BE                        B. △ABG≌△BCE           C. AE=DG                     D. ∠AGD=∠DAG

（3题）（4题）(5题)(7题)

4. 如图，平移△ABC到△BDE的位置，且点D在边AB的延长线上，连接EC，CD，若AB=BC，那么在以下四个结论：①四边形ABEC是平行四边形；②四边形BDEC是菱形；③AC⊥DC；④DC平分∠BDE，正确的有（    ）

A．1个                        B．2个                      C．3个                       D．4个

5. 如图，在正方形ABCD的外侧作等边△DCE，则∠CBE的度数为        .

6. 正方形的边长为,则对角线长为        ；若对角线长为1,则正方形的边长为       .

7. 如图所示，直线a经过正方形ABCD的顶点A，分别过正方形的顶点B、D作BF⊥a于点F，DE⊥a于点E，若DE=8，BF=5，则EF的长为        .

8. 如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF．
若AB⊥AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．

(8题)

【提高训练】

☆9. 在正方形ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，过O作OE⊥OF，分别交AB、BC于E、F，若AE=4，CF=3，则EF的长为(    )

A．7                         B．3                        C．4                        D．5

(9题) (10题)(11题)（12题）

☆10. 已知矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E，∠DAE：∠BAE=3：1，则∠EAC=        ．

☆11.如图，在正方形ABCD中，AC为对角线，点E在AB边上，EF⊥AC于点F，连接EC，AF=3，△EFC的周长为12，则EC的长为        。

【培优训练】

☆12. 如图，正方形ABCD的边长为4，将一个足够大的直角三角板的直角顶点放于点A处，该三角板的两条直角边与CD交于点F，与CB延长线交于点E，四边形AECF的面积是(    )A.8       B.12       C.16       D.20

☆☆13．如图，点P是矩形ABCD的边AD上的一动点，矩形的两条边AB、BC的长分别是6和8，则点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是__________

(13题)               

☆☆14. 如图， 在正方形ABCD中， E是AB上一点， F是AD延长线上一点， 且DF=BE。⑴ 求证；CE=CF;⑵ 若点G在AD上， 且∠GCE=45°, 则GE=BE+GD成立吗？为什么？

（14题）

九（上）第一章 特殊的平行四边形（第四周 强化训练4）

【习题精练】

1. 如图，AD是△ABC的角平分线，将△ABC折叠使点A落在点D处，折痕为EF，则四边形AEDF一定是（    ）

A．矩形                     B．菱形                        C．正方形                     D．平行四边形

(1题)(4题)(5题)(6题)(7题)

2. 下列命题中正确的是（    ）

A. 两条对角线相等的菱形是正方形                     B. 对角线与一边的夹角是45°的四边形是正方形

C. 两邻角相等,且有一角是直角的四边形是正方形        D. 对角线相等且互相垂直的四边形是正方形

3. 在□ABCD中， 对角线AC和BD相交于点O， 则下面条件能判定□ABCD是矩形的是（    ）

A. AC=BD         B. AC⊥BD          C. AC=BD且AC⊥BD          D.AB=AD

4. 矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∠AOD=120°，AC=8，则△ABO的周长为(    )

A．16            B．12             C．24              D．20

5. 如图，已知矩形ABCD，R，P分别是DC，BC上的点，E，F分别是AP，RP的中点，当P在BC上从B向C移动，而R不动时，那么下列结论成立的是(     )．

A．线段EF的长逐渐增大  B．线段EF的长逐渐减小    C．线段EF的长不改变        D．无法判断

6.如图，四边形ABCD中，对角线相交于点O，E、F、G、H分别是AD、BD、BC、AC的中点，要使四边形EFGH是菱形，则四边形ABCD需满足的条件是(    )A.AB=AD                            B.AC=BD                            C.AD=BC                            D.AB=CD

7. 如图， 菱形ABCD的两条对角线相交于O, 若AC=6， BD=4， 则菱形ABCD的周长是        。

8. 直角三角形两边的长分别为6和8，则斜边上的中线长为        .

(9题)(11题)

9. 如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在AB，CD上，BF∥DE．若AD＝12 cm，AB＝7 cm，且AE∶EB＝5∶2，则阴影部分EBFD的面积为         .

10. 如果菱形的周长为8.4 cm,相邻两内角之比为5∶1,那么菱形一组对边之间的距离为         。

11. 如图所示，矩形ABCD中，E为AD上一点，EF⊥CE交AB于点F，若DE＝2，矩形的周长为16，且CE＝EF，求AE的长为        ．

12. 如图，□ABCD中，点O是AC与BD的交点，过点O的直线与BA、DC的延长线分别交于点E、F．
（1）求证：△AOE≌△COF；（2）请连接EC、AF，则EF与AC满足什么条件时，四边形AECF是矩形，并说明理由．

（12题）

【提高训练】

☆13. 如图所示，在矩形ABCD中，SΔABP=20,SΔCDQ=35,则四边形PEQF的面积为        .

(13题)(14题)(15题)(16题)(17题)

☆14．如图，在矩形ABCD中（AD＞AB），点E是BC上一点，且DE=DA，AF⊥DE，垂足为点F，在下列结论中，不一定正确的是（    ）A．△AFD≌△DCE                             B．AF=AD                               C．AB=AF                              D．BE=AD﹣DF

☆15. 如图,已知正方形ABCD的边长为1,连接AC,BD,CE平分∠ACD,交BD于点E,则DE=        .

【培优训练】

☆☆16. 如图，已知正方形ABCD的边长为4cm，E为AB上一点，AE=3cm，MN⊥EC，分别交AD、BC于点M、N，则MN的长为        cm.

☆☆17. 如图：点E、F分别是菱形ABCD的边BC、CD上的点，且∠EAF=∠D=60°，∠FAD=45°，则∠CFE=(    )

A.45°                           B.60°                        C.75°                     D.90°

【补充习题】  

1. 如图， 在□ABCD中， 添加下列条件不能判定□ABCD是菱形的是（    ）

A. AB=BC                      B. AC⊥BD                    C. BD平分∠ABC               D. AC=BD

（1题）（2题）（3题）（4题）

2. 如图所示， 在□ABCD中，AC⊥BD, E为AB的中点， 若OE=3， 则□ABCD的周长是        。

3. 如图， 菱形ABCD的周长是16， ∠A=60°， 则对角线BD的长度为         。

4. 已知菱形ABCD的两条对角线分别为6和8， M、N分别是BC， CD的中点， P是对角线BD上的一点， 则PM+PN的最小值=        。

5. 如图,已知□ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,E是BD延长线上的点,且△ACE是等边三角形.（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若∠AED=2∠EAD,求证：四边形ABCD是正方形.

（5题）

☆6. 如图，已知AB=AC，AD=AE，DE=BC，且∠BAD=∠CAE．求证：四边形BCED为矩形．

(6题)