北师大版九年级上册数学：第7周末教案+强化（学生版）

九(上)  第四章  图形的相似  （第7周周末教案 课时13）

第6节 利用相似三角形测高

【知识梳理】

知识点一、利用阳光下的影子测量物体高度：因为太阳光是平行光线, 同一时刻,；

点拨：还可以根据同一时刻两物体高的比与它们对应影长的比相等来求解.

【例1】某一时刻， 身高1.6m的小明在阳光下的影子是0.4m， 同一时刻同一地点， 测得某旗杆的影长是5m， 则该旗杆的高度为        。

☆【例2】 数学兴趣小组想测量一棵树的高度，在阳光下，一名同学测得一根长为1米的竹竿的影长为0.8米．同时另一名同学测量一棵树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上(如图)，其影长为1.2米，落在地面上的影长为2.4米，求树高为多少米？

知识点二、 利用标杆测量旗杆高度步骤：①测量出标杆CD的长度, 测出观测者眼部以下高度EF.②让标杆竖直立于地面, 调整观测者EF的位置, 当旗杆顶部、标杆顶部、观测者的眼睛三者在同一直线上时, 测出观测者距标杆底端的距离FD和距旗杆底部的距离FB. ③根据, 求得AH的长, 再加上EF的长即为旗杆AB的高度.

(1)(2)(3)

注意：利用标杆测量物体的高度是生活中经常采用的方法, 使用这种方法时, 观测者的眼睛、标杆的顶端和物体的顶端必须“三点共线”, 标杆与地面要垂直.

【例3】如图，某测量工作人员与标杆顶端F．电视塔顶端在同一直线上，已知此人眼睛距地面1.6米，标杆为3.2米，且BC=1米，CD=5米，求电视塔的高ED．

【例4】如图，小明用自制的直角三角形纸板DEF测量树AB的高度，测量时，使直角边DF保持水平状态，其延长线交AB于点G；使斜边DE所在的直线经过点A．测得边DF离地面的高度为1m，点D到AB的距离等于7.5m．已知DF=1.5m，EF=0.6m，那么树AB的高度等于        。

知识点三、利用镜子的反射测量旗杆的高度步骤：①在观测者与旗杆之间放一面镜子, 在镜子上做一个标记.②测出观测者眼睛到地面的高度CD.③观测者看着镜子来回移动, 直至看到旗杆顶端在镜子中的像与镜子上的标记重合.此时测出镜子上的标记O到人脚底D的距离OD及镜子上标记O到旗杆底部的距离OB.把测得的数据代入, 即可求得旗杆高度AB.

【例5】 如图；课外活动小组测量学校旗杆的高度．如图，在地面上C处放一小镜子，当镜子离旗杆AB底端6米，小明站在离镜子3米的E处，恰好能看到镜子中旗杆的顶端，测得小明眼睛D离地面1.5米，则旗杆AB的高度约是        .

☆【例6】一天晚上，李明和张龙利用灯光下的影子长来测量一路灯CD的高度．如图，当李明走到点A处时，张龙测得李明直立时身高AM与影子长AE正好相等；接着李明沿AC方向继续向前走，走到点B处时，李明直立时身高BN的影子恰好是线段AB，并测得AB=1.25m，已知李明直立时的身高为1.75m，求路灯的高CD的长．

【习题精练】

1. 如图， 小明站在C处看甲、乙两楼楼顶上的点A、E， 发现A、E、C三点在同一直线上， 点B、D分别在E、A的正下方且D、B、C三点在同一水平直线上， 已知BC=20m， CD=40m， 乙楼高BE=15m， 甲楼AD高为(      )(小明身高忽略不计)

A. 40m                     B. 20m                        C. 15m                         D. 30m

(1题)(2题)(3题)(4题)(5题)

2. 如图，铁路道口的栏杆短臂长1m，长臂长16m．当短臂端点下降0.5m时，长臂端点升高（杆的宽度忽略不计）（     ）

A．4m                     B．6m                        C．8m                         D．12m

3.如图，为估算某河的宽度，在河对岸选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上．若测得BE=20m，CE=10m，CD=20m，则河的宽度AB等于(        )

A.60m                     B.40m                         C.30m                         D.20m

4. 小明在一次军事夏令营活动中， 进行打靶训练，在用枪瞄准目标点B时，要使眼睛O，准星A，目标B在同一条直线上，如图所示，在射击时，小明有轻微的抖动，致使准星A偏离到A′，若OA=0.2米，OB=40米，AA′=0.0015米，则小明射击到的点B′偏离目标点B的长度BB′为         .

5．如图是一位同学设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图．点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，测得AB=2米，BP=3米，PD=12米，那么该古城墙的高度CD是       米．

(6题)(7题)(8题)(10题)

6. 如图，小明从路灯下，向前走了5米，发现自己在地面上的影子长DE是2米．如果小明的身高为1.6米，那么路灯高地面的高度AB是        .

7. 如图，有高为19.5米的一座建筑物B和竖立在A处高13.5米的一块广告牌，小明在距离广告牌56米的C处时，刚好能看到高建筑物的最顶端，若小明的眼睛距地面CE=1.5米，则建筑物与广告牌之间的距离为         .

8. 如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边DE=40cm，EF=20cm，测得边DF离地面的高度AC=1.5m，CD=8m，则树高AB=         .

9. 为了测量校园水平地面上一棵树的高度，数学兴趣小组利用一组标杆、皮尺，设计了如图所示的测量方案．已知测量同眼睛A标杆顶端F树的顶端E同一直线上，此同学眼睛距地面1.6m标杆长为3.3m且BC=1m，CD=4m，求ED的长.

【提高训练】

☆10．阳光通过窗口AB照射到室内，在地面上留下2.7米的亮区DE（如图所示），已知亮区到窗口下的墙角的距离EC=8.7米，窗口高AB=1.8米，则窗口底边离地面的高BC为（     ）

A．4米                     B．3.8米                     C．3.6米                  D．3.4米

(10题)(11题)(12题)

☆11. 在太阳光下，身高为1.6米的小芳在地面上的影长为2米．当他测量教学楼旁的一棵大树影长时，因大树靠近教学楼，有一部分影子在墙上．经测量，地面部分影长为8.5米，墙上影长为1.2米，那么这棵大树高约多少米？

【培优训练】

☆☆12. 如图，为测量学校围墙外直立电线杆AB的高度，小亮在操场上点C处直立高3m的竹竿CD，然后退到点E处，此时恰好看到竹竿顶端D与电线杆顶端B重合；小亮又在点C1处直立高3m的竹竿C1D1，然后退到点E1处，此时恰好看到竹竿顶端D1与电线杆顶端B重合．小亮的眼睛离地面高度EF=1.5m，量得CE=2m，EC1=6m，C1E1=3m．
(1)△FDM∽         , ，△F1D1N∽         .

(2）求电线杆AB的高度．

☆☆13.如图，M为线段AB的中点，AE与BD交于点C，∠DME=∠A=∠B=α，且DM交AC于F，ME交BC于G
(1)求证：△AMF∽△BGM；
(2)连接FG，如果α=45°，AB=, BG=3，求FG的长．

九(上)  第四章  图形的相似  （第7周周末教案 课时14）

                                              第7节 相似三角形的性质

【知识梳理】

知识点一、相似三角形的性质：

①相似三角形的对应角相等,对应边成比例；

②相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比；相似三角形的周长比等于相似比；

③相似三角形的面积比等于相似比的平方.

点拨：相似三角形的面积比是相似比的平方，而等底(或等高)的两个三角形面积之比等于高(或底)的比。注意不要把二者弄混淆。

【例1】两个相似三角形的相似比为2:3， 它们周长的差是25， 那么较大三角形的周长是        .

【例2】如图，在□ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，DE：EC=2：3，则S△DEF：S△ABF=(     )

A.4：5       B.4：9        C.1：3        D.4：25

【例3】已知如图，梯形ABCD中，AB∥CD，△COD与△AOB的周长比为1：2，则CD：AB=        ；S△COB：S△COD=        .

注意：等高的两个三角形面积之比等于底边之比，而相似三角形面积之比等于相似比的平方，二者不要混淆。

【例4】如图，△ABC是一块锐角三角形余料，其中BC=12cm，高AD=8cm，现在要把它裁成一块正方形材料备用，使正方形的一边QM在BC上，其余两个顶点P，N分别在AB，AC上，问这块正方形材料的边长是多少？

知识点二、相似多边形的性质：

①相似多边形的对应角相等，对应边成比例；

②相似多边形的周长比、对应对角线的比等于相似比，面积比等于相似比的平方；

③相似多边形被对角线分成的对应三角形相似，其相似比等于相似多边形的相似比。

【例5】已知平行四边形ABCD与平行四边形A′B′C′D′相似，AB=3，对应边A′B′=4，若平行四边形ABCD的面积为18，则平行四边形A′B′C′D′的面积为         。

【例6】如图，在长为9cm宽6cm的矩形中，截去一个矩形（图中阴影部分所示）使留下的矩形与原矩形相似，那么留下矩形面积为

          。

【习题精练】

1．△ABC中，AB=12，BC=18，CA=24，另一个和它相似的三角形最长的一边是36，则最短的一边是（     ）

A．27            B．12         C．18        D．20

2. 如图， 在ΔABC中， ,M、N分别是边AB，AC的中点， 则ΔAMN的面积与四边形MBCN的面积之比为(      )

A.                           B.                             C.                        D.

(2题)(3题)(5题)(6题)

3. 如图，△ABC∽△A′B′C′，AD、BE分别是△ABC的高和中线，A′D′、B′E′分别是△A′B′C′的高和中线，且AD=4，A′D′=3，BE=6，则B′E′的长为(      )

A.                           B.                             C.                        D.

4．两个相似三角形的对应边分别是15cm和23cm，它们的周长相差40cm，则这两个三角形的周长分别是（    ）

A．75cm，115cm              B．60cm，100cm                   C．85cm，125cm             D．45cm，85cm

5. 如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=∠ACD=90°，AB=2，DC=3，则△ABC与△DCA的面积比为（    ）.

A. 4:9             B. 4:5             C. 5:9             D.5：12

6. 如图所示，某校宣传栏后面2米处种了一排树，每隔2米一棵，共种了6棵，小勇站在距宣传栏中间位置的垂直距离3米处，正好看到两端的树干，其余的4棵均被挡住，那么宣传栏的长为（     ).

A. 6米             B. 8米            C. 8.5米           D. 12米

7. 两个相似五边形，一组对应边的长分别为3cm和4.5cm，如果它们的面积之和是78cm2，则较大的五边形面积是       ．

8. 如图，现要对三角形ABC空地进行绿化，中位线MN把△ABC空地分割成两部分，其中△AMN部分种植红花，四边形BCNM部分种植绿草，已知红花的种植面积是20m2，则绿草的种植面积为        .

(8题)(9题)(10题)(11题)

【提高训练】

☆9. 如图， 边长为4的等边ΔABC中， D、E分别为AB、AC的三等分点，则四边形BCED的面积为(      )

A.                         B.                         C.                     D.

☆10. 如图，在平行四边形ABCD中，点G是BC延长线上一点，AG与BD交于点E，与DC交于点F，如果AB=m，CG=BC，求：(1)DF的长度为        ；(2)三角形ABE与三角形FDE的面积之比为       ．

☆11. 如图，在正方形ABCD中，F是AD的中点，BF与AC交于点G，则△BGC与四边形CGFD的面积之比是        。

【培优训练】

☆☆12. 如图，△ABC中，AB=AC=18，BC=12，正方形DEFG的顶点E，F在△ABC内，顶点D，G分别在AB，AC上，AD=AG，DG=6，则点F到BC的距离为多少？

☆☆13.如图，已知正方形ABCD的边长为3，E、F分别是BC、DC的中点，BF、DE相交于点G，求四边形ABGD的面积

第四章  图形的相似第6-7节（第7周  强化训练7）

【习题精练】

1．两个相似三角形，他们的周长分别是36和12．周长较大的三角形的最大边为15，周长较小的三角形的最小边为3，则周长较大的三角形的面积是（     ）

A．52                       B．54                            C．56                        D．58

2．在同一时刻，身高1.6米的小丽在阳光下的影长为2.5米，一棵大树的影长为5米，则这棵树的高度为（     ）

A．1.5米                     B．2.3米                    C．3.2米                 D．7.8米  (2题)(3题)(4题)(6题)

3．如图，为测量学校旗杆的高度，小东用长为3.2m的竹竿作测量工具，移动竹竿，使竹竿顶端与旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点，此时，竹竿与这一点相距8m，与旗杆相距22m，则旗杆的高为（    ）m．

A．8.8                    B．10                     C．12                       D．14 

4．如图，为了估计河的宽度，在河的对岸选定一个目标点P，在近岸取点Q和S，使点P，Q，S在一条直线上，且直线PS与河垂直，在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，PT与过点Q且与PS垂直的直线b的交点为R．如果QS=60m，ST=120m，QR=80m，则河的宽度PQ为（    ）

A．40m                    B．60m                     C．120m                       D．180m 

5．已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为，则△ABC与△DEF对应中线的比为（     ）

A．                       B．                             C．                     D．

6．为了测量校园水平地面上一棵不可攀的树的高度，学校数学兴趣小组做了如下的探索：根据光的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如下图所示的测量方案：把一面很小的镜子水平放置在离树底8.4米的点E处，然后沿着直线BE后退到点D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A，再用皮尺量得DE=3.2米，观察者目高CD=1.6米，则树的高度约为（    ）

A．4.2米                       B．4.8米                        C．6.4米                     D．16.8米     

7. 如图，路灯(P点)距地面8米，身高1.6米的小明从距路灯的底部(O点)20米的A点，沿OA所在的直线行走14米到B点时，身影的长度变短了        .

(7题)（9题） (10题)(11题)

8. 某三角形三边长分别为cm， cm， cm， 与它相似的另一个三角形的最小边长为4cm， 则这个三角形的面积为       。

9. 如图，在边长为3的菱形ABCD中，点E在边CD上，点F为BE延长线与AD延长线的交点。若DE=1，则DF的长为       。

【提高训练】

10．如图，已知矩形ABCD中，AB=2，在BC上取一点E，沿AE将△ABE向上折叠，使B点落在AD上的F点处，若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD=        。

11. 某高中学校为高一新生设计的学生板凳的正面视图如图所示，其中BA=CD，BC=20cm，BC、EF平行于地面AD且到地面AD的距离分别为40cm、8cm．为使板凳两腿底端A、D之间的距离为50cm，那么横梁EF应为多长？(材质及其厚度等暂忽略不计)．

【培优训练】

☆☆12. 在正方形ABCD中， F是AD的中点， BF与AC交于点G， 已知ΔAGF的面积为S， 则正方形ABCD的面积是        .

(20题)

☆☆13. 如图，两根电线杆相距Lm，分别在高10m的A处和15m的C处用钢索将两杆固定，求钢索AD与钢索BC的交点M离地面的高度MH．

(13题)

【补充习题】

1．如果两个相似三角形对应边之比是1：4，那么它们的对应中线之比是（    ）

A．1：2                       B．1：4                       C．1：8                    D．1：16

2．如图，测得BD=120m，DC=60m，EC=50m，则河宽AB为（     ）

A．120m                   B．100m                    C．75m                     D．25m

(2题)(3题)

3．如图，身高为1.6米的小华站在离路灯灯杆8米处测得影长2米，则灯杆的高度为    米．

4. 已知一个三角形的三边长分别是3,10,14， 与其相似的三角形的最长边是28， 则这个三角形的周长等于       。

5．如图，数学兴趣小组的小颖想测量教学楼前的一棵树的树高，下午课外活动时她测得一根长为1m的竹竿的影长是0.8m，但当她马上测量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图），他先测得留在墙壁上的影高为1.2m，又测得地面的影长为2.6m，请你帮她算一下，树高是（    ）

A．3.25m                        B．4.25m                           C．4.45m                          D．4.75m