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第06讲 一元二次方程及其求解（配方法、公式法、因式分解法）-九年级数学上册同步精品讲义（北师大版）
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第6讲 一元二次方程及其求解（配方法、公式法、因式分解法） 目标导航 知识精讲 知识点01 一元二次方程的有关概念 1．一元二次方程的概念 通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程． 注意：识别一元二次方程必须抓住三个条件 （1）整式方程； （2）含有一个未知数； （3）未知数的最高次数是2.不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程，缺一不可. 2．一元二次方程的一般形式 一般地，任何一个关于x的一元二次方程，都能化成形如，这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中是二次项，是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项． 注意： (1)只有当时，方程才是一元二次方程； (2)在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，指明一元二次方程各项系数时注意不要漏掉前面的性质符号. 3．一元二次方程的解 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根. 4．一元二次方程根的重要结论 （1）若a+b+c=0,则一元二次方程必有一根x=1；反之也成立，即若x=1是一元二次方程的一个根，则a+b+c=0. （2）若a-b+c=0,则一元二次方程必有一根x=-1；反之也成立，即若x=-1是一元二次方程的一个根，则a-b+c=0. （3）若一元二次方程有一个根x=0，则c=0；反之也成立，若c=0，则一元二次方程必有一根为0. 知识点02 一元二次方程的解法 （一）直接开方法解一元二次方程 1．直接开方法解一元二次方程： 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法. 2．直接开平方法的理论依据： 平方根的定义. 3．能用直接开平方法解一元二次方程的类型有两类： ①形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解. 若，则；表示为，有两个不等实数根； 若，则x=O；表示为，有两个相等的实数根； 若，则方程无实数根． ②形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解，两根是 . 注意： 用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的定义，应用时应把方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，就可以直接开平方求这个方程的根. （二）配方法解一元二次方程： 1．配方法解一元二次方程 将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法. 2．配方法解一元二次方程的理论依据是公式：. 3．用配方法解一元二次方程的一般步骤： ①把原方程化为的形式； ②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解. 注意： （1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方； （2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方. （3）配方法的理论依据是完全平方公式． 4．配方法的应用 （1）用于比较大小：在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小. （2）用于求待定字母的值：配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值． （3）用于求最值：“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值． （4）用于证明：“配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用． 注意： “配方法”在初中数学中占有非常重要的地位，是恒等变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等关系的常用技巧，是挖掘题目当中隐含条件的有力工具，同学们一定要把它学好． （三）公式法解一元二次方程 1．一元二次方程的求根公式 一元二次方程，当时，. 2．一元二次方程根的判别式 一元二次方程根的判别式：． ①当时，原方程有两个不等的实数根； ②当时，原方程有两个相等的实数根； ③当时，原方程没有实数根. 3．用公式法解一元二次方程的步骤 用公式法解关于x的一元二次方程的步骤： ①把一元二次方程化为一般形式； ②确定a、b、c的值（要注意符号）； ③求出的值； ④若，则利用公式求出原方程的解； 若，则原方程无实根. 注意： （1）虽然所有的一元二次方程都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选择. （2）一元二次方程，用配方法将其变形为：. ①当时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实根：. ② 当时，右端是零．因此，方程有两个相等的实根：. ③ 当时，右端是负数．因此，方程没有实根. （四）因式分解法解一元二次方程 1．用因式分解法解一元二次方程的步骤 （1）将方程右边化为0； （2）将方程左边分解为两个一次式的积； （3）令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程； （4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解. 2．常用的因式分解法 提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等. 注意： （1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次 因式的积； （2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0； （3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式. 能力拓展 考法01 关于一元二次方程的判定 【典例1】下列方程①x2﹣5x＝2022，②，③，④，一定是关于x的一元二次方程的有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【解析】解：①x2﹣5x＝2022，是一元二次方程； ②，当a=0时不是一元二次方程； ③，是一元二次方程； ④，整理后不含二次项，不是一元二次方程， 所以，一定是关于x的一元二次方程的是①③，共2个， 故选：B 【即学即练】若 是关于x的一元二次方程，则a的值是（ ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【解析】解： 是关于x的一元二次方程， ，解得 ， 故选：A． 考法02 一元二次方程的一般形式、各项系数的确定 【典例2】将方程2x2＝5x－1化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数为2，则一次项系数、常数项分别是（ ） A．－5、1 B．5、1 C．5、－1 D．－5、－1 【答案】A 【解析】 解：2x2＝5x－1化为一元二次方程的一般形式2x2-5x+1=0， 一次项系数、常数项分别是-5，1， 故选：A． 【即学即练】将下列一元二次方程化成一般形式后，其中二次项系数是2，一次项系数是，常数项是3的方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】A. 化为化成一般形式后，其中二次项系数是2，一次项系数是，常数项是3，符合题意； B. 化为化成一般形式后，其中二次项系数是2，一次项系数是，常数项是-3，不符合题意； C. 化为化成一般形式后，其中二次项系数是2，一次项系数是，常数项是-3，不符合题意； D. 化为化成一般形式后，其中二次项系数是2，一次项系数是，常数项是-3，不符合题意； 故选：A 考法03 一元二次方程的解（根） 【典例3】若是关于x的一元二次方程的一个根，则的值为（ ） A．0 B．2 C．4 D．6 【答案】D 【解析】解：∵是关于x的一元二次方程的一个根， ∴4a-2-b=0， ∴4a-b=2， ∴， 故选：D． 【即学即练】若一元二次方程有一个解为，则k为（ ） A． B．1 C． D．0 【答案】C 【解析】把x=0代入方程（k-1）x2+3x+k2-1=0得方程：k2-1=0， 解得k1=1，k2=-1， 而k-1≠0， 所以k=-1． 故选：C． 考法04 用直接开平方法解一元二次方程 【典例4】方程的解为（ ） A．， B． C． D． 【答案】A 【解析】∵， 直接开平方，得 x+1=3或x+1=-3， 解得，， 故选A． 【即学即练】一元二次方程可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是，则另一个一元一次方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：∵（x+1）2=16， ∴x+1=±4， ∴x+1=4或x+1=-4， 故选：D． 考法05 用配方法解一元二次方程 【典例5】用配方法解一元二次方程 x210x＋11＝0，此方程可化为（ ） A．（x－5）2＝14 B．（x＋5）2＝14 C．（x－5）2 ＝36 D．（x＋5）2 ＝36 【答案】A 【解析】x210x＋11＝0， x2-10x=-11， x2-10x+25=-11+25， 即（x-4）2=14， 故选：A． 【即学即练】慧慧将方程2x2+4x﹣7＝0通过配方转化为（x+n）2＝p的形式，则p的值为（ ） A．7 B．8 C．3.5 D．4.5 【答案】D 【解析】解：∵2x2+4x-7=0， ∴2x2+4x=7， ∴x2+2x=， ∴x2+2x+1=+1， ∴（x+1）2=， 则p==4.5， 故选：D． 考法06 配方法在代数中的应用 【典例6】已知三角形的三条边为，且满足，则这个三角形的最大边的取值范围是（ ） A．c＞8 B．5＜c＜8 C．8＜c＜13 D．5＜c＜13 【答案】C 【解析】解：∵a2-10a+b2-16b+89=0， ∴（a2-10a+25）+（b2-16b+64）=0， ∴（a-5）2+（b-8）2=0， ∵（a-5）2≥0，（b-8）2≥0， ∴a-5=0，b-8=0， ∴a=5，b=8． ∵三角形的三条边为a，b，c， ∴b-a＜c＜b+a， ∴3＜c＜13． 又∵这个三角形的最大边为c， ∴8＜c＜13． 故选：C． 【即学即练】已知方程，等号右侧的数字印刷不清楚，若可以将其配方成的形式，则印刷不清楚的数字是（ ） A．6 B．9 C．2 D． 【答案】C 【解析】设印刷不清的数字是a， （x-p）2=7， x2-2px+p2=7， ∴x2-2px=7-p2， ∴x2-2px+4=11-p2， ∵方程x2-6x+4=□，等号右侧的数字印刷不清楚，可以将其配方成（x-p）2=7的形式， ∴-2p=-6，a=11-p2， ∴p=3，a=11-32=2， 即印刷不清的数字是2， 故选：C． 考法07 公式法解一元二次方程 【典例7】已知关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），下列命题是真命题的有（ ） ①若a＋2b＋4c＝0，则方程ax2＋bx＋c＝0必有实数根； ②若b＝3a＋2，c＝2a＋2，则方程ax2＋bx＋c＝0必有两个不相等的实根； ③若c是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根，则一定有ac＋b＋1＝0成立； ④若t是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根，则b2﹣4ac＝（2at＋b）2． A．①② B．②③ C．①④ D．③④ 【答案】C 【解析】解：①∵a+2b+4c=0， ∴a=-2b-4c， ∴方程为（-2b-4c）x2+bx+c=0， ∴Δ=b2-4（-2b-4c）•c=b2+8bc+16c2=（b+4c）2≥0， ∴方程ax2+bx+c=0必有实数根，故①正确． ②∵b=3a+2，c=2a+2， ∴方程为ax2+（3a+2）x+2a+2=0， ∴Δ=（3a+2）2-4a（2a+2）=a2+4a+4=（a+2）2， 当a=-2时，Δ=0，方程有相等的实数根，故②错误， ③当c=0时，c是方程ax2+bx=0的根，但是b+1不一定等于0，故③错误． ④∵t是一元二次方程ax2+bx+c=0的根， ∴t=， ∴2at+b=±， ∴b2-4ac=（2at+b）2，故④正确， 故选：C． 【即学即练】是下列哪个一元二次方程的根（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】A、的解为，不符合题意； B、的解为，不符合题意； C、的解为，符合题意； D、的解为，不符合题意； 故选：C． 考法08 因式分解法解一元二次方程 【典例8】一元二次方程的根是（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【解析】解： ∴或 解得 故选：A． 【即学即练】一个等腰三角形两边的长分别等于一元二次方程的两个实数根，则这个等腰三角形周长为（ ） A．11 B．27 C．5或11 D．21或27 【答案】B 【解析】解：， 解得：或5， 如果11是等腰三角形的底边，5为腰长，此时根据三角形三边关系，不合题意； 如果11是等腰三角形的腰长，5为底边，则三角形的周长为27， 故选：B． 分层提分 题组A 基础过关练 1．把一元二次方程化成一般形式，正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：∵， ∴ ∴方程的一般形式为： 故选A 2．若方程是关于x的一元二次方程，则（ ） A． B．m＝2 C． D． 【答案】B 【解析】解：∵方程是关于x的一元二次方程， ∴ 由①得： 由②得： 解得： 故选B 3．用配方法解方程时，结果正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 4．若关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是（ ） A．k≥－1 B．k＞－1 C．k≥－1且k≠0 D．k＞－1且k≠0 【答案】C 【解析】解： 关于的一元二次方程有实数根， 且 解得：且 故选C 5．方程的根是（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【解析】解：， 或 解得： 故选B 6．已知关于x的一元二次方程(x+1)2+m＝0可以用直接开平方法求解，则m的取值范围是________． 【答案】m≤0 【解析】解：∵（x+1）2+m＝0， ∴（x+1）2＝﹣m， ∵方程（x+1）2+m＝0可以用直接开平方法求解， ∴﹣m≥0， ∴m≤0． 故答案为m≤0． 7．若一元二次方程无实数根，则的取值范围是_______． 【答案】 【解析】解：一元二次方程x²-4x+k=0无实数根， ∴(―4)2-4k<0， 解得k>4， 故答案为：k>4． 8．关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则这两个相等的根是x1＝x2＝__________________． 【答案】 【解析】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴，即， 解得， 原方程可化为， 解得， 故答案为． 题组B 能力提升练 1．如果关于x的一元二次方程，有一个解是0，那么m的值是（ ） A．3 B． C． D．0或 【答案】B 【解析】解：把x=0代入方程（m-3）x2+3x+m2-9=0中，得 m2-9=0， 解得m=-3或3， 当m=3时，原方程二次项系数m-3=0，舍去， ∴m=-3 故选：B． 2．用配方法解方程时，配方结果正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解： x2-2x=1， x2-2x+1=2， （x-1）2=2． 故选：A． 3．有关于x的两个方程：ax2+bx+c=0与ax2-bx+c=0，其中abc＞0，下列判断正确的是（ ） A．两个方程可能一个有实数根，另一个没有实数根 B．若两个方程都有实数根，则必有一根互为相反数 C．若两个方程都有实数根，则必有一根相等 D．若两个方程都有实数根，则必有一根互为倒数 【答案】B 【解析】解：方程根的判别式为， 方程根的判别式为， 所以若一个方程有实数根，则另一个方程也一定有实数根，选项A错误； 若两个方程都有实数根， 设方程的一个实数根为，则，即， ， ， ， 将代入方程的左边得：， 即是方程的根， 所以此时两个方程必有一根互为相反数，选项B正确； 将代入方程的左边得：， 即不是方程的根，选项C错误； 将代入方程的左边得： ， 则只有当时，才是方程的根， 所以此时两个方程不一定有一根互为倒数，选项D错误； 故选：B． 4．由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形如图所示．连结，并延长交于点N．若，，则的长为（ ） A．2 B． C． D．3 【答案】C 【解析】解：由题意可得：正方形，正方形， ∴ ∵四个全等的直角三角形， ∴设 整理得： 解得：（负根不合题意，舍去） 如图，过作于 则 由， 可得： 解得：， 故选C 5．已知实数a、b满足，则________． 【答案】2 【解析】解：设，则原方程变形为， 解得，， ∴2或-1， ∵， ∴． 故答案为：2． 6．如果关于x的方程没有实数根，那么实数m的取值范围是__________． 【答案】 【解析】解：∵关于x的方程没有实数根， ∴， 故答案为：． 7．已知方程2x2+bx+a＝0（a≠0）的一个根是a． (1)求2a+b的值； (2)若此方程有两个相等的实数解，求出此方程的解． 【答案】(1)； (2) 【解析】(1)解：∵方程2x2+bx+a＝0（a≠0）的一个根是a， ∴2a2+ab+a＝0，即a（2a+b+1）＝0， ∵a≠0， ∴2a+b+1＝0， ∴2a+b＝﹣1； (2)∵方程有两个相等的实数解， ∴Δ＝b2﹣8a＝0， 由（1）知，2a+b+1＝0，即b＝﹣2a﹣1， ∴（﹣2a﹣1）2﹣8a＝0， 整理得：（2a﹣1）2＝0， 解得：a＝， ∴b＝﹣2， ∴此方程的解为：x＝． 8．先阅读，后解题． 已知，求m和n的值． 解：将左边分组配方：．即． ∵，，且和为0， ∴且，∴，． 利用以上解法，解下列问题： (1)已知：，求x和y的值． (2)已知a，b，c是的三边长，满足且为直角三角形，求c． 【答案】(1) (2)或 【解析】(1)解： 将左边分组配方：．即． ∵，，且和为0， ∴且， ∴，． (2)解：， 将方程变形为， ∵，， ∴，， ∵为直角三角形， ∴当，是直角边时，则；当是斜边，是直角边时，则． 题组C 培优拔尖练 1．若方程是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：由得到． 根据题意，得m-2≠0． 解得m≠2． 故选：C． 2．若对于任意实数a，b，c，d，定义 ＝ad－bc，按照定义，若 ＝0，则x的值为（ ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【解析】解：由题意得：（x+1）（2x-3）=x（x-1）， 整理得：x2=3， 两边直接开平方得：x=±， 故选：D． 3．对于一元二次方程，下列说法： ①若，则； ②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ③若c是方程的一个根，则一定有成立； ②若是一元二次方程的根，则其中正确的（ ） A．只有①②④ B．只有①②③ C．①②③④ D．只有①② 【答案】A 【解析】①当x=1时，a×12+b×1+c=a+b+c=0，那么一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不相等的实数根或有两个相等的实数根，此时b2-4ac≥0成立，那么①一定正确． ②方程ax2+c=0有两个不相等的实根，则-4ac＞0，那么b2-4ac＞0，故方程ax2+bx+c=0（a≠0）必有两个不相等的实根，进而推断出②正确． ③由c是方程ax2+bx+c=0的一个根，得ac2+bc+c=0．当c≠0，则ac+b+1=0；当c=0，则ac+b+1不一定等于0，那么③不一定正确． ④(2ax0+b)2＝4a2x02+b2+4abx0，由b2-4ac=4a2x02+b2+4abx0，得ax02+bx0+c＝0．由x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，则ax02+bx0+c＝0成立，那么④正确． 综上：正确的有①②④，共3个． 故选：A． 4．如图，在矩形ABCD中，AB=14，BC=7，M、N分别为AB、CD的中点，P、Q均为CD边上的动点（点Q在点P左侧），点G为MN上一点，且PQ=NG=5，则当MP+GQ=13时，满足条件的点P有（ ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】D 【解析】解：如图，当在的两侧时，设 则 矩形ABCD，M、N分别为AB、CD的中点， 四边形 四边形都是矩形， 由勾股定理得： 整理得： 如图，当在的右侧时，设 同理可得： 解得： 不合题意舍去， 如图，当都在的左侧时，设 同理可得： 解得： 不合题意舍去， 综上：满足条件的点只有个， 故选： 5．已知代数式A＝3x2﹣x＋1，B＝4x2＋3x＋7，则A____B（填＞，＜或＝）． 【答案】< 【解析】解：A﹣B＝3x2﹣x+1﹣（4x2+3x+7）＝﹣x2﹣4x﹣6＝﹣（x+2）2﹣2， ∵﹣（x+2）2≤0， ∴﹣（x+2）2﹣2<0， ∴A﹣B<0， ∴A
第6讲 一元二次方程及其求解（配方法、公式法、因式分解法） 目标导航 知识精讲 知识点01 一元二次方程的有关概念 1．一元二次方程的概念 通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程． 注意：识别一元二次方程必须抓住三个条件 （1）整式方程； （2）含有一个未知数； （3）未知数的最高次数是2.不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程，缺一不可. 2．一元二次方程的一般形式 一般地，任何一个关于x的一元二次方程，都能化成形如，这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中是二次项，是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项． 注意： (1)只有当时，方程才是一元二次方程； (2)在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，指明一元二次方程各项系数时注意不要漏掉前面的性质符号. 3．一元二次方程的解 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根. 4．一元二次方程根的重要结论 （1）若a+b+c=0,则一元二次方程必有一根x=1；反之也成立，即若x=1是一元二次方程的一个根，则a+b+c=0. （2）若a-b+c=0,则一元二次方程必有一根x=-1；反之也成立，即若x=-1是一元二次方程的一个根，则a-b+c=0. （3）若一元二次方程有一个根x=0，则c=0；反之也成立，若c=0，则一元二次方程必有一根为0. 知识点02 一元二次方程的解法 （一）直接开方法解一元二次方程 1．直接开方法解一元二次方程： 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法. 2．直接开平方法的理论依据： 平方根的定义. 3．能用直接开平方法解一元二次方程的类型有两类： ①形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解. 若，则；表示为，有两个不等实数根； 若，则x=O；表示为，有两个相等的实数根； 若，则方程无实数根． ②形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解，两根是 . 注意： 用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的定义，应用时应把方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，就可以直接开平方求这个方程的根. （二）配方法解一元二次方程： 1．配方法解一元二次方程 将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法. 2．配方法解一元二次方程的理论依据是公式：. 3．用配方法解一元二次方程的一般步骤： ①把原方程化为的形式； ②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解. 注意： （1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方； （2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方. （3）配方法的理论依据是完全平方公式． 4．配方法的应用 （1）用于比较大小：在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小. （2）用于求待定字母的值：配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值． （3）用于求最值：“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值． （4）用于证明：“配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用． 注意： “配方法”在初中数学中占有非常重要的地位，是恒等变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等关系的常用技巧，是挖掘题目当中隐含条件的有力工具，同学们一定要把它学好． （三）公式法解一元二次方程 1．一元二次方程的求根公式 一元二次方程，当时，. 2．一元二次方程根的判别式 一元二次方程根的判别式：． ①当时，原方程有两个不等的实数根； ②当时，原方程有两个相等的实数根； ③当时，原方程没有实数根. 3．用公式法解一元二次方程的步骤 用公式法解关于x的一元二次方程的步骤： ①把一元二次方程化为一般形式； ②确定a、b、c的值（要注意符号）； ③求出的值； ④若，则利用公式求出原方程的解； 若，则原方程无实根. 注意： （1）虽然所有的一元二次方程都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选择. （2）一元二次方程，用配方法将其变形为：. ①当时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实根：. ② 当时，右端是零．因此，方程有两个相等的实根：. ③ 当时，右端是负数．因此，方程没有实根. （四）因式分解法解一元二次方程 1．用因式分解法解一元二次方程的步骤 （1）将方程右边化为0； （2）将方程左边分解为两个一次式的积； （3）令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程； （4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解. 2．常用的因式分解法 提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等. 注意： （1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次 因式的积； （2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0； （3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式. 能力拓展 考法01 关于一元二次方程的判定 【典例1】下列方程①x2﹣5x＝2022，②，③，④，一定是关于x的一元二次方程的有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【解析】解：①x2﹣5x＝2022，是一元二次方程； ②，当a=0时不是一元二次方程； ③，是一元二次方程； ④，整理后不含二次项，不是一元二次方程， 所以，一定是关于x的一元二次方程的是①③，共2个， 故选：B 【即学即练】若 是关于x的一元二次方程，则a的值是（ ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【解析】解： 是关于x的一元二次方程， ，解得 ， 故选：A． 考法02 一元二次方程的一般形式、各项系数的确定 【典例2】将方程2x2＝5x－1化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数为2，则一次项系数、常数项分别是（ ） A．－5、1 B．5、1 C．5、－1 D．－5、－1 【答案】A 【解析】 解：2x2＝5x－1化为一元二次方程的一般形式2x2-5x+1=0， 一次项系数、常数项分别是-5，1， 故选：A． 【即学即练】将下列一元二次方程化成一般形式后，其中二次项系数是2，一次项系数是，常数项是3的方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】A. 化为化成一般形式后，其中二次项系数是2，一次项系数是，常数项是3，符合题意； B. 化为化成一般形式后，其中二次项系数是2，一次项系数是，常数项是-3，不符合题意； C. 化为化成一般形式后，其中二次项系数是2，一次项系数是，常数项是-3，不符合题意； D. 化为化成一般形式后，其中二次项系数是2，一次项系数是，常数项是-3，不符合题意； 故选：A 考法03 一元二次方程的解（根） 【典例3】若是关于x的一元二次方程的一个根，则的值为（ ） A．0 B．2 C．4 D．6 【答案】D 【解析】解：∵是关于x的一元二次方程的一个根， ∴4a-2-b=0， ∴4a-b=2， ∴， 故选：D． 【即学即练】若一元二次方程有一个解为，则k为（ ） A． B．1 C． D．0 【答案】C 【解析】把x=0代入方程（k-1）x2+3x+k2-1=0得方程：k2-1=0， 解得k1=1，k2=-1， 而k-1≠0， 所以k=-1． 故选：C． 考法04 用直接开平方法解一元二次方程 【典例4】方程的解为（ ） A．， B． C． D． 【答案】A 【解析】∵， 直接开平方，得 x+1=3或x+1=-3， 解得，， 故选A． 【即学即练】一元二次方程可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是，则另一个一元一次方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：∵（x+1）2=16， ∴x+1=±4， ∴x+1=4或x+1=-4， 故选：D． 考法05 用配方法解一元二次方程 【典例5】用配方法解一元二次方程 x210x＋11＝0，此方程可化为（ ） A．（x－5）2＝14 B．（x＋5）2＝14 C．（x－5）2 ＝36 D．（x＋5）2 ＝36 【答案】A 【解析】x210x＋11＝0， x2-10x=-11， x2-10x+25=-11+25， 即（x-4）2=14， 故选：A． 【即学即练】慧慧将方程2x2+4x﹣7＝0通过配方转化为（x+n）2＝p的形式，则p的值为（ ） A．7 B．8 C．3.5 D．4.5 【答案】D 【解析】解：∵2x2+4x-7=0， ∴2x2+4x=7， ∴x2+2x=， ∴x2+2x+1=+1， ∴（x+1）2=， 则p==4.5， 故选：D． 考法06 配方法在代数中的应用 【典例6】已知三角形的三条边为，且满足，则这个三角形的最大边的取值范围是（ ） A．c＞8 B．5＜c＜8 C．8＜c＜13 D．5＜c＜13 【答案】C 【解析】解：∵a2-10a+b2-16b+89=0， ∴（a2-10a+25）+（b2-16b+64）=0， ∴（a-5）2+（b-8）2=0， ∵（a-5）2≥0，（b-8）2≥0， ∴a-5=0，b-8=0， ∴a=5，b=8． ∵三角形的三条边为a，b，c， ∴b-a＜c＜b+a， ∴3＜c＜13． 又∵这个三角形的最大边为c， ∴8＜c＜13． 故选：C． 【即学即练】已知方程，等号右侧的数字印刷不清楚，若可以将其配方成的形式，则印刷不清楚的数字是（ ） A．6 B．9 C．2 D． 【答案】C 【解析】设印刷不清的数字是a， （x-p）2=7， x2-2px+p2=7， ∴x2-2px=7-p2， ∴x2-2px+4=11-p2， ∵方程x2-6x+4=□，等号右侧的数字印刷不清楚，可以将其配方成（x-p）2=7的形式， ∴-2p=-6，a=11-p2， ∴p=3，a=11-32=2， 即印刷不清的数字是2， 故选：C． 考法07 公式法解一元二次方程 【典例7】已知关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），下列命题是真命题的有（ ） ①若a＋2b＋4c＝0，则方程ax2＋bx＋c＝0必有实数根； ②若b＝3a＋2，c＝2a＋2，则方程ax2＋bx＋c＝0必有两个不相等的实根； ③若c是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根，则一定有ac＋b＋1＝0成立； ④若t是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根，则b2﹣4ac＝（2at＋b）2． A．①② B．②③ C．①④ D．③④ 【答案】C 【解析】解：①∵a+2b+4c=0， ∴a=-2b-4c， ∴方程为（-2b-4c）x2+bx+c=0， ∴Δ=b2-4（-2b-4c）•c=b2+8bc+16c2=（b+4c）2≥0， ∴方程ax2+bx+c=0必有实数根，故①正确． ②∵b=3a+2，c=2a+2， ∴方程为ax2+（3a+2）x+2a+2=0， ∴Δ=（3a+2）2-4a（2a+2）=a2+4a+4=（a+2）2， 当a=-2时，Δ=0，方程有相等的实数根，故②错误， ③当c=0时，c是方程ax2+bx=0的根，但是b+1不一定等于0，故③错误． ④∵t是一元二次方程ax2+bx+c=0的根， ∴t=， ∴2at+b=±， ∴b2-4ac=（2at+b）2，故④正确， 故选：C． 【即学即练】是下列哪个一元二次方程的根（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】A、的解为，不符合题意； B、的解为，不符合题意； C、的解为，符合题意； D、的解为，不符合题意； 故选：C． 考法08 因式分解法解一元二次方程 【典例8】一元二次方程的根是（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【解析】解： ∴或 解得 故选：A． 【即学即练】一个等腰三角形两边的长分别等于一元二次方程的两个实数根，则这个等腰三角形周长为（ ） A．11 B．27 C．5或11 D．21或27 【答案】B 【解析】解：， 解得：或5， 如果11是等腰三角形的底边，5为腰长，此时根据三角形三边关系，不合题意； 如果11是等腰三角形的腰长，5为底边，则三角形的周长为27， 故选：B． 分层提分 题组A 基础过关练 1．把一元二次方程化成一般形式，正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：∵， ∴ ∴方程的一般形式为： 故选A 2．若方程是关于x的一元二次方程，则（ ） A． B．m＝2 C． D． 【答案】B 【解析】解：∵方程是关于x的一元二次方程， ∴ 由①得： 由②得： 解得： 故选B 3．用配方法解方程时，结果正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 4．若关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是（ ） A．k≥－1 B．k＞－1 C．k≥－1且k≠0 D．k＞－1且k≠0 【答案】C 【解析】解： 关于的一元二次方程有实数根， 且 解得：且 故选C 5．方程的根是（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【解析】解：， 或 解得： 故选B 6．已知关于x的一元二次方程(x+1)2+m＝0可以用直接开平方法求解，则m的取值范围是________． 【答案】m≤0 【解析】解：∵（x+1）2+m＝0， ∴（x+1）2＝﹣m， ∵方程（x+1）2+m＝0可以用直接开平方法求解， ∴﹣m≥0， ∴m≤0． 故答案为m≤0． 7．若一元二次方程无实数根，则的取值范围是_______． 【答案】 【解析】解：一元二次方程x²-4x+k=0无实数根， ∴(―4)2-4k<0， 解得k>4， 故答案为：k>4． 8．关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则这两个相等的根是x1＝x2＝__________________． 【答案】 【解析】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴，即， 解得， 原方程可化为， 解得， 故答案为． 题组B 能力提升练 1．如果关于x的一元二次方程，有一个解是0，那么m的值是（ ） A．3 B． C． D．0或 【答案】B 【解析】解：把x=0代入方程（m-3）x2+3x+m2-9=0中，得 m2-9=0， 解得m=-3或3， 当m=3时，原方程二次项系数m-3=0，舍去， ∴m=-3 故选：B． 2．用配方法解方程时，配方结果正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解： x2-2x=1， x2-2x+1=2， （x-1）2=2． 故选：A． 3．有关于x的两个方程：ax2+bx+c=0与ax2-bx+c=0，其中abc＞0，下列判断正确的是（ ） A．两个方程可能一个有实数根，另一个没有实数根 B．若两个方程都有实数根，则必有一根互为相反数 C．若两个方程都有实数根，则必有一根相等 D．若两个方程都有实数根，则必有一根互为倒数 【答案】B 【解析】解：方程根的判别式为， 方程根的判别式为， 所以若一个方程有实数根，则另一个方程也一定有实数根，选项A错误； 若两个方程都有实数根， 设方程的一个实数根为，则，即， ， ， ， 将代入方程的左边得：， 即是方程的根， 所以此时两个方程必有一根互为相反数，选项B正确； 将代入方程的左边得：， 即不是方程的根，选项C错误； 将代入方程的左边得： ， 则只有当时，才是方程的根， 所以此时两个方程不一定有一根互为倒数，选项D错误； 故选：B． 4．由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形如图所示．连结，并延长交于点N．若，，则的长为（ ） A．2 B． C． D．3 【答案】C 【解析】解：由题意可得：正方形，正方形， ∴ ∵四个全等的直角三角形， ∴设 整理得： 解得：（负根不合题意，舍去） 如图，过作于 则 由， 可得： 解得：， 故选C 5．已知实数a、b满足，则________． 【答案】2 【解析】解：设，则原方程变形为， 解得，， ∴2或-1， ∵， ∴． 故答案为：2． 6．如果关于x的方程没有实数根，那么实数m的取值范围是__________． 【答案】 【解析】解：∵关于x的方程没有实数根， ∴， 故答案为：． 7．已知方程2x2+bx+a＝0（a≠0）的一个根是a． (1)求2a+b的值； (2)若此方程有两个相等的实数解，求出此方程的解． 【答案】(1)； (2) 【解析】(1)解：∵方程2x2+bx+a＝0（a≠0）的一个根是a， ∴2a2+ab+a＝0，即a（2a+b+1）＝0， ∵a≠0， ∴2a+b+1＝0， ∴2a+b＝﹣1； (2)∵方程有两个相等的实数解， ∴Δ＝b2﹣8a＝0， 由（1）知，2a+b+1＝0，即b＝﹣2a﹣1， ∴（﹣2a﹣1）2﹣8a＝0， 整理得：（2a﹣1）2＝0， 解得：a＝， ∴b＝﹣2， ∴此方程的解为：x＝． 8．先阅读，后解题． 已知，求m和n的值． 解：将左边分组配方：．即． ∵，，且和为0， ∴且，∴，． 利用以上解法，解下列问题： (1)已知：，求x和y的值． (2)已知a，b，c是的三边长，满足且为直角三角形，求c． 【答案】(1) (2)或 【解析】(1)解： 将左边分组配方：．即． ∵，，且和为0， ∴且， ∴，． (2)解：， 将方程变形为， ∵，， ∴，， ∵为直角三角形， ∴当，是直角边时，则；当是斜边，是直角边时，则． 题组C 培优拔尖练 1．若方程是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：由得到． 根据题意，得m-2≠0． 解得m≠2． 故选：C． 2．若对于任意实数a，b，c，d，定义 ＝ad－bc，按照定义，若 ＝0，则x的值为（ ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【解析】解：由题意得：（x+1）（2x-3）=x（x-1）， 整理得：x2=3， 两边直接开平方得：x=±， 故选：D． 3．对于一元二次方程，下列说法： ①若，则； ②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ③若c是方程的一个根，则一定有成立； ②若是一元二次方程的根，则其中正确的（ ） A．只有①②④ B．只有①②③ C．①②③④ D．只有①② 【答案】A 【解析】①当x=1时，a×12+b×1+c=a+b+c=0，那么一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不相等的实数根或有两个相等的实数根，此时b2-4ac≥0成立，那么①一定正确． ②方程ax2+c=0有两个不相等的实根，则-4ac＞0，那么b2-4ac＞0，故方程ax2+bx+c=0（a≠0）必有两个不相等的实根，进而推断出②正确． ③由c是方程ax2+bx+c=0的一个根，得ac2+bc+c=0．当c≠0，则ac+b+1=0；当c=0，则ac+b+1不一定等于0，那么③不一定正确． ④(2ax0+b)2＝4a2x02+b2+4abx0，由b2-4ac=4a2x02+b2+4abx0，得ax02+bx0+c＝0．由x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，则ax02+bx0+c＝0成立，那么④正确． 综上：正确的有①②④，共3个． 故选：A． 4．如图，在矩形ABCD中，AB=14，BC=7，M、N分别为AB、CD的中点，P、Q均为CD边上的动点（点Q在点P左侧），点G为MN上一点，且PQ=NG=5，则当MP+GQ=13时，满足条件的点P有（ ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】D 【解析】解：如图，当在的两侧时，设 则 矩形ABCD，M、N分别为AB、CD的中点， 四边形 四边形都是矩形， 由勾股定理得： 整理得： 如图，当在的右侧时，设 同理可得： 解得： 不合题意舍去， 如图，当都在的左侧时，设 同理可得： 解得： 不合题意舍去， 综上：满足条件的点只有个， 故选： 5．已知代数式A＝3x2﹣x＋1，B＝4x2＋3x＋7，则A____B（填＞，＜或＝）． 【答案】< 【解析】解：A﹣B＝3x2﹣x+1﹣（4x2+3x+7）＝﹣x2﹣4x﹣6＝﹣（x+2）2﹣2， ∵﹣（x+2）2≤0， ∴﹣（x+2）2﹣2<0， ∴A﹣B<0， ∴A
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