北师大版初中数学九年级上册第二章《一元二次方程》单元测试卷（较易）（含答案解析）
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考试范围：第一章； 考试时间：100分钟；总分120分，
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）
- 下列方程中，是一元二次方程的是
A. B.
C. D.
- 若是关于的一元二次方程，则的值为
A. B. C. D.
- 周髀算经中有一种几何方法可以用来解形如的方程的正数解，方法为：如图，将四个长为，宽为的长方形纸片面积均为拼成一个大正方形，于是大正方形的面积为：，边长为，故得的正数解为小明按此方法解关于的方程时，构造出同样的图形．已知大正方形的面积为，小正方形的面积为，则方程的正数解为
A. B. C. D.
- 用配方法解方程时，下列配方错误的是
A. 化为
B. 化为
C. 化为
D. 化为
- 在利用配方法解方程时，小慧和小颖的解题过程如下，对于两人的做法，说法正确的是
A. 都对，小颖的易懂 B. 都对，小慧的易懂
C. 小颖对，小慧不对 D. 小慧对，小颖不对
- 已知一元二次方程式的两根为、，且，求之值为何？
A. B. C. D.
- 已知关于，的方程组，以下结论：当时，方程组的解也是方程的解；存在实数，使得；不论取什么实数，的值始终不变；当时，其中正确的是
A. B. C. D.
- 用求根公式解一元二次方程时，，的值是
A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，
- 已知一元二次方程的两个根是菱形的一条边和一条对角线的长，则这个菱形的面积是
A. B. C. D. 或
- 一个菱形的边长是方程的一个根，其中一条对角线长为，则该菱形的面积为
A. B. C. 或 D. 或
- 受疫情反弹的影响，某景区今年月份游客人数比月份下降了，月份又比月份下降了，随着疫情逐步得到控制，预计月份游客人数将比月份翻一番即是月份的倍，设月份与月份相比游客人数的增长率为，则下列关系正确的是
A. B.
C. D.
- 临近春节的三个月，某干果店迎来了销售旺季，第一个月的销售额为万元，第三个月的销售额为万元，设这两个月销售额的月平均增长率为，则根据题意，可列方程为
A. B.
C. D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）
- 有一个人患了新冠肺炎，经过两轮传染后共有人患了新冠肺炎，每轮传染中平均一个人传染了______个人．
- 等腰的底和腰分别是一元二次方程的两根，则这个等腰三角形的周长为______．
- 已知关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是______．
- 关于的方程的解是，均为常数，且，则的解是 ．
三、解答题（本大题共8小题，共72.0分）
- 解方程：；
解不等式组． - 化简；．
小华在解方程，解答过程如下；
解，移项，得第一步
两边开平方，得第二步
所以第三步
小华的解答从第______步开始出错，请写出正确的解答过程． - 已知，，，求的值；
中，，，，求斜边上的高的长． - 先化简，再求值：，其中是方程的根．
- 一商店销售某种商品，平均每天可售出件，每件盈利元．为了扩大销售，增加盈利，该店采取了降价措施．在每件盈利不少于元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低元，平均每天可多售出件．
当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为元？
该商店每天的利润能否达到元？ - 最近上海疫情爆发，防护服极度匮乏，上海许多企业都积极地生产防护服以应对疫情，某工厂决定引进若干条某种防护服生产线．经调查发现：条防护服生产线最大产能是件天，每增加条生产线，每条生产线的最大产能将减少件天．设该工厂共引进条生产线．
每条生产线的最大产能是______件天用含的代数式表示．
若该工厂引进的生产线每天恰好能生产防护服件，为了尽量控制成本，该工厂引进了多少条生产线？ - 年北京冬奥会吉祥物冰墩墩和雪容融在一开售时，就深受大家的喜欢，某供应商今年月第一周购进一批冰墩墩和雪容融，如果用元可购买个雪容融和个冰墩墩，用元可购买个雪容融和个冰墩墩．
今年月第一周每个冰墩墩和雪容融的进价分别是多少元？
今年月第一周，已知该供应商以元每个售出雪容融个、以元每个售出冰墩墩个，第二周供应商决定调整价格，将雪容融每个的售价提升元，冰墩墩的售价不变，结果与第一周相比雪容融销量下降了个，冰墩墩销量上升个，但冰墩墩的销量仍低于雪容融，销售总额比第一周多出元，求的值．
若，是方程的两根，则______，______；若，是方程的两根，则______，______；
已知，，满足，，求正整数的最小值，
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：、不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
B、不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
C、不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
D、是一元二次方程，故本选项符合题意；
故选：．
根据一元二次方程的定义逐个判断即可．
本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义的内容是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是次的整式方程，叫一元二次方程．
2.【答案】
【解析】解：由题意可知：，
解得：，
故选：．
根据一元二次方程的定义即可求出答案．
本题考查一元二次方程，解题的关键是正确理解一元二次方程的定义，本题属于基础题型．
3.【答案】
【解析】解： ，
，
图中长方形的长为，宽为，
图中小正方形的边长为 ，
大正方形的边长为 ，
，
故选：．
把方程变形得到 ，设图中长方形的长为 ，宽为，则图中小正方形的边长为 ，大正方形的边长为 ，解得，然后计算即可．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查用配方法解一元二次方程 利用配方法变形逐项判定即可．
【解答】
解： 移项得： ，
配方得： ，即 ，故选项错误；
B. 移项得： ，
配方得： ，即 ，故选项正确；
C. 移项得： ，
配方得： ，即 ，故选项正确；
D. 方程二次项系数化为 ，得： ，
移项得： ，
配方得： ，即 ，故选项正确．
5.【答案】
【解析】根据配方法的定义可知，两人的做法都正确，小慧的做法是常用做法，易懂．
6.【答案】
【解析】解：，
或，
所以，，
即，，
所以．
故选：．
先利用直接开平方法解方程得到，，然后计算代数式的值．
此题主要考查了直接开平方法解方程，正确掌握解题方法是解题关键．
7.【答案】
【解析】解：当时，原方程组可整理得：
，
解得：，
把代入得：
，
即正确，
解方程组得：
，
若，
则，
解得：，
即存在实数，使得，
即正确，
解方程组得：
，
，
不论取什么实数，的值始终不变，故正确；
解方程组得：
，
当时，，
，故错误，
故选：．
直接利用二元一次一次方程组的解法表示出方程组的解进而分别分析得出答案．
本题主要考查解二元一次方程组的能力，熟练掌握解二元一次方程组的技能和二元一次方程的解得定义．
8.【答案】
【解析】解：，
，
则，，，
故选：．
先按照未知数的降幂排列，据此可得答案．
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
9.【答案】
【解析】解：，
，
或，
解得，，
当菱形的一边长为，一条对角线长为，则菱形的另一条对角线长为，此时菱形的面积；
当菱形的一边长为，一条对角线长为，则菱形的另一条对角线长为，此时菱形的面积，
综上所述，菱形的面积为或．
故选：．
利用因式分解法解方程得到，，然后分类讨论，根据菱形的对角线互相垂直平分和勾股定理计算出菱形的另一条对角线，然后根据菱形的面积公式计算．
本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了菱形的性质．
10.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了解一元二次方程 因式分解法，也考查了三角形三边的关系和菱形的性质．
利用因式分解法解方程得到 ， ，利用菱形的对角线互相垂直平分和三角形三边的关系得到菱形的边长为 ，利用勾股定理计算出菱形的另一条对角线为 ，然后计算菱形的面积．
【解答】
解： ，
所以 ， ，
菱形一条对角线长为 ，
菱形的边长为 ，
菱形的另一条对角线为 ，
菱形的面积 ．
故选： ．
11.【答案】
【解析】解：根据题意，得，
故选：．
根据“月份游客人数将比月份翻一番即是月份的倍”列方程即可．
本题考查了一元二次方程的应用之增长率问题，理解题意并根据题意建立方程是解题的关键．
12.【答案】
【解析】解：设这两个月销售额的月平均增长率为，
第一个月的销售额为万元，
第二个月的销售额为万元，
第三个月的销售额为万元，
，
故选：．
设这两个月销售额的月平均增长率为，先求出第二个月的销售额，再求第三个月的销售额，列出方程即可．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，先求出第二个月的销售额，再求第三个月的销售额是解题的关键．
13.【答案】
【解析】解：设每轮传染中平均一个人传染了个人，根据题意，得
，舍去．
答：每轮传染中平均一个人传染了个人．
故答案为：．
根据增长率问题：增长率增长数量原数量如：若原数是，每次增长的百分率为，则第一次增长后为；第二次增长后为，即原数增长百分率后来数．
本题考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是掌握增长率问题的解题方法．
14.【答案】
【解析】解：，
，
或，
所以，，
因为，不符合三角形三边的关系，
所以等腰三角形的底边为，腰为，
所以三角形的周长为．
故答案为：．
先利用因式分解法解方程得到，，再利用三角形三边的关系得到等腰三角形的底边为，腰为，然后计算三角形的周长．
本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了三角形三边的关系．
15.【答案】且
【解析】解：由关于的方程有两个不相等的实数根
得且，
解得且．
故答案为且．
由方程有两个不相等的实数根，则运用一元二次方程的根的判别式是即可进行解答
本题重点考查了一元二次方程根的判别式，在一元二次方程中，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．
16.【答案】，
【解析】
【分析】
本题考查了解一元二次方程 直接开平方法：形如 或 的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．把方程 看作关于 的一元二次方程，则 或 ，然后解两个一次方程即可．
【解答】
解：把方程 变形为 ，
关于 的方程 的解是 ， ，
或 ，
， ．
故答案为 ， ．
17.【答案】解：，
，
，
，
，
，
，；
，
由得：，
由得：，
所以不等式组的解集为．
【解析】利用配方法求解即可；
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
本题考查了解一元二次方程以及一元一次不等式组，掌握配方法和正确求出每一个不等式解集是解答本题的关键．
18.【答案】二
【解析】解：原式
；
小华的解答从第二步开始出错．
正确的解答过程为：
解，移项，得，
两边开平方，得，
所以，．
故答案为：二．
先利用平方差公式展开，然后合并即可；
两边开方得到，然后解两个一次方程即可．
本题考查了解一元二次方程直接开平方法：形如或的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．
19.【答案】解：当，，时，
或，
则原式；
中，，，，
根据勾股定理得：，
，
．
【解析】把，，的值代入原式计算即可求出值；
利用勾股定理求出的长，再利用面积法求出高的长．
此题考查了解一元二次方程公式法，勾股定理，熟练掌握方程的解法及勾股定理是解本题的关键．
20.【答案】解：
，
，
，
解得，，
是方程的根，，，
，
当时，原式．
【解析】先通分括号内的式子，然后计算括号外的除法，即可化简题目中的式子，再根据是方程的根，可以得到的值，然后选取使得原分式有意义的值代入化简后的式子计算即可．
本题考查分式的化简求值、解一元二次方程，解答本题的关键是明确分式减法和除法的运算法则，会用因式分解法解一元二次方程．
21.【答案】解：设当每件商品降价元时，该商店每天销售利润为元．由题意得，
，
，．
每件盈利不少于元，
当时，，
故不合题意，舍去，
，
答：当每件商品降价元时，该商店每天销售利润为元．
该商店每天的利润不能达到元，
理由如下：
设当每件商品降价元时，商店每天销售利润为元，由题意得，
．
，
当时，有最大值是，
．
该商店每天的利润不能达到元．
【解析】设每件衬衫降价元，则每件盈利元，每天可以售出件，根据该商店每天销售该种商品的利润为元，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再结合每件盈利不少于元，即可得出每件商品应降价元．
同得出，根据的最大值为可得出答案．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
22.【答案】
【解析】解：依题意得：每条生产线的最大产能是件天．
故答案为：．
，
整理得：，
解得：，．
又要尽量控制成本，
．
答：该工厂引进了条生产线．
利用每条生产线的最大产能引进生产线的数量，即可应含的代数式表示出每条生产线的最大产能；
利用该工厂每月生产防护服的数量每条生产线的最大产能引进生产线的数量，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再结合要尽量控制成本，即可得出该工厂引进了条生产线．
本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
23.【答案】解：设今年月第一周每个冰墩墩的进价是元，每个雪容融的进价是元，
依题意得：，
解得：．
答：今年月第一周每个冰墩墩的进价是元，每个雪容融的进价是元．
依题意得：，
整理得：，
解得：，．
当时，，，，符合题意；
当时，，，，不符合题意，舍去．
答：的值为．
【解析】设今年月第一周每个冰墩墩的进价是元，每个雪容融的进价是元，根据“用元可购买个雪容融和个冰墩墩，用元可购买个雪容融和个冰墩墩”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
利用销售总额销售单价销售数量，结合第二周的销售总额比第一周多出元，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出的值，再结合冰墩墩的销量仍低于雪容融，即可确定的值．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；找准等量关系，正确列出一元二次方程．
24.【答案】
【解析】解：，是方程的两根，
，；
，是方程的两根，
，，
，，
故答案为：，，，；
，，
，，
，是方程的两个根，
，
是正整数，
，
正整数的最小值为．
根据根与系数的关系求解即可；
由已知可得，，可知，是方程的两个根，根据，求出的取值范围，即可确定正整数的最小值．
本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系并灵活运用是解题的关键．
