数学必修 第一册第三章 函数概念与性质3.2 函数的基本性质导学案及答案

奇偶性

[课程目标] 1.了解函数奇偶性的含义，了解奇函数、偶函数的图象的对称性；2.会运用定义判断函数的奇偶性．

知识点一　奇函数和偶函数的概念

一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且__f(－x)＝f(x)__，那么函数f(x)就叫做偶函数；如果∀x∈I，都有－x∈I，且__f(－x)＝－f(x)__，那么函数f(x)就叫做奇函数．

如果函数f(x)是奇函数或偶函数，我们就说函数f(x)具有__奇偶性__．

[研读]由奇函数和偶函数的定义可知，奇函数或偶函数的定义域关于原点对称．

 判断正误(请在括号中打“√”或“×”).

(1)函数f(x)的定义域是R，且f(－1)＝f(1)，f(－2)＝f(2)，则f(x)是偶函数．(　×　)

(2)函数y＝x2(x∈[－2，2))是偶函数．(　×　)

(3)函数f(x)＝x＋是奇函数．(　√　)

(4)函数f(x)对定义域内任意一个x，都有f(x)＋f(－x)＝0，则f(x)是奇函数．(　×　)

【解析】 (1)不满足偶函数的定义．

(2)定义域不关于原点对称．

(3)定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且满足f(－x)＝－f(x)，所以f(x)是奇函数．

(4)定义域不一定关于原点对称．

知识点二　奇函数、偶函数的图象与性质

1．(1)奇函数的图象关于__原点__对称．反过来，若一个函数的图象关于__原点__对称，那么这个函数是__奇函数__．

(2)偶函数的图象关于__y轴__对称．反过来，若一个函数的图象关于__y轴__对称，那么这个函数是偶函数．

2．重要性质

(1)奇函数在区间[a，b]和[－b，－a](b>a>0)上有相同的单调性．

(2)偶函数在区间[a，b]和[－b，－a](b>a>0)上有相反的单调性．

 判断正误(请在括号中打“√”或“×”).

(1)若奇函数f(x)在x＝0处有意义，则f(0)等于0.(　√　)

(2)函数f(x)＝0(x∈[－1，1])既是奇函数又是偶函数．(　√　)

(3)若偶函数f(x)在[0，4]上单调递增，则在[－1，0]上单调递减．(　√　)

(4)若奇函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减，则在(－∞，0)上单调递增．(　×　)

【解析】 (1)f(－0)＝－f(0)，2f(0)＝0，所以f(0)＝0.

(2)f(x)＝0(x∈[－1，1])既满足f(x)＝f(－x)，又满足f(－x)＝－f(x)，所以f(x)既是奇函数又是偶函数．

(3)偶函数f(x)在[0，4]上单调递增，所以在[－4，0]上单调递减，因为[－1，0]⊆[－4，0]，所以f(x)在[－1，0]上单调递减．

(4)奇函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减，则在(－∞，0)上也单调递减．

 判断下列函数的奇偶性．

(1)f(x)＝；

(2)f(x)＝|x＋1|－|x－1|.

解：(1)依题意得解得－1≤x≤1且x≠0，所以函数的定义域为[－1，0)∪(0，1]，所以解析式化简为f(x)＝，满足f(－x)＝－f(x)，所以f(x)是奇函数．

(2)因为x∈R，且f(－x)＝|－x＋1|－|－x－1|＝|x－1|－|x＋1|＝－f(x)，故f(x)为奇函数．

活学活用

判断下列各函数的奇偶性．

(1)f(x)＝(x－2)；

(2)f(x)＝

解：(1)由≥0，得定义域为[－2，2)，不关于原点对称，所以f(x)是非奇非偶函数．

(2)函数的定义域为R．

x<－1时，f(x)＝x＋2，－x>1，

所以f(－x)＝－(－x)＋2＝x＋2＝f(x)；

x>1时，f(x)＝－x＋2，－x<－1，

所以f(－x)＝－x＋2＝f(x)；

－1≤x≤1时，f(x)＝0，－1≤－x≤1，

所以f(－x)＝0＝f(x).

综上知，对任意x∈R，都有f(－x)＝f(x)，所以f(x)是偶函数．

[规律方法]

1．用定义判断函数奇偶性的步骤：①先求定义域，看是否关于原点对称；②再判断f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)是否恒成立．

2．若已知函数的图象，则观察图象是否关于原点或y轴对称，依此判断函数的奇偶性．

  若函数f(x)＝为奇函数，则a＝__－1__．

【解析】 因为f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，所以＝－，

即2(a＋1)x＝0.因为x≠0，所以a＋1＝0，得a＝－1.

活学活用

若函数f(x)＝(|x|－1)(x＋a)为奇函数，则a＝__0__．

【解析】 ∵f(x)为R上的奇函数，∴f(0)＝0，即－a＝0，得a＝0.检验：当a＝0时，f(x)＝(|x|－1)x，f(－x)＝－(|x|－1)x＝－f(x)，∴函数f(x)为奇函数．

 设f(x)在R上是偶函数，在(－∞，0)上单调递减，若f(a2－2a＋3)>f(a2＋a＋1)，求实数a的取值范围．

解：由题意知，f(x)在(0，＋∞)上单调递增．

又a2－2a＋3＝(a－1)2＋2>0，

a2＋a＋1＝＋>0，

且f(a2－2a＋3)>f(a2＋a＋1)，

所以a2－2a＋3>a2＋a＋1，解得a<.

综上，实数a的取值范围是.

[规律方法]

利用函数的奇偶性和单调性解不等式要注意的两点：

1．奇函数在定义域内的关于y轴对称的两个区间上，单调性相同，偶函数在定义域内的关于y轴对称的两个区间上，单调性相反．

2．确定单调区间，依据题设条件将不等式转化为具体不等式，在这个区间上解不等式．

活学活用

设定义在[－2，2]上的偶函数f(x)在区间[0，2]上单调递减，若f(1－m)<f(m)，求实数m的取值范围．

解：因为f(x)是偶函数，所以f(－x)＝f(x)＝f(|x|).

所以不等式f(1－m)<f(m)等价于f(|1－m|)<f(|m|).

又f(x)在区间[0，2]上单调递减，

所以解得－1≤m<.

即m的取值范围是.

【迁移探究】

若奇函数f(x)的定义域为[－5，5]，其y轴右侧图象如图所示，则满足f(x)<0的x的集合是__(－2，0)∪(2，5)__．

【解析】 由奇函数f(x)的图象可知，当x∈(2，5)时，f(x)<0；当x∈(0，2)时，f(x)>0.因为图象关于原点对称，所以当x∈(－5，－2)时，f(x)>0；当x∈(－2，0)时，f(x)<0.所以满足条件的x的集合是(－2，0)∪(2，5).

  (1)若函数f(x)＝x3＋2x＋3(x∈[－10，10])，则f(x)min＋f(x)max＝__6__；

(2)函数f(x)＝ax2 021＋bx＋1的最大值和最小值分别为M，m，则M＋m＝__2__．

【解析】  (1)记函数g(x)＝f(x)－3＝x3＋2x，则g(x)＝x3＋2x为奇函数，由于对称性，所以在区间[－10，10]上，g(x)max＋g(x)min＝0，f(x)min＋f(x)max＝g(x)min＋3＋g(x)max＋3＝6.

(2)令g(x)＝ax2 021＋bx，易得g(x)为奇函数，即g(x)max＝M－1，g(x)min＝m－1，由奇函数对称性得M－1＋m－1＝0，所以M＋m＝2.

活学活用

若函数f(x)＝的最大值和最小值分别为M，m，则M＋m＝__2__．

【解析】 f(x)＝＝1＋，记函数g(x)＝f(x)－1＝.易知g(x)＝为奇函数，由对称性，得g(x)max＋g(x)min＝0，所以f(x)min＋f(x)max＝g(x)min＋1＋g(x)max＋1＝2.

 已知f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝x2＋x－2，求f(x)，g(x)的解析式．

解：因为f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，

所以f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x).

由f(x)＋g(x)＝x2＋x－2，①

得f(－x)＋g(－x)＝(－x)2－x－2，

即f(x)－g(x)＝x2－x－2.②

由①②得f(x)＝x2－2，g(x)＝x.

[规律方法]

利用奇偶性求函数解析式的注意点：

(1)求哪个区间的解析式就设x在哪个区间内；(2)将问题转化代入已知区间的解析式；(3)利用函数f(x)的奇偶性写出－f(－x)或f(－x)，从而求出f(x).

活学活用

已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝x3－2x2＋2，求f(x)的解析式．

解：因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以当x＝0时，f(－0)＝－f(0)⇒f(0)＝0.

当x<0时，－x>0，

从而有f(x)＝－f(－x)＝－

＝x3＋2x2－2，

所以f(x)＝

1．设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f(x)＝2x2－x，则f(1)＝(　A　)

A．－3    B．－1

C．1    D．3

【解析】 f(1)＝－f(－1)＝－[2×(－1)2－(－1)]＝－3.

2．下列函数中，既是偶函数，又在(0，＋∞)上单调递增的函数是(　B　)

A．y＝x3    B．y＝|x|＋1

C．y＝－x2＋1    D．y＝－

【解析】 对于函数y＝|x|＋1，f(－x)＝|－x|＋1＝|x|＋1＝f(x)，所以y＝|x|＋1是偶函数，当x>0时，y＝x＋1，所以在(0，＋∞)上单调递增．函数y＝x3不是偶函数；y＝－x2＋1在(0，＋∞)上单调递减；y＝－不是偶函数．故选B.

3．函数y＝＋(　B　)

A．是奇函数

B．是偶函数

C．是既是奇函数又是偶函数

D．是非奇非偶函数

【解析】 由函数可知，定义域为[－1，1]，函数解析式满足f(－x)＝f(x)，所以该函数是偶函数．故选B.

4．设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是(　A　)

A．f(x)＋|g(x)|是偶函数

B．f(x)－|g(x)|是奇函数

C．|f(x)|＋g(x)是偶函数

D．|f(x)|－g(x)是奇函数

【解析】 由f(x)是偶函数，可得f(－x)＝f(x)，由g(x)是奇函数可得g(－x)＝－g(x)，故|g(x)|为偶函数，所以f(x)＋|g(x)|为偶函数．故选A.

5．已知y＝f(x)是R上的奇函数，且当x<0时，f(x)＝x3－1，则x>0时，函数f(x)的解析式为__f(x)＝x3＋1__．

【解析】 因为y＝f(x)是R上的奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，f(0)＝0.当x>0时，－x<0，所以f(x)＝－f(－x)＝x3＋1.