高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.3 幂函数学案设计

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.3 幂函数学案设计，共11页。


我们以前学过函数y＝x，y＝x2，y＝eq \f(1,x).
[问题] (1)这三个函数的解析式有什么共同的特点吗？
(2)你能根据初中学过的整数指数幂的运算，把这三个函数的解析式改写成统一的形式吗？



知识点一 幂函数的概念
一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中eq \a\vs4\al(x)是自变量，eq \a\vs4\al(α)是常数．
eq \a\vs4\al()
对幂函数的再理解
(1)xα的系数为1；
(2)xα的底数是自变量x，指数α为常数；
(3)项数只有一项．
1．在函数y＝eq \f(1,x4)，y＝3x2，y＝x2＋2x，y＝1中，幂函数的个数为________．
解析：函数y＝eq \f(1,x4)＝x－4为幂函数；
函数y＝3x2中x2的系数不是1，所以它不是幂函数；
函数y＝x2＋2x不是y＝xα(α是常数)的形式，所以它不是幂函数；
函数y＝1与y＝x0＝1(x≠0)不相等，所以y＝1不是幂函数．
答案：1
2．已知f(x)＝(m＋1)xm＋2是幂函数，则m＝________．
解析：∵函数f(x)＝(m＋1)xm＋2是幂函数，
∴m＋1＝1，即m＝0.
答案：0
知识点二 五个常见幂函数的图象与性质
1．五个常见幂函数的图象
2．五个常见幂函数的性质
1．如果幂函数f(x)＝xα的图象经过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，\f(1,9)))，则α＝( )
A．－2 B．2
C．－eq \f(1,2) D.eq \f(1,2)
答案：A
2．当x∈(0，1)时，x2________x3.(填“>”“＝”或“<”)
答案：>
[例1] (1)在函数y＝x－2，y＝2x2，y＝(x＋1)2，y＝3x中，幂函数的个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
(2)若f(x)＝(m2－4m－4)xm是幂函数，则m＝________．
[解析] (1)根据幂函数定义可知，只有y＝x－2是幂函数，所以选B.
(2)因为f(x)是幂函数，所以m2－4m－4＝1，即m2－4m－5＝0，解得m＝5或m＝－1.
[答案] (1)B (2)5或－1
eq \a\vs4\al()
判断一个函数是否为幂函数的方法
判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式，即函数的解析式为一个幂的形式，且需满足：(1)指数为常数；(2)底数为自变量；(3)系数为1.
[跟踪训练]
1．(多选)下列函数中是幂函数的是( )
A．y＝eq \f(1,x) B．y＝4x2
C．y＝2x＋1 D．y＝x－eq \f(1,2)
解析：选AD 幂函数是形如y＝xα(α为常数)的函数，A是α＝－1的情形，D是α＝－eq \f(1,2)的情形，所以A和D都是幂函数；B中x2的系数是4，不是幂函数；易知C不是幂函数．
2．已知函数f(x)＝(a2－a－1)xeq \s\up6(\f(1,a－2))为幂函数，则实数a的值为( )
A．－1或2 B．－2或1
C．－1 D．1
解析：选C 因为f(x)＝(a2－a－1)xeq \s\up6(\f(1,a－2))为幂函数，所以a2－a－1＝1，即a＝2或－1.又a－2≠0，所以a＝－1.
[例2] (链接教科书第91页练习1题)点(eq \r(2)，2)与点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2，－\f(1,2)))分别在幂函数f(x)，g(x)的图象上，问当x为何值时，有：
(1)f(x)>g(x)；(2)f(x)＝g(x)；(3)f(x)[解] 设f(x)＝xα，g(x)＝xβ.
∵(eq \r(2))α＝2，(－2)β＝－eq \f(1,2)，∴α＝2，β＝－1，
∴f(x)＝x2，g(x)＝x－1.分别作出它们的图象，如图所示．
由图象知，
(1)当x∈(－∞，0)∪(1，＋∞)时，f(x)>g(x)；
(2)当x＝1时，f(x)＝g(x)；
(3)当x∈(0，1)时，f(x)eq \a\vs4\al()
解决幂函数图象问题应把握的两个原则
(1)依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：在(0，1)上，指数越大，幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低)；在(1，＋∞)上，指数越大，幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高)；
(2)依据图象确定幂指数α与0，1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(类似于y＝x－1或y＝x\s\up6(\f(1,2))或y＝x3))来判断．
[跟踪训练]
1．若幂函数y＝f(x)的图象经过点(2，eq \r(2))，则f(3)＝( )
A.eq \f(1,3) B.eq \r(3)
C．3 D．9
解析：选B 设幂函数y＝f(x)＝xα，其图象经过点(2，eq \r(2))，则2α＝eq \r(2)，解得α＝eq \f(1,2).∴f(x)＝xeq \s\up6(\f(1,2))＝eq \r(x)，∴f(3)＝eq \r(3).故选B.
2．下面给出4个幂函数的图象，则图象与函数大致对应的是( )
A．①y＝x2，②y＝xeq \s\up6(\f(1,3))，③y＝xeq \s\up6(\f(1,2))，④y＝x－1
B．①y＝x3，②y＝x2，③y＝xeq \s\up6(\f(1,2))，④y＝x－1
C．①y＝x2，②y＝x3，③y＝xeq \s\up6(\f(1,2))，④y＝x－1
D．①y＝xeq \s\up6(\f(1,3))，②y＝xeq \s\up6(\f(1,2))，③y＝x2，④y＝x－1
解析：选B 注意到函数y＝x2≥0，且该函数是偶函数，其图象关于y轴对称，该函数图象应与②对应；y＝xeq \s\up6(\f(1,2))＝eq \r(x)的定义域、值域都是[0，＋∞)，该函数图象应与③对应；y＝x－1＝eq \f(1,x)，其图象应与④对应.
[例3] (链接教科书第91页例)探讨幂函数f(x)＝xeq \s\up6(－\f(1,2))的单调性．
[解] f(x)＝xeq \s\up6(－\f(1,2))的定义域为(0，＋∞)．∀x1，x2∈(0，＋∞)，且x1因为x2>x1>0，所以x1－x2<0，且 eq \r(x1x2)·(eq \r(x1)＋eq \r(x2))>0，于是f(x2)－f(x1)<0，即f(x2)所以幂函数f(x)＝xeq \s\up6(－\f(1,2))是减函数．
[母题探究]
(变条件)本例若增加条件“(a＋1) eq \s\up6(－\f(1,2))<(3－2a) eq \s\up6(－\f(1,2))”，求实数a的取值范围．
解：因为f(x)＝xeq \s\up6(－\f(1,2))在区间(0，＋∞)上是减函数，所以(a＋1) eq \s\up6(－\f(1,2))<(3－2a) eq \s\up6(－\f(1,2))等价于eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＋1>0，,3－2a>0，,a＋1>3－2a，))
解得eq \f(2,3)所以实数a的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，\f(3,2))).
eq \a\vs4\al()
幂函数的常用性质
(1)幂函数y＝xαeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＝\f(q,p)，p，q∈Z，p>1，p与q互质))奇偶性的判断方法：
①若p，q同为奇数，则y＝xα为奇函数；
②若p为奇数，q为偶数，则y＝xα为偶函数；
③若p为偶数，则y＝xα为非奇非偶函数．
(2)幂函数单调性的判断：幂函数y＝xα在区间(0，＋∞)上，当α>0时，y＝xα是增函数；当α<0时，y＝xα是减函数．
[跟踪训练]
1．(多选)已知α∈{－1，1，2，3}，则使函数y＝xα的值域为R，且为奇函数的α的值为( )
A．－1 B．1
C．2 D．3
解析：选BD 当α＝－1时，y＝x－1＝eq \f(1,x)，为奇函数，但值域为{y|y≠0}，不满足条件；
当α＝1时，y＝x为奇函数，值域为R，满足条件；
当α＝2时，y＝x2为偶函数，值域为{y|y≥0}，不满足条件；
当α＝3时，y＝x3为奇函数，值域为R，满足条件．故选B、D.
2．若幂函数f(x)过点(2，8)，则满足不等式f(a－3)>f(1－a)的实数a的取值范围是________．
解析：设幂函数为f(x)＝xα，因为其图象过点(2，8)，所以2α＝8，解得α＝3，所以f(x)＝x3.因为f(x)＝x3在R上为增函数，所以由f(a－3)>f(1－a)，得a－3>1－a，解得a>2.
所以满足不等式f(a－3)>f(1－a)的实数a的取值范围是(2，＋∞)．
答案：(2，＋∞)
[例4] (链接教科书第91页练习2题)比较下列各组数的大小：
(1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5)))eq \s\up12(0.5)与eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(0.5)；
(2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)))eq \s\up12(－1)与eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)))eq \s\up12(－1)；
(3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))eq \s\up6(\f(3,4))与eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)))eq \s\up6(\f(3,2)).
[解] (1)∵幂函数y＝x0.5在(0，＋∞)上是单调递增的，
又eq \f(2,5)>eq \f(1,3)，∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5)))eq \s\up12(0.5)>eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(0.5).
(2)∵幂函数y＝x－1在(－∞，0)上是单调递减的，
又－eq \f(2,3)<－eq \f(3,5)，
∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)))eq \s\up12(－1)>eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)))eq \s\up12(－1).
(3)∵函数y1＝xeq \s\up6(\f(3,4))为(0，＋∞)上的增函数，又eq \f(3,2)＞1，
∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))eq \s\up6(\f(3,4))＞1eq \s\up6(\f(3,4))＝1.
又∵函数y2＝xeq \s\up6(\f(3,2))在(0，＋∞)上是增函数，且eq \f(3,4)＜1，
∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)))eq \s\up6(\f(3,2))＜1eq \s\up6(\f(3,2))＝1，
∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))eq \s\up6(\f(3,4))＞eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)))eq \s\up6(\f(3,2)).
eq \a\vs4\al()
比较幂值大小的2种方法

[跟踪训练]
比较下列各组值的大小：
(1)(－0.31)eq \s\up6(\f(6,5))，0.35eq \s\up6(\f(6,5))；(2)1.2eq \s\up6(\f(1,2))，1.4eq \s\up6(\f(1,2))，1.42.
解：(1)∵y＝xeq \s\up6(\f(6,5))为R上的偶函数，∴(－0.31)eq \s\up6(\f(6,5))＝0.31eq \s\up6(\f(6,5)).
又函数y＝xeq \s\up6(\f(6,5))在[0，＋∞)上单调递增，且0.31＜0.35，
∴0.31eq \s\up6(\f(6,5))＜0.35eq \s\up6(\f(6,5))，即(－0.31)eq \s\up6(\f(6,5))＜0.35eq \s\up6(\f(6,5)).
(2)∵y＝xeq \s\up6(\f(1,2))在[0，＋∞)上是增函数，且1.2<1.4，
∴1.2eq \s\up6(\f(1,2))<1.4eq \s\up6(\f(1,2)).
易知1.4eq \s\up6(\f(1,2))<1.42，∴1.2eq \s\up6(\f(1,2))<1.4eq \s\up6(\f(1,2))<1.42.
函数y＝x＋eq \f(1,x)的图象与性质的探究
学习了幂函数的图象，类比实数的加、减、乘、除运算，我们对幂函数也进行了相关运算，得到了新的函数f(x)＝x＋eq \f(1,x)，利用计算机软件，我们绘制出它的图象，如图．
[问题探究]
参考幂函数的性质，探究函数f(x)＝x＋eq \f(1,x)的定义域、值域、奇偶性、单调性等性质．
提示：(1)定义域：∵x≠0，
∴函数f(x)＝x＋eq \f(1,x)的定义域为{x|x≠0}；
(2)函数f(x)＝x＋eq \f(1,x)的值域为(－∞，－2]∪[2，＋∞)；
(3)奇偶性：∵f(－x)＝－x－eq \f(1,x)＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,x)))＝－f(x)，
∴函数f(x)＝x＋eq \f(1,x)为奇函数；
(4)单调性：由函数f(x)＝x＋eq \f(1,x)的图象可知，函数f(x)＝x＋eq \f(1,x)在(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递增，在(－1，0)，(0，1)上单调递减．
[迁移应用]
参考幂函数的性质，探究函数f(x)＝ax＋eq \f(b,x)(a>0，b>0)的图象与性质．
解：函数f(x)＝ax＋eq \f(b,x)(a>0，b>0)具有如下基本性质：
(1)f(x)为奇函数；(2)f(x)在eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\r(\f(b,a)) ))上单调递减，在eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1( \r(\f(b,a))，＋∞))上单调递增，在(0，＋∞)上有最小值2eq \r(ab)；f(x)在eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\r(\f(b,a))，0))上单调递减，在eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，－\r(\f(b,a))))上单调递增，在(－∞，0)上有最大值－2eq \r(ab)；(3)在第一象限内，函数图象向上与y轴无限接近、向右与直线y＝ax无限接近；在第三象限内，函数图象向下与y轴无限接近，向左与直线y＝ax无限接近．该函数的图象如图所示．
1．下列函数中是幂函数的是( )
A．y＝x4＋x2 B．y＝10x
C．y＝eq \f(1,x3) D．y＝x＋1
解析：选C 根据幂函数的定义知，y＝eq \f(1,x3)是幂函数，y＝x4＋x2，y＝10x，y＝x＋1都不是幂函数．
2．下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的函数是( )
A．y＝x－2 B．y＝x－1
C．y＝x2 D．y＝xeq \s\up6(\f(1,3))
解析：选A 所给选项都是幂函数，其中y＝x－2和y＝x2是偶函数，y＝x－1和y＝xeq \s\up6(\f(1,3))不是偶函数，故排除选项B、D，又y＝x2在区间(0，＋∞)上单调递增，不合题意，y＝x－2在区间(0，＋∞)上单调递减，符合题意，故选A.
3．已知2.4α＞2.5α，则α的取值范围是________．
解析：因为0＜2.4＜2.5，而2.4α＞2.5α，
所以y＝xα在(0，＋∞)上为减函数，故α＜0.
答案：(－∞，0)
4．比较下列各组数的大小：
(1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5)))eq \s\up6(\f(2,5))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)))eq \s\up6(\f(2,5))；
(2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up6(\f(2,3))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,5)))eq \s\up6(\f(2,3)).
解：(1)由幂函数y＝xeq \s\up6(\f(2,5))在(0，＋∞)上单调递增，得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5)))eq \s\up6(\f(2,5))(2)由幂函数y＝xeq \s\up6(\f(2,3))在(0，＋∞)上单调递增，得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up6(\f(2,3))>eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,5)))eq \s\up6(\f(2,3)).
新课程标准解读
核心素养
通过具体实例，结合y＝x，y＝eq \f(1,x)，y＝x2，y＝eq \r(x)，y＝x3的图象，理解它们的变化规律，了解幂函数，会求幂函数的解析式
数学抽象、逻辑推理、数学运算
幂函数
y＝x
y＝x2
y＝x3
y＝xeq \s\up6(\f(1,2))
y＝x－1
定义域
R
R
R
[0，＋∞)
(－∞，0)∪
(0，＋∞)
值域
R
[0，＋∞)
R
[0，＋∞)
{y|y∈R
且y≠0}
奇偶性
奇
偶
eq \a\vs4\al(奇)
非奇非偶
奇
单调性
eq \a\vs4\al(增)
x∈(0，＋∞)增；x∈(－∞，0)减
eq \a\vs4\al(增)
增
x∈(0，＋∞)减；x∈(－∞，0)减
公共点
都经过点(1，1)
幂函数的概念
幂函数图象及其应用
幂函数的性质
比较幂值的大小