数学必修 第一册1.1 集合的概念与表示课堂检测

集合的表示

[A级　基础巩固]

1．下列说法正确的是(　　)

A．0∈∅

B．{∅}与∅表示的意义一样

C．{x|ax＋1＝0}不含任何元素，则a＝0

D．方程＋|y－2|＝0的解集为

解析：选C　空集∅是不含任何元素的集合，故A错；{∅}表示以空集为元素的集合，故意义不一样，故B错；当a＝0时，ax＋1＝0无解，反过来成立，故C对；方程＋|y－2|＝0可化为其解是一个有序实数对，可表示为，故D错．

2．下列说法中正确的是(　　)

A．集合{x|x2＝1，x∈R}中有两个元素

B．集合{0}中没有元素

C.∈{x|x<2}

D．{1，2}与{2，1}是不同的集合

解析：选A　{x|x2＝1，x∈R}＝{1，－1}；集合{0}是单元素集，有一个元素，这个元素是0；{x|x<2}＝{x|x<}，>，所以∉{x|x<2}；根据集合中元素的无序性可知{1，2}与{2，1}是同一个集合．

3．集合M＝{(x，y)|xy＜0，x∈R，y∈R}是(　　)

A．第一象限内的点集　 B．第三象限内的点集

C．第四象限内的点集  D．第二、四象限内的点集

解析：选D　根据描述法表示集合的特点，可知集合表示横、纵坐标异号的点的集合，这些点在第二、四象限内．故选D.

4．不等式x－2≥0的所有解组成的集合表示成区间是(　　)

A．(2，＋∞)  B．[2，＋∞)

C．(－∞，2)  D．(－∞，2]

解析：选B　不等式x－2≥0的所有解组成的集合为{x|x≥2}，表示成区间为[2，＋∞)．

5．定义集合A，B的一种运算：A*B＝{x|x＝x1＋x2，其中x1∈A，x2∈B}．若A＝{1，2，3}，B＝{1，2}，则A*B中的所有元素之和为(　　)

A．9  B．14

C．18  D．21

解析：选B　因为A*B＝{x|x＝x1＋x2，其中x1∈A，x2∈B}，A＝{1，2，3}，B＝{1，2}，所以x1＝1或x1＝2或x1＝3，x2＝1或x2＝2，所以A*B＝{2，3，4，5}，所以A*B中的所有元素之和为2＋3＋4＋5＝14，故选B.

6．如图，用适当的方法表示阴影部分的点(含边界上的点)组成的集合M＝________．

答案：

7．集合A＝{x|x2＋ax－2≥0，a∈Z}，若－4∈A，2∈A，则满足条件的a组成的集合为________．

解析：由题意知解得－1≤a≤.

∵a∈Z，∴满足条件的a组成的集合为{－1，0，1，2，3}．

答案：{－1，0，1，2，3}

8．设－5∈{x|x2－ax－5＝0}，则集合{x|x2＋ax＋3＝0}＝________．

解析：由题意知，－5是方程x2－ax－5＝0的一个根，

所以(－5)2＋5a－5＝0，得a＝－4，

则方程x2＋ax＋3＝0，即x2－4x＋3＝0，

解得x＝1或x＝3，

所以{x|x2－4x＋3＝0}＝{1，3}．

答案：{1，3}

9．用适当的方法表示下列集合：

(1)大于2且小于5的有理数组成的集合；

(2)24的所有正因数组成的集合；

(3)平面直角坐标系内与坐标轴的距离相等的点组成的集合．

解：(1)用描述法表示为{x|2＜x＜5，x∈Q}．

(2)用列举法表示为{1，2，3，4，6，8，12，24}．

(3)在平面直角坐标系内，点(x，y)到x轴的距离为|y|，到y轴的距离为|x|，所以该集合用描述法表示为{(x，y)||y|＝|x|}．

10．已知集合A＝{x|x＝3n＋1，n∈Z}，B＝{x|x＝3n＋2，n∈Z}，M＝{x|x＝6n＋3，n∈Z}．

(1)若m∈M，则是否存在a∈A，b∈B，使m＝a＋b成立？

(2)对于任意a∈A，b∈B，是否一定存在m∈M，使a＋b＝m？证明你的结论．

解：(1)设m＝6k＋3＝3k＋1＋3k＋2(k∈Z)，

令a＝3k＋1(k∈Z)，b＝3k＋2(k∈Z)，则m＝a＋b.

故若m∈M，则存在a∈A，b∈B，使m＝a＋b成立．

(2)不一定存在．证明如下：

设a＝3k＋1，b＝3l＋2，k，l∈Z，则a＋b＝3(k＋l)＋3，k，l∈Z.

当k＋l＝2p(p∈Z)时，a＋b＝6p＋3∈M，此时存在m∈M，使a＋b＝m成立；

当k＋l＝2p＋1(p∈Z)时，a＋b＝6p＋6∉M，此时不存在m∈M，使a＋b＝m成立．

故对于任意a∈A，b∈B，不一定存在m∈M，使a＋b＝m.

[B级　综合运用]

11．(2021·江苏高一课时练习)设直线y＝2x＋3上的点集为P，则P＝________．点(2，7)与P的关系为(2，7)________P.

解析：点用(x，y)表示，指在直线y＝2x＋3上的所有的点的集合，即P＝，而点(2，7)适合方程y＝2x＋3，所以点(2，7)在直线上，从而点属于集合P.

答案：　∈

12．已知a，b∈N＋，现规定：

a*b＝集合M＝{(a，b)|a*b＝36，a，b∈N＋}．

(1)用列举法表示a与b一个为奇数，一个为偶数时的集合M；

(2)当a与b同为奇数或同为偶数时，集合M中共有多少个元素？

解：(1)当a与b一个为奇数，一个为偶数时，集合M中的元素(a，b)满足a×b＝36，a，b∈N＋.

∵1×36＝36，3×12＝36，4×9＝36，9×4＝36，12×3＝36，36×1＝36.

∴当a与b一个为奇数，一个为偶数时，M＝{(1，36)，(3，12)，(4，9)，(9，4)，(12，3)，(36，1)}．

(2)当a与b同为奇数或同为偶数时，集合M中的元素(a，b)满足a＋b＝36，a，b∈N＋.

∵1＋35＝36，2＋34＝36，3＋33＝36，…，34＋2＝36，35＋1＝36.

∴当a与b同为奇数或同为偶数时，集合M中共有35个元素．